Vật lý lý thuyết và toán học hiện đại

16

KVANT 2024/№7

Đóng góp của S.P. Novikov cho toán học và vật lý lý thuyết đã được thế giới công nhận. Ông là người sáng lập phương pháp tích hợp vùng hữu hạn của các phương trình phi tuyến của vật lý toán học, phương pháp đại số hình học trong lý thuyết soliton và là người tạo ra lý thuyết về các hàm hành động đa giá trị (lý thuyết Morse–Novikov). Ông đã phát hiện ra hiện tượng tôpô trong kim loại bình thường trong điều kiện từ trường mạnh. Vì những đóng góp của mình cho khoa học, S.P. Novikov đã được trao Huân chương Vàng vĩ đại mang tên M.V. Lomonosov - giải thưởng cao nhất của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (2020), Huy chương Vàng Leonhard Euler của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (2012), Huy chương Vàng mang tên N.N. Bogolyubov của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (2009), N.I. Giải Lobachevsky của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (1980). Ông được bầu làm thành viên danh dự của nhiều học viện, hội khoa học nước ngoài. S.P. Novikov là tổng biên tập tạp chí “Uspekhi Matematicheskikh Nauk” (1988–2023), chủ tịch Hội Toán học Moscow (1985–1996). S.P. Novikov là người tạo ra một trường phái khoa học xuất sắc, tác giả của các chuyên khảo và sách giáo khoa cơ bản. Những vấn đề do S.P. Novikov đặt ra và những giả thuyết ông đưa ra tiếp tục có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của khoa học. Trong hơn 40 năm, hoạt động sư phạm của Sergei Petrovich gắn bó chặt chẽ với khoa hình học cao cấp và cấu trúc liên kết của Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Moscow, nơi ông đứng đầu từ năm 1982 cho đến cuối đời. S.P. Novikov là một trong những người khởi xướng thành lập Đại học Độc lập Moscow, trường đóng vai trò quan trọng trong giáo dục toán học Nga. S.P. Novikov cũng rất quan tâm đến các vấn đề giáo dục học đường. Sergei Petrovich đã làm rất nhiều việc để thu hút cả các nhà toán học trẻ và đã nổi tiếng đang hoạt động tích cực đến với tạp chí «Kvant» với tư cách là tác giả. Ký ức về nhà khoa học vĩ đại, người thầy và con người tuyệt vời sẽ mãi mãi còn trong trái tim chúng ta.

Vật lý lý thuyết và toán học hiện đại

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

S. NOVIKOV

Vật lý lý thuyết luôn được coi là toán học của thế giới thực, theo một nghĩa nào đó, là nguồn gốc chính của các ý tưởng toán học kể từ thế kỷ 17, là động lực chính cho sự phát triển của thế giới thực.

Từ cuốn sách “Thành phần toán học” (ấn bản thứ 2).

90% là các nhà toán học và là sợi dây kết nối chính giữa toán học và phần còn lại của khoa học tự nhiên. Vào thế kỷ 20, vật lý lý thuyết đạt tới đỉnh cao; nó đã trở thành khoa học chính xác chính. Những nhà lãnh đạo vĩ đại của vật lý lý thuyết đã có thể sử dụng và đôi khi tạo ra những lý thuyết toán học trừu tượng rất sâu sắc khi cần thiết để khám phá thực tế. Ngôn ngữ toán học và các kỹ thuật vật lý lý thuyết được phát triển đặc biệt như những công cụ toán học tốt nhất để nghiên cứu các vấn đề trong thế giới thực. Các quy luật mới của tự nhiên đã được phát hiện, và ngày nay, trên cơ sở đó, các công nghệ mới có hiệu quả thực tế đáng kinh ngạc đã được phát triển.

