"Dễ lời giải với một hình học khó bài toán"

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

“Dễ lời giải với một hình học khó bài toán”

K. KOZERENKO, A. GERASIMOVA, A. LUZGINA

CHÚNG TÔI đặt dấu ngoặc kép trong tiêu đề bài viết vì đó là một câu trích dẫn. Đây là tựa đề bài báo của L. Euler [1], được ông xuất bản năm 1767. Trong đó, Euler đặt ra vấn đề dựng lại một tam giác từ giao điểm của các đường cao H, giao điểm của các đường trung tuyến M, giao điểm của các phân giác I và tâm của đường tròn ngoại tiếp O (Hình 1). Việc điểm M nằm trên đoạn HO đã xuất hiện trong bài viết này (xem [2]). Hình 1 215 năm trôi qua, và vào năm 1982, nhà toán học người Mỹ William Wernick đã công bố một danh sách gồm 139 bài toán [3], trong đó ông cố gắng hệ thống hóa bài toán cách dựng lại một tam giác từ một số trong ba điểm của nó bằng cách sử dụng thước kẻ và la bàn. Trong số này, bài toán, số 80, được đề cập là cho đến nay vẫn chưa được giải quyết, và bài toán của Euler. Năm 1996, Myers công bố thêm lời giải 29 bài toán nữa từ danh sách của Wernick [4], bao gồm bài toán $№80.^{1}$ Myers trích dẫn lời giải làm ví dụ

một trong 29 bài toán. lời giải này đã sử dụng định lý sau (xem [7], chương 5). Định lý. Cho một đoạn có độ dài 1. Khi đó, nếu một phương trình bậc ba với các hệ số hữu tỉ không có nghiệm hữu tỉ và có nghiệm thực dương a, thì một đoạn có độ dài a không thể dựng được bằng compa và thước. Việc chứng minh định lý này không đơn giản và sử dụng bộ máy đại số nằm ngoài phạm vi chương trình học ở trường nên chúng tôi không trình bày (tuy nhiên, chúng tôi khuyên người đọc nên hiểu). Trong bài viết này, dựa trên cùng một định lý, chúng tôi sẽ đưa ra bằng chứng rằng đáp số trong bài toán 80 từ danh sách của Wernicke là âm, tức là không có thuật toán nào để tái tạo một tam giác bằng compa và thước từ các điểm H, I và O. Tuy nhiên, nếu thiếu la bàn và thước, thì một câu hỏi tự nhiên sẽ đặt ra: liệu có công cụ nào mà bằng cách thêm nó vào la bàn và thước, có thể giải được không bài toán? Chúng tôi cũng sẽ cho đáp số cho câu hỏi này. Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý (và điều này thật tuyệt vời!) rằng với la bàn và thước kẻ, bắt đầu từ tam giác HIO, bạn có thể khôi phục nhiều phần tử của tam giác: xây dựng đường tròn ngoại tiếp:, đường tròn nội tiếp Z, đường tròn chín điểm H (vòng tròn Euler) và thậm chí tìm bán chu vi p của tam giác mong muốn (Hình 2). Khi chúng tôi phát hiện ra điều này, chúng tôi nghĩ rằng gần như đã xong! Ở giai đoạn làm việc này, chúng tôi vẫn chưa biết đáp số và không thể hiểu tại sao, dù đã tiến bộ đến mức này, chúng tôi vẫn không thể hoàn thành thuật toán tái tạo tam giác từ các điểm H, I và O. Oils in

(Tiếp theo trang 34)

1 Chúng ta hãy lưu ý bài viết [5], đề cập đến tính không thể quyết định của các danh sách bài toán Wernicke khác, nhưng cách xây dựng tương tự cũng hoạt động cho bài toán 80. Đối với tình hình hiện tại với danh sách Wernicke, nó hiện đã đóng hoàn toàn (xem [6]) và các tác giả của công trình này đã học cách giải nhanh chóng bài toán đó trên máy tính.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240703

Hình 2

39

PHÒNG THÍ NGHIỆM

“QUANTA”

Hình 3. Phân bố chu kỳ dao động

trong trường hợp cụ thể này, đó là hàm phân phối thời kỳ. Đây là số dao động có chu kỳ nằm trong một khoảng nhất định. Bất kỳ phép đo nào cũng là một quá trình xác suất. Xác suất càng cao thì hiện tượng này càng đáng tin cậy, không còn nghi ngờ gì nữa. Ở vị trí “dây dẫn bên dưới”, con lắc dao động với chu kỳ ngắn nhiều hơn so với chu kỳ lớn; chu kì tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của gia tốc “rơi tự do”, nghĩa là hệ trở nên “nặng hơn”. Đúng vậy: trong những khoảng thời gian ngắn, lực tác dụng lên dòng điện hở sẽ được định hướng đến nơi cần thiết; như mong đợi (xem hình 1b). Dây dẫn trong cách sắp xếp này không chỉ bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn $сила_{r}$ mà còn bởi lực f. Trong thời gian dài, mọi thứ diễn ra hoàn toàn ngược lại. Tất nhiên, thật đáng tiếc là xác suất tối đa không cách xa nhau hơn. Lý do rất rõ ràng: ngoài dòng điện hở còn có dòng điện đóng, ảnh hưởng của từ trường lên chúng là rất đáng kể. Và một xác nhận khác rằng tần số dao động của dây dẫn phụ thuộc vào vị trí của nó. Khi tắt các nam châm điện của con lắc Waltenhofen, chu kỳ dao động hóa ra là

gần 1,051 giây, tức là giữa các giá trị tại đó xảy ra tăng hoặc giảm cân. Hiệu quả vẫn còn yếu. Sự thay đổi g đo được theo cách này là khoảng hai phần mười phần trăm. Chúng ta muốn gì? Vì vậy, ở tần số dao động 1 hertz, toàn bộ hệ thống sẽ cất cánh, theo một nghĩa nào đó, không bắt đầu từ bất cứ thứ gì? Điều này không xảy ra trong đời thực; cần có thêm điều kiện và nỗ lực để điều này xảy ra.

Văn học

1. A.L. Dorofeev. Dòng điện xoáy. – M.: Năng lượng, 1977. 2. P. Kuzmin. Nghịch lý của từ trường không đổi. – «Kvant», 1995, số 3. 3. J. Orir. Vật lý. – M.: KDU, 2019. 4. T.A. Agekyan. Nguyên tắc cơ bản của lý thuyết sai số cho các nhà thiên văn học và vật lý học. – M.: Nauka, 1968.