测试能被 19 和 7 整除

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13. 基本序列$q_1, q_2, q_3, \dots$的数字必须满足什么条件才能只包含两位数：0和1？还应该对这些数字 $q_1, q_2, \dots$ 施加哪些其他条件，以使两个数字不会连续出现？

14. 数字序列

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 3,$$

$$q_3 = 5, \quad q_4 = 8, \quad q_5 = 13, \dots,$$

其中$q_{n+1} = q_n + q_{n-1}$称为斐波那契数列。证明斐波那契数字系统满足上一问题的所有条件。求这个系统中数字的总和

a) $\underbrace{100 \dots 00}_{k} + \underbrace{100 \dots 00}_{l}$;

b) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + 1$;

c) $\underbrace{10101 \dots 01}_{2m+1} + \underbrace{100 \dots 00}_{2m+1}$.

15. 是否可以将所有自然数 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … 分成两个递增序列 $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ 和 $b_1, b_2, b_3, b_4, \dots$，使得对于任何 $k = 1, 2, 3, \dots$ 都有 $b_k - a_k = k$？

经过一番思考，您当然会同意如何选择这样的序列（这是唯一的方法）

$$\begin{array}{cccccccc} a_1 & b_1 & a_2 & a_3 & b_2 & a_4 & b_3 & a_5 & a_6 & b_4 & a_7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ a_8 & b_5 & c_9 & b_6 & \dots \\ 12 & 13 & 14 & 15 & \dots \\ \end{array}$$

在教育中满足$(a_k, b_k)$对并不是那么容易的。例如，你如何找出 $-a_k$ 或 $b_k$ 100 属于两个序列中的哪一个，它对应于什么数字，它会是什么数字（而不写出所有前面的 $a_k$ 和 $b_k$）？

事实证明，为了制定这种模式，您需要不以十进制形式编写这些序列，而是以斐波那契数系形式编写。尝试去发现并证明它。

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