Lời giải bài toán M2786—M2793; F2793—F2796

19

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 2

Hệ số ma sát của đai ốc trên mặt phẳng là P tg D, trong đó D là góc ma sát (tức là góc nghiêng tại đó bắt đầu trượt). Đai ốc phẳng P bị lệch khỏi đường OB, được gọi là đường có độ dốc lớn nhất hoặc đường có độ dốc lớn nhất và được thả ra mà không có tốc độ ban đầu. Với góc tối đa bằng bao nhiêu $M_{max}$ đai ốc có thể bị lệch khỏi đường có độ dốc lớn nhất mà nó không bắt đầu chuyển động sau khi được thả ra? A. Burov

F2811. Nếu ở nhiệt độ phòng (20 q C), bạn bơm không khí bên ngoài vào một chai có thành trong suốt ướt từ bên trong đến áp suất, chẳng hạn như 2,33 atm, hãy đợi một lúc để nhiệt độ và áp suất của hơi nước bão hòa được thiết lập bên trong (2,33 kPa ở 20 ° C), sau đó mở chai, sau đó sương mù xuất hiện trong đó ngay sau khi nút chai và một phần nội dung bay ra ngoài. Nhiệt độ của đồ bên trong (ở giữa chai) tại thời điểm này sẽ là bao nhiêu? Các dữ liệu cần thiết về nước, đặc biệt là về sự phụ thuộc của áp suất hơi bão hòa của nước vào nhiệt độ, có thể tìm thấy trong sách tham khảo vật lý. B. Tumanov

F2812. Một máy biến áp ba pha có lõi sắt hình chữ F và ba cuộn dây giống nhau có số vòng dây như nhau. Lõi sắt không bão hòa và có độ nhạy từ rất cao và không đổi. Nếu bạn đặt một điện áp xoay chiều có biên độ $U_{0}$ vào cuộn dây bao phủ mạch từ ở giữa, thì điện áp sẽ bị loại bỏ khỏi bất kỳ cuộn dây nào khác

“QUANTA”

chuyển động nửa biên độ. Nếu bạn đặt cùng một điện áp vào một trong các cuộn dây bên, thì điện áp ở cuộn dây giữa sẽ bằng $0,55U_{0}$. 1) Đặt một điện áp U sin Z t vào một trong các cuộn dây và 2 U cos Z t vào cuộn dây kia. Điện áp nào được loại bỏ khỏi cuộn dây thứ ba? (Có một số phương án, vui lòng cho biết tất cả các phương án có thể.) 2) Nếu bạn sử dụng máy biến áp này để cố gắng đạt được điện áp có biên độ cực đại khi có nguồn điện áp xoay chiều có biên độ $U_{0}$, thì biên độ của điện áp này sẽ là bao nhiêu? Vẽ sơ đồ nối máy biến áp với nguồn điện áp và các cực. 3) Sử dụng cùng một máy biến áp, cùng một nguồn điện áp xoay chiều cần thu được điện áp xoay chiều có biên độ không bằng 0 nhưng có thể nhỏ hơn so với $U_{0}$. Điện áp biên độ tối thiểu này là gì? S. Varlamov

Lời giải bài toán M2786–M2793, F2793–F2796 M2786. Có 100 chấm trắng trong một vòng tròn. Anya và Borya lần lượt sơn một điểm chưa được sơn màu đỏ hoặc xanh, Anya bắt đầu. Anya muốn có càng nhiều cặp chấm lân cận nhiều màu càng tốt, và Borya muốn có càng ít cặp như vậy càng tốt. Số cặp chấm lân cận nhiều màu lớn nhất mà Anya có thể đảm bảo cho chính mình, bất kể trò chơi của Bori là bao nhiêu?

Đáp số: 50. Tổng cộng có 100 cặp điểm lân cận trong vòng tròn. Nó đủ để chứng minh rằng Anya luôn có thể đảm bảo rằng trong số 100 cặp cặp khác màu này có ít nhất 50 cặp, và Borya có thể đảm bảo rằng trong số 100 cặp cặp cùng màu này có ít nhất 50 cặp. Có một số chiến lược phù hợp cho Anya và Borya. Có lẽ các chiến lược đơn giản nhất là như sau.

