Bài toán M2482—M2485; F2489—F2492

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2482–M2484 đã được đưa ra tại Olympic quốc tế về siêu đô thị lần thứ II, bài toán M2485a đã được đưa ra tại Olympic quốc tế lần thứ VIII về Toán học ở Romania. Bài toán F2489–F2492 đã được đưa ra tại Olympic toàn Siberia 2015.

Bài toán M2482–M2485, F2489–F2492

M2482. Cho hình bình hành ABCD có góc tù B, trong đó AD > AB (hình 1).

cái còn lại có thể đạt được bằng cách thực hiện một số chuyến bay chẵn. Với số tự nhiên nhỏ nhất d nào thì người ta có thể đảm bảo bay từ thành phố này đến thành phố khác bằng cách thực hiện số chuyến bay chẵn không vượt quá d? (Được phép đến cùng một thành phố hoặc đi cùng một chuyến bay nhiều lần.) I. Bogdanov

M2484. Các số tự nhiên x và y sao cho [ x + 2, y + 2 ] - [ x + 1, y + 1 ] =

Hình 1

Trên đường chéo AC chọn các điểm K và L sao cho – ABK = – ADL (các điểm A, K, L, C khác nhau và K nằm giữa A và L). Đường thẳng BK cắt đường tròn W ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm B và E, đường thẳng EL cắt W tại các điểm E và F. Chứng minh rằng BF P AC. B.Obukhov

M2483. Nước này có các chuyến bay thẳng hai chiều giữa một số cặp thành phố. Được biết, bạn có thể bay từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác trong không quá 100 chuyến bay. Ngoài ra, từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ

= [ x + 1, y + 1 ] - [ x, y ]. Chứng minh rằng một trong hai số x và y chia hết cho số kia. (Ở đây [a, b] biểu thị bội số chung nhỏ nhất của a và b.) D. Djukic (Serbia)

M2485. a) Hãy sửa số tự nhiên $n \ge 2$. Chúng ta hãy gọi một n-sàng là một hình vuông ca rô n ¥ n trong đó n ô đã bị loại bỏ sao cho mỗi cột và mỗi hàng chỉ có một ô được loại bỏ. Chúng ta gọi các hình chữ nhật ca rô là 1 ¥ k và k ¥ 1 sọc cho tất cả các số nguyên dương k. Với n-sàng A bất kỳ, chúng ta hãy biểu thị bằng m(A) số dải nhỏ nhất mà nó có thể được cắt thành. Tìm mọi thứ

17

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

các cặp cạnh đối diện sẽ bằng $90\infty$, 3) góc giữa các ảnh của các đường chéo của tứ giác cũng sẽ bằng $90\infty$. Hãy để chúng tôi xác định trong những trường hợp những điều kiện này được đáp ứng. Cho một thấu kính hội tụ mỏng và hai đoạn không song song. Hãy xây dựng hình ảnh của họ và hiểu khi nào những hình ảnh này sẽ song song. Để xây dựng, chúng ta lấy các tia chạy dọc theo các đoạn đó. Sau đó, mỗi tia này đi qua một đầu của đoạn thẳng rồi đi qua đầu kia, và do đó, ảnh của các đoạn tia này sẽ nằm trên các tia này sau khi chúng đi qua thấu kính. Nhưng để hai tia song song sau khi đi qua thấu kính hội tụ, chúng phải giao nhau trong mặt phẳng tiêu cự của nó trước khi tới thấu kính. Điều này có nghĩa là giao điểm của các tia mà các cạnh đối diện của tứ giác thuộc về - điểm A và B trên hình 2 - nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính (được biểu thị bằng đường chấm) và bản thân thấu kính nằm ở bên phải của

“QUANTA”

thuộc hình bán nguyệt đi qua hai điểm A và B. Trên hình 3 hình bán nguyệt được biểu thị bằng nét chấm và trục quang chính của thấu kính được thể hiện bằng nét đứt

Hình 3

Đường chấm chấm cũng đánh dấu tiêu điểm của thấu kính F. Do đó, ảnh của một tứ giác trong thấu kính ở hình 3 sẽ là hình chữ nhật và sẽ có rất nhiều vị trí thấu kính như vậy - tâm của nó có thể nằm ở bất kỳ điểm nào trên vòng tròn chấm chấm. Có thể chọn cách sắp xếp thấu kính sao cho ảnh của một tứ giác là hình vuông không? Có thể, và để làm được điều này, điều cần thiết là hình ảnh các đường chéo của tứ giác phải vuông góc với nhau. Và điều này sẽ xảy ra nếu góc giữa các tia ló ra từ điểm C và D (hình4) và đi qua tâm thấu kính là thẳng. Để làm điều này, tâm của thấu kính

Hình 2

thẳng AB ở bất cứ đâu. Ví dụ: hình 2 hiển thị một trong các vị trí có thể có của thấu kính và tiêu cự của nó phải bằng khoảng cách từ thấu kính đến đường thẳng AB. Vậy ảnh tứ giác sau khi đi qua thấu kính sẽ là hình bình hành. Bây giờ chúng ta đặt hình ảnh này thành một hình chữ nhật. Hiển nhiên, điều này sẽ xảy ra khi các tia ló ra từ điểm A và B và đi qua tâm thấu kính vuông góc với nhau. Thật vậy, những tia này không bị khúc xạ; mọi tia sáng khác đi qua hai điểm A và B sau khi đi qua thấu kính sẽ song song với chúng. Do đó, tâm của thấu kính có thể nằm ở bất kỳ điểm nào,

Hình 4

phải nằm trên hình bán nguyệt đi qua các điểm C và D. Vì tất cả các cấu trúc đều được thực hiện theo tỷ lệ chính xác nên hình 4 có thể được sử dụng để ước tính tiêu cự của thấu kính. Từ hình chúng tôi tìm thấy rằng