TOÁN HỌC

ty, và nó đã thay đổi thế giới của chúng ta mãi mãi. Trong nhiều thế kỷ, bài toán lời giải (tích hợp) các phương trình vi phân mô tả các hiện tượng tự nhiên là trọng tâm của sự tương tác giữa vật lý và toán học. Mọi người đều biết bài toán hai vật nổi tiếng do Newton giải có vai trò gì trong việc phát triển các phương pháp toán học của vật lý. Trong một thời gian dài sau đó, việc tìm ra các phương trình vi phân lời giải phân tích chính xác vẫn là công cụ chính của vật lý toán học: nếu bài toán trông quá khó, thì cần phải đơn giản hóa nó và sau đó tìm kiếm lời giải chính xác. Người ta đã dành nhiều nỗ lực để tìm ra những “trường hợp tích phân” đặc biệt của bài toán nổi tiếng, chẳng hạn như bài toán về chuyển động của một đỉnh. Vì lý do này, vào thế kỷ 19, tất cả các phương pháp toán học đã được phát hiện và phát triển, bao gồm chuỗi lũy thừa và lượng giác, phép biến đổi tích phân Fourier–Laplace, giải tích phức và xét tính đối xứng. Đôi khi những phương pháp này dẫn đến kết quả tiêu cực đáng chú ý - bằng chứng cho thấy mô hình này hoặc mô hình kia về nguyên tắc là không thể giải quyết được. Vào thế kỷ 19, một số trường hợp kỳ lạ có thể tích phân đã được phát hiện trong đó không thể nhìn thấy sự đối xứng rõ ràng: khả năng tích phân của dòng trắc địa trên các hình elip hai chiều trong không gian Euclide ba chiều (Jacobi), chuyển động của một đỉnh với các tham số đặc biệt trong trường hấp dẫn không đổi (Kovalevskaya) và một số trường hợp khác. Sự đối xứng ẩn đằng sau tất cả điều này là gì? Đáp số không rõ ràng trước khi lý thuyết soliton ra đời. Soliton (hay sóng đơn độc) trong nước đã được biết đến vào thế kỷ 19, nhưng với sự ra đời của những chiếc máy tính đầu tiên vào những năm 1960, các thí nghiệm số đã có thể thực hiện được cho thấy những đặc tính mới đáng chú ý của các sóng phi tuyến này. Lời giải thích toán học của họ đã dẫn đến việc tạo ra lý thuyết về các mô hình soliton có thể tích hợp, kết nối các phần khác nhau

THẾ GIỚI

toán học và vật lý. Trong loạt bài này: sóng phi tuyến trong môi trường liên tục (bao gồm lý thuyết plasma và quang học phi tuyến); lý thuyết lượng tử, lý thuyết tán xạ và tinh thể tuần hoàn; Động lực học Hamilton; hình học đại số của bề mặt Riemann và các đa tạp Abelian (hàm theta). Tôi sẽ đưa ra luận điểm sau: một phần quan trọng trong những khám phá quan trọng nhất trong toán học và vật lý toán học được thực hiện trong quá trình phát triển lý thuyết về các mô hình tích hợp. Vào những năm 1970, những thay đổi quan trọng đã xảy ra trong sự hợp tác giữa các nhà toán học và vật lý học. Ví dụ, các kết quả cấu trúc liên kết đã giải thích những quan sát thực nghiệm quan trọng đã tồn tại suốt nửa thế kỷ. Vào đầu những năm 80, các nhà vật lý nhất trí rằng điều chính mà các nhà vật lý học được từ toán học trong 10 năm qua là cấu trúc liên kết. Đồng thời, những khám phá của các nhà vật lý bắt đầu được áp dụng trong cấu trúc liên kết. Chúng ta hãy nhớ lại rằng từ lý thuyết phương trình Yang–Mills tự đối ngẫu đã phát triển lý thuyết tức thời với những ứng dụng đáng chú ý của nó đối với cấu trúc liên kết bốn chiều. Lý thuyết phương trình Yang–Baxter dẫn tới lý thuyết đa thức Jones trong lý thuyết nút thắt. Các lý thuyết trường phù hợp hai chiều nổi tiếng đã tạo ra nhiều mô hình có thể tích hợp, cũng đại diện cho các đối tượng đại số mới có mối liên hệ sâu sắc với lý thuyết soliton và các nhóm lượng tử. Trong thập kỷ qua, ngay trong thế kỷ 21, những ý tưởng toán học đến từ các nhà vật lý lý thuyết đã có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của hình học đại số. Sự tương tác giữa toán học và vật lý lý thuyết vẫn chưa dừng lại; những thành tựu của mỗi ngành khoa học này làm phong phú thêm cho ngành khoa học kia. Để kết luận, tôi muốn gửi một lời chúc đến các nhà toán học trẻ: hãy mở rộng phạm vi các hội thảo khoa học mà bạn tham dự trong cả toán học và vật lý. Đạt được sự hiểu biết sẽ tự biểu hiện, mặc dù theo thời gian.