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

tất cả các điểm được đánh dấu trên 111 bộ tuyến tính? b) Câu hỏi tương tự nếu yêu cầu thêm rằng mỗi tập hợp tuyến tính phải là một đoạn gồm các điểm được đánh dấu (nghĩa là nếu hai điểm được đánh dấu khác nhau được bao gồm trong một tập hợp tuyến tính thì tất cả các điểm được đánh dấu trên đoạn giữa chúng cũng vậy).

2

3

Đáp số: a) $2^{3} n$; b) $C_{2} nn$, trong đó n 111 3 37. Xét một tam giác đều có cạnh k, chia tam giác đó thành các tam giác đều có cạnh 1 và đánh dấu tất cả các đỉnh của các tam giác này; Chúng ta gọi kết quả được xây dựng là tam giác k. Trong phần tiếp theo, khi nói đường thẳng, chúng ta sẽ luôn hiểu là những đường thẳng song song với các cạnh của tam giác này và đi qua ít nhất một điểm đã đánh dấu. a) Bổ đề. Cho A là một điểm được đánh dấu trong tam giác k. Khi đó có một cách duy nhất để vẽ k đường sao cho tất cả các điểm được đánh dấu, có lẽ ngoại trừ A, đều bị bao phủ bởi các đường này. Cụ thể, với mỗi cạnh của tam giác k, ta vẽ tất cả các đường thẳng song song với nó và nằm giữa cạnh này và điểm A (kể cả cạnh đó nhưng loại trừ đường thẳng chứa A. Hình 1 (Hình 1). Chứng minh quy nạp trên k. Cơ sở của k 1 rất dễ kiểm tra: ta cần vẽ một đường thẳng chứa hai điểm còn lại ngoại trừ A. Để tiếp tục, xét cạnh của tam giác k mà A không nằm trên đó. Nếu đường thẳng chứa cạnh này không được vẽ, thì tất cả các điểm được đánh dấu k + 1 trên đường thẳng này phải được bao phủ bởi các đường khác nhau; điều này là không thể, vì có k đường thẳng được vẽ. Loại bỏ nó và các điểm của tam giác k nằm trên nó, chúng ta thu được tam giác k 1 trong đó k 1 đường thẳng được vẽ với cùng điều kiện.

“QUANTA”

thay đổi giả định quy nạp. Bổ đề đã được chứng minh. Hãy chuyển sang bài toán. Hãy xem xét một trong các phân vùng thành các tập hợp tuyến tính. Đối với mỗi bộ, chúng ta vẽ một đường chứa nó. Khi đó, những đường thẳng này bao phủ tất cả các điểm được đánh dấu của tam giác (3n) đã cho của chúng ta, trong đó n 37, có lẽ ngoại trừ tâm A của nó. Điều này có nghĩa là những đường thẳng này được sắp xếp như mô tả trong bổ đề, và đối với bất kỳ phân hoạch nào, tập hợp các đường thẳng này đều giống nhau. Lưu ý rằng tam giác (3n) của chúng ta được chia thành 6 vùng: ba “hình thoi” ở các góc, bao gồm các điểm được bao phủ bởi các đường thẳng của chúng ta hai lần và ba “hình thang” ở hai bên, trong đó mỗi điểm được bao phủ bởi một đường thẳng (Hình 2). Khi đó mỗi điểm trong “hình thang” thuộc về tập hợp nằm trong Hình 2 mu trên đường thẳng này; mỗi điểm trong “hình thoi” có thể được quy cho bất kỳ tập hợp nào trong hai tập hợp nằm trên các đường thẳng đi qua nó. Tất cả các lựa chọn như vậy có thể được thực hiện độc lập với nhau. Vì mỗi viên trong số ba “viên kim cương” chỉ chứa $n^{2}$ điểm nên chúng ta thấy rằng có chính xác $2^{n}$ phân vùng bắt buộc

2

3

.

b) Với lời giải bài toán b) chúng ta lặp lại tất cả lý do trên cho đến việc phân bổ điểm trên các tập hợp trong “kim cương”. Ví dụ: hãy xem xét “viên kim cương” phía dưới bên trái và đặt S là tập hợp các điểm được đánh dấu $n^{2}$ trong đó (Hình 3). Hãy tô màu đỏ các đường ngang đi qua các điểm của tập S và đánh số từ 1 đến n từ dưới lên trên. Tương tự, ta tô màu và đánh số các đường nghiêng đi qua các điểm của tập S bằng màu xanh lam. Theo cách tô màu và đánh số các đoạn thẳng, ta tô màu và đánh số các đoạn thẳng nằm. 3

