Lưới tứ giác

18

KVANT 2017/№10

khoảng cách từ thấu kính đến mặt phẳng tiêu điểm của nó là khoảng hai đường chéo của một ô, tức là $F \sim 3$ xem hình 5 để biết phần cuối cùng

Hình 5

Lưới tứ giác

N. BELUKHOV

Bài viết này dành cho lịch sử của hình học khó bài toán, được xuất bản trong “Bài toán Kvant dưới số M2473 (xem số 7). Chúng ta sẽ nói về việc bài toán này hình thành như thế nào, giới thiệu nó lời giải và nói về mối liên hệ của nó với các bài toán và định lý khác. Câu chuyện của chúng ta bắt đầu với bài toán. Bài toán 1. các đường chéo của tứ giác ABCD ngoại tiếp (lồi) cắt nhau tại điểm P. Trên các tia PA, PB, PC, PD, lần lượt đánh dấu các điểm A a, B a, C a, D a sao cho PA PA a PB PB a PC PC a PD PD a

Hình 1

xây dựng hình ảnh của một tứ giác trong thấu kính tìm thấy, được thực hiện theo các quy tắc quang học hình học. Và, như có thể thấy từ hình, hình ảnh thực sự trông giống như một hình vuông, tuy nhiên, hình ảnh này phải được xử lý một cách có điều kiện. Thứ nhất, vì những sai sót nhỏ trong cấu tạo của tia có thể làm gián đoạn khá đáng kể tính vuông góc của ảnh của các cạnh đối diện, và thứ hai, vì các định luật quang học hình học có tác dụng tốt đối với các tia nghiêng với trục chính của thấu kính ở những góc nhỏ. Ở đây chúng tôi phải sử dụng các chùm tia nghiêng với trục quang chính ở các góc lớn.

$(рис.1).^{1}$ Chứng minh rằng tứ giác A a B a C a D a cũng ngoại tiếp. Đây bài toán là một bước trong lời giải bài toán M1495 của tác giả (“Bài toán Kvant Số 6 cho $1995 г.).^{2}$ Đầu tiên, hãy tìm các góc của tứ giác A a B a C a D a. Từ sự giống nhau của các tam giác PAB và PA a B a, PBC và PB a C a, v.v. chúng ta có A a B a A a P PA một D một

= ABP PDA 180 o A. Tương tự, B a 180 o B, v.v. Điều này có nghĩa là các góc tương ứng của các tứ giác A a B a C a D a và ABCD cộng lại bằng 180o. Bên ngoài tứ giác ABCD, ta dựng tứ giác ABXY đồng dạng với tứ giác A a B a C a D a (hình 2). Vì BXY 180 o BCD nên CD P XY, tức là CDYX – hình thang (hoặc hình bình hành). Nói cách khác, chúng ta đã “thu nhỏ” tứ giác A a B a C a D a và dán một bản sao tương tự của tứ giác A a B a C a D a với tứ giác ABCD dọc theo

1 Nói cách khác, ABCD đi vào A a B a C a D a khi nghịch đảo với tâm P. Ví dụ, bạn có thể đọc về nghịch đảo trong bài viết của V. Uroev («Kvant» Số 5 cho $1984 г.).^{2}$ Tác giả bài toán M1495 – I. Vainshtein, lời giải của tác giả phần lớn dựa trên tính toán.