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

bò lên trên với tốc độ không đổi theo quy tắc của chúng tôi (trong trường hợp này, chúng sẽ bò qua que ngay lập tức), bọ ở que ngang sẽ đổi chỗ và không có hai con bọ nào ở trên cùng một cột cùng một lúc. Điều này có nghĩa là ở đầu mỗi cột sẽ có một con bọ ở cuối. Hãy gọi con bọ bắt đầu từ cột đầu tiên là màu đỏ và con bọ kết thúc ở đầu cột trung tâm là màu xanh lá cây. Lưu ý rằng con bọ đỏ bắt đầu ở bên trái con bọ xanh và kết thúc ở bên phải. Điều này có nghĩa là trên ít nhất một cây gậy họ đổi chỗ cho nhau. Hãy bỏ cây gậy này ra: qua đó chúng ta sẽ chuyển hướng con bọ đỏ dọc theo lộ trình của con bọ xanh, con bọ này sẽ đạt được điều chúng ta mong muốn. Hãy để chúng tôi trình bày một sơ đồ về một lời giải hơi khác một chút. Ban đầu, chúng ta sẽ đặt con bọ màu xanh lên trên cùng của cột thứ năm và để nó bò từ trên xuống dưới. Quỹ đạo của nó sẽ giao nhau với quỹ đạo của con bọ đỏ trên thanh ngang. Hãy loại bỏ cây gậy này. G. Karavaev

M2793*. Trong tam giác nhọn ABC (AB AC), điểm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp: (Hình 1). Giả sử đường tiếp tuyến của: vẽ tại điểm A, cắt đường thẳng BC tại điểm D. Đường thẳng DO cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm E và F. Điểm G được dựng sao cho AEGF là hình bình hành. Gọi K và H lần lượt là giao điểm của đoạn BC với các đoạn EG và FG. Chứng minh đường tròn (GKH) tiếp xúc với đường tròn:.

Hình 1

“QUANTA”

Hình 2

Cho điểm T đối xứng với điểm A so với DO (Hình 2). Khi đó DT là tiếp tuyến của đường tròn: đối xứng với tiếp tuyến DA đối với DO. Chúng tôi có ETF FAE EGF. Suy ra các điểm E, F, T và G cùng nằm trên một đường tròn. Tiếp theo ETD DAE ACB EKD. Suy ra các điểm D, E, K, T cùng nằm trên một đường tròn. Suy ra T là điểm Mikel của bốn đường thẳng DBC, DEF, EKG, FHG. Điều này có nghĩa là các điểm T, K, H và G cũng nằm trên cùng một đường tròn. Để hoàn thành lời giải cần chứng minh DT tiếp tuyến với đường tròn (TKHG). Sử dụng sự bằng nhau của các góc nội tiếp, tính song song và tính đối xứng đối với DO, ta có DTK FEK EFA TFE TGK. Đẳng thức thu được DTK TGK có nghĩa là DT tiếp tuyến với đường tròn (TKHG). Đồng Lưu

Từ biên tập viên. Các tính chất thú vị sau đây cũng có thể được tìm thấy trong cấu trúc hình học của bài toán M2793. (1) Nếu đường tròn (EFG) cắt AB, AC lần thứ hai tại P và Q thì PQ đi qua trực tâm tam giác ABC; (2) AG cắt đường tròn (TKHG) lần thứ hai tại điểm X sao cho tiếp tuyến của (TKHG) qua X đi qua D. Hơn nữa, (1) đúng với mọi cặp điểm E và F nằm trên AB và AC sao cho EF đi qua O, và (2)

28

KVAN T 2024/№7

đường cong, cần lưu ý rằng trong phần thẳng, áp suất tại tất cả các điểm là như nhau, nhưng ở phần cong chúng khác nhau. Nhưng áp suất không thể thay đổi đột ngột; Do đó, trong lời giải phải có sự phụ thuộc vào khoảng cách mà một phần chất lỏng đã di chuyển trong một phần cong, nhưng sự phụ thuộc này trong lời giải không có. Đúng, điều kiện nói lên rằng nơi bạn cần tìm tốc độ nằm cách xa đoạn thẳng. Điều này có nghĩa là kết quả lời giải đúng về mặt chất lượng nhưng không chính xác.

F2795. Vòng có bán kính R, độ dày của vòng nhỏ so với bán kính, khối lượng của vòng m phân bố đều dọc theo chu vi của nó. Chiếc nhẫn được tháo xoắn quanh trục đối xứng của nó, đặt trên một mặt phẳng có hệ số ma sát gồ ghề bằng P, nghiêng một góc D so với phương ngang và được đẩy lên trên. Trục đối xứng của vòng vuông góc với mặt nghiêng. Chiếc nhẫn được ép vào bề mặt ở tất cả các điểm trên chu vi của nó. Tại một thời điểm nào đó, tâm của vòng có tốc độ bằng 0 (so với bề mặt) và vòng quay với vận tốc góc Z. Tâm của vòng chuyển động tại thời điểm đã cho với gia tốc bằng bao nhiêu? Tốc độ góc quay của vòng giảm ở tốc độ nào tại thời điểm này?

Tại thời điểm đã chỉ định, tất cả các điểm của vòng tiếp xúc với bề mặt đều chuyển động và tốc độ chuyển động của chúng hướng tiếp tuyến với vòng. Điều này có nghĩa là tổng lực ma sát tác dụng lên vòng tại thời điểm này bằng không. Do đó, gia tốc của tâm vòng bằng $а_{ц} = g$ sin D. Vận tốc góc quay của vòng giảm và tại thời điểm chỉ định gia tốc góc tương ứng (trên thực tế là giảm tốc) bằng d Z dt g P cos D. R

Ngoài lời giải đơn giản này, bạn có thể đưa ra cho người đọc những câu hỏi phức tạp hơn những câu hỏi trong điều kiện nhiệm vụ.

chi: tâm của chiếc nhẫn sẽ di chuyển bao xa từ thời điểm xác định đến thời điểm chiếc nhẫn dừng quay; Hỏi chiếc nhẫn sẽ quay được góc bao nhiêu trong khoảng thời gian này? Đối với đáp số, những câu hỏi này rõ ràng sẽ yêu cầu sử dụng máy tính, vì để tìm sự phụ thuộc của gia tốc và vận tốc của tâm vòng theo thời gian, cũng như để thiết lập sự phụ thuộc của vận tốc góc quay của vòng theo thời gian, cần phải giải các phương trình vi phân trong đó cần tính tích phân phức và các tích phân chứa cả vận tốc của tâm vòng và vận tốc góc quay của nó.

F2796. Một hộp cố định rất dài, có thành mỏng, làm bằng vật liệu không dẫn điện. Mặt cắt ngang của hình hộp là hình vuông có cạnh a. Trên trục đối xứng của hộp có một thanh mỏng rất dài mang điện tích phân bố đều dọc theo chiều dài của nó. Mật độ điện tích tuyến tính V. Gắn vào mép hộp là một đầu của một sợi dây mỏng, không dẫn điện, không trọng lượng và không dãn, được quấn quanh hộp, tạo thành N vòng giống hệt nhau. Các mặt phẳng quay vuông góc với trục đối xứng của hình hộp. Một vật điểm (quả bóng) có khối lượng m và điện tích q được gắn vào đầu kia của sợi dây. Tại thời điểm ban đầu, vật này nằm cạnh vị trí mà đầu sợi chỉ được cố định vào hộp và tốc độ của nó tại thời điểm này bằng 0. Thiết kế này ở trong chân không và có thể bỏ qua trọng lực. Khi một vật chuyển động, đến một lúc nào đó nó đạt vận tốc cực đại. Độ lớn của tốc độ này là bao nhiêu và độ căng của sợi dây tại thời điểm này là bao nhiêu?

Thanh tạo ra một điện trường trong không gian xung quanh, vectơ cường độ của nó tại bất kỳ điểm nào trong không gian vuông góc với thanh và độ lớn của vectơ này được xác định bởi khoảng cách từ thanh đến điểm tương ứng. Giá trị này có thể được tìm thấy bằng định lý Gauss: