数学家所做的一切

55

澳大利亚著名数学家、普及者W. W. Sawyer*）的著作揭示了数学思维的本质，展示了数学的主要思想和驱动力。作者以一种阴险而有趣的方式，展示了数学作为一门枯燥而形式的科学这一根深蒂固的观念的全部活力。我们在此提供本书简介的简短摘要。

*) W. W. Sawyer，《数学前奏》，M.，“启蒙”，1965 年。

56

几乎所有数学发现都基于一个非常简单的想法。教科书常常掩盖这一事实。它们通常包含繁琐的结论，从而给人留下这样的印象：数学家是一辈子坐在办公桌前翻译大量论文的人。这是无稽之谈。许多数学家在洗澡、床上、等火车或骑自行车（最好动作轻柔）时工作得非常成功。打开之前或之后进行数学计算。这一发现本身将源于基本思想。

很少有人意识到现代数学的范围有多么广阔。掌握所有现有的语言可能比掌握目前已知的所有数学知识更容易。在我看来，所有的语言一生都可以读懂，但所有的数学当然是读不完的。此外，数学知识的量也不会保持不变。每年都有新发现发表。例如，1951 年，要对当年发表的所有数学文章进行摘要介绍，需要 900 页大版面印刷页。仅一月份，就有 451 个标题被提及，并审查了解决新问题的文章和书籍；其中只有少数提到了已知的事实。

一个人想要跟上数学领域的一切新事物，每天必须阅读大约 15 篇文章，这些文章规模宏大，包含复杂的数学计算。执行这样的任务甚至是梦想都很难。

数学家的发现本质上是多种多样的，以至于有一天，显然不在场的人会认为数学是“数学家所做的一切”。似乎只有这样宽泛的定义才能涵盖与数学有关的一切。数学家解决了过去在数学上没有考虑过的问题，很难预测他们将来还会做什么。

更准确的定义是：“Matematika 是对所有可能出现的问题以及解决这些问题的方法的分类。”这个定义也许也是模糊的，因为它甚至涵盖了诸如报纸广告“将你所有衷心的关切发送给米妮阿姨”之类的标题，这不是我们的意思。

对我们来说，一个定义就足够了：“Matematika 是对解决这些问题的所有可能途径和方法的分类和研究。”这里使用的“规律性”一词可能有许多人可能不同意的含义，即在最广泛的意义上，作为心灵可以知道的任何类型的确定性的名称。

任何数学理论都必须结合方法的力量。调理以结合方法的力量 调理以结合方法的力量。

易于应用于自然科学，以及美丽、和谐和对心灵的吸引力。在我们看来，我们对数学的定义满足了这些一般要求。

有趣的是，“对数学形式只有严格意识的数学家经常得出后来证明对科学极为重要的结论。希腊人研究椭圆的性质早于开普勒用他们的想法确定行星轨迹的一千多年。相对论的数学装置是在爱因斯坦发现其在物理学中的应用之前三十到五百年创建的。可以举出许多类似的例子。另一方面，许多有价值的理论和问题任何“数值”数学家都会将其归类为数学起源于物理学。

通常，从业者不知道数学是对所有问题进行分类的方法。一般的经验是只研究那些已经证明对他们的专业有用的数学分支。因此，面对新的任务，他们完全束手无策。这就是他们向数学寻求帮助的时候。 （工程师和数学家之间的这种分工可能是合理的：生命太短，无法同时研究抽象理论和工程。）

57

数学和工程非常有趣。工程师每天和机器打交道，已经习惯了，无法理解人第一次看到机器的感觉。他用大量的细节轰炸他的数学家，而这些细节大部分都是一无所知的。一段时间后，工程师得出结论，数学家绝对是一个令人惊讶的人，他需要被迫做最简单的事情，就像孩子或苏格拉底一样。但是，一旦数学家了解了机器正在做什么以及需要什么，他就会将问题翻译成数学术语的语言。之后，他可以告诉工程师以下三件事之一：

1. 该问题是已知的并且已经得到解决；
2. 这是一个他可以尝试解决的新问题；
3. 这是数学家们肯定正在试图解决的问题之一，而且在迈出解决这个问题的一步之前可能还需要几个世纪的时间，因此工程师必须凭经验来解决它。不幸的是，第三个案例的结果却很惨淡。但第一种和第二种情况也相当片面，正是在这种情况下，数学家凭借其对定律的了解，可以在他在某种意义上不知道的那些领域中带来好处。
   数学家应该具备哪些素质？
   所有数学家都具有大胆的思想。数学家不喜欢被告知任何事情；他想自己弄清楚一切。当然，一位成熟的数学家知道了一些伟大的发现，并告诉他们，从来没有人能够用尺子和圆规将一个角度分成三等份，你肯定会看到一个男孩放学后会留下来试图找到解决方案。尽管飞行员两千多年来都没有解决这个问题，但这并不能阻止他们希望能够在一个小时的午休时间里做到这一点。这当然不是很谦虚，但也并不表明他们的傲慢。他们根本不准备接受任何法律，但事实上已经证明有必要用尺子和圆规将角度分成三等份。他们寻找解决方案的尝试与尝试将数字 2 表示为有理分数相同。
   一个好学生总是努力超越自己。如果他有义务将其补为完全平方，他一定会来找出是否可以通过将其补为完全立方来解决立方控制。班里的其他人不会问这样的问题。他们已经受够了二次方程；他们不会因为额外的困难而犯傻。
   这种渴望探索数学家第二个优秀品质的愿望。这是蕴含数学成长的力量之一。数学家从他所掌握的知识中获得满足。并始终追求新知识。
   这个想法可以用学校代数课程中的分数指数的例子来说明。很容易想象一个人在对分数和负指数有了肤浅的了解后，开始想知道为什么需要这一切。毕竟，我们必须提供这么多逻辑上的困难！在我看来，发现分数指数的人首先研究整数指数，并从这项工作中获得了巨大的满足，以至于他想要开发这一部分，并且他准备好承担逻辑风险。毕竟，一开始新发现几乎总是一个信仰问题，只有后来，当人们清楚这确实是一个发现时，才有必要找到一个逻辑上的理由来满足最优先的批评者。
   对模式的兴趣是数学家的第三个必要品质。在争论的一开始，就已经遇到了模式。例如，四块石头可以组成一个正方形，但五块石头则不能。

58

数学和音乐能力很早就显现出来，从四岁开始，有时甚至更早。一个男孩曾经告诉我：“我喜欢九月这个词，因为它原来是 sEptEmbEr。”我自己从来没有注意到这个词中元音和辅音的自然进展。这是真正的完美对称。这样的孩子当然会喜欢算术。

概括能力是定义数学家的最重要因素之一。某些一般原则适用的问题范围越广，就越能帮助我们摆脱困境。庞加莱说：“假设我努力进行一项复杂的计算，并费了很大的劲，终于得到了结果；但是，如果它们不能帮助预见其他类似计算的结果，如果它们不能使计算更加精确，避免那些我第一次必须忍受的错误和错觉，那么我的所有努力都将是徒劳的。”

一旦推广，结果就会变得更有用。您可能会惊讶地发现，泛化几乎总是会简化结果。较大的选择比较小的选择更容易被感知。一般定理很少包含任何令人困惑的内容。其目的是让您注意真正重要的事实。

在初等数学中，我们会遇到各种重要和不重要的混合体

细节。在高等数学中，我们尝试将各种元素分开并单独研究。从这个意义上说，高等数学也许比初等数学简单得多。

我们上面讨论的一切都是为了扩大数学问题的范围。研究、发现模式、解释每种模式的含义、根据已知模式发明新模式——所有这些类型的活动都扩展了数学的范围。从实践的角度来看，跟踪所有获得的结果变得极其困难，并且不能说不相关定理的创建代表着顺利的发展。作为商人和艺术家，数学家觉得有必要收集所有这些不同的结果。

毫不奇怪，整个数学史都是由“扩张”和“收缩”的交替过程组成的。例如，外部数学家被某个问题吸引，写了数百篇文章，每一篇都只涵盖了事实的一方面。这个问题将会越来越多。然后，某个天才基于如此困难地收集到的所有数据宣称：“如果你从这个角度来看，我们所知道的一切都变得几乎非常方便。”此后，除了数学来源之外，任何人都不再需要研究数百篇单独的文章。分散的结论被统一为一个简单的学说，重要的事实与谷壳分离，通向所需结论的直接路径向所有人开放。需要研究的信息量已经减少。但这还没有结束。新方法普及后，又会出现新的不足的问题，日本人的回答又开始了，文章又发表了，“扩大”的过程又开始了。

如果可以将所有知识简化为两个一般定律，数学家就不会满意。在证明这两条法律都基于同一原则之前，他不会休息。但即便如此，他也不会高兴。相反，他会变得不快乐，因为他无事可做。但这样一个零件的前景是令人难以置信的。生活就是这样，解决一个问题总是会产生一个新问题；不然生活就难以忍受了。总是有需要学习的材料和需要克服的挑战。

而且永远都是这样。如果事实证明所有基本数学只考虑具有属性 A、B 和 C 的现象，数学家们会立即问：“如果某个对象仅具有这些属性之一，会发生什么？如果没有一个属性怎么办？”他们会重新投入工作。

59

---

running_head:
folio:

转至“数字系统”一文

1. 201011011100010.
2. ((24·60 + 2) 60 + 32)·60 + 42 = 5 193 162.
3. 4(18·20^4) + 6(18·20^5) + 14(18·20^2) + 13(18·20) + 15·20 + 1 = 12 489 781.
4. a)
   $$\begin{array}{c c c c c c c c c} \frac{123456}{7} & \frac{17636}{14} & \frac{2519}{21} & \frac{359}{35} & \frac{51}{9} & \frac{49}{7} \\ \frac{53}{49} & \frac{36}{35} & \frac{41}{35} & \frac{9}{7} & \frac{49}{7} \\ \frac{42}{25} & \frac{13}{7} & \frac{69}{63} & \frac{7}{2} \\ \frac{21}{46} & \frac{66}{63} & \frac{63}{6} \\ \frac{42}{4} \end{array}$$
   答：722634。

6. $$\frac{123456}{12} \frac{1028}{96} \frac{85}{68} \frac{12}{8} \frac{7}{7}$$
   答案：7180。
   b) 123456 0 61728 0 30864 0 15432 0 7716 0 3858 0 1929 1
   964 0 482 0 241 1 120 0 60 0 30 0 15 1 7 1 3 1
   1

（在右栏中，我们写出除以 2 的余数，这很容易口头完成。）
答：11110001001000000。
5. 准备一个 2 度表很有用：
\begin{array}{c c c c c c c c} n & 2^n & n & 2^n \\ 0 & 1 & 5 & 32 \\ 1 & 2 & 6 & 64 \\ 2 & 4 & 7 & 128 \\ 3 & 8 & 8 & 256 \\ 4 & 16 & 9 & 512
答案：$P = 32 + 4 = 36$，$Q = 256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 341$。
6. + | 0 | 1 | 2
0 | 0 | 1 | 2
1 | 1 | 2 | 10
2 | 2 | 10 | 11
7. a）$X = 19$； 6) 条目$Y$并不代表任何数字（参见练习8）； b) $Z = 49$。
8. 任何序列“$a_n a_{n-1} \dots a_0$”，其中$a_{3k} \leq 1$、$a_{3k+1} \leq 2$、$a_{3k+2} \leq 1$对于所有$k$且两者之后没有一个（检查该条件对于不等式$a_{k+1} > a_k q_k + a_{k-1} q_{k-1} + \dots + a_0 q_0$对于所有$k$成立是必要且充分的）。
9. 是的。第一个更大。
10. b) 如果权重是一盘秤的类别，则所需的最小权重数为 10。例如，您可以采用以下权重：1, 2, 4, 8,…,512 = 2^9。九个权重（任何权重）都不够，因为您只能从中选择 2^9 - 1 = 511 种由一个或多个权重组成的不同组合；即使所有这些组合给出不同的权重，我们仍然不会得到从 1 到 1000 的权重。
如果权重在两个量表上都是类别，则所需的最小权重数为 7。（例如，以下也适用：1, 3, 9, 27,…,729 = 3^6；请参阅练习 11。）六个权重是不够的，因为显示的三个元素组 {left-hand cup; left-hand cup;尺杯；带有权重的盒子}总计 3^6 = 729，以及不同的数字 $P_1 - P_2$，其中 $P_1$ 和 $P_2$ 是秤左右盘上权重的重量，它应该至少为 2001（从 - 1000 到 +1000）。
13. 2q_n \leq q_{n+1}; q_{n-1} + q_n \leq q_{n+1}.
14. a) 10…0 10…0，如果 $k - l \geq 2$；
$$\begin{array}{c c c c c c c c c} 10...0, \text{ если } k - l = 1; 10010...0, \text{ если } k = k + 1 \\ = l \geq 2; 10 + 10 = 101; 1 + 1 = 10. \end{array}$$
6) 100…0；例如，10101+1=100000。
b) 1010…10；例如，10101+10000 = 101010。
15. 看一下斐波那契数系中数字的表格，在该数系中，它们是数字 1 或偶数个 0，$b_k$ 是所有由奇数个 0 组成的序列（在这种情况下，$b_k$ 是由 $a_k$ 通过在末尾分配一个零而获得的）。继续我们的表格，确保这个模式成立，并严格证明它。 Telegr 可以轻松回答关于数字 100（一百）的问题：以 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…100=89+8+3=1000010100 为基础的序列，则 100 属于该序列

60

$b_k$对应的$a_k$的值等于$10000101000=144+13+5=162$、$k=b_k-a_k=-100010100=55+5+2=62$，即$100=a_{62}$。

前往文章“磁通量守恒定律”

1. 电流不变。
2. 通过线圈的磁通量的变化率与电流的变化率成正比，即恒定。这意味着常数 e。 d.和。第二个线圈中的感应。电流也是恒定的。
3. 通过回路的总流量必须为零。通过第一个线圈的磁通的绝对值等于 $0,4\pi \frac{I_1 n_1^2}{l_1 S_1}$。
   并通过第二个$0,4\pi \frac{I_2 n_2^2}{l_2 S_2}$（$I_1$和$I_2$是线圈中电流的大小）。将这些表达式等同起来，我们得到 $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}$。
   考虑到$I_1 + I_2 = I$，我们发现

$$I_1 = I \frac{\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}{1 + \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}$$

$$I_2 = I \frac{1}{1 + \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}$$

4. 流过线圈的电荷与其任意磁通量的变化成正比：

$$I \sim \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

磁通量的变化与电路面积的变化成正比。

如果环没有折叠，而是以 8 字形的方式剥皮，则磁通量 $\Phi_1$ 的新值将等于 $\frac{S_1}{S} \Phi = \frac{5}{8} \Phi$（$\Phi$ 是通过电路的初始磁通）、$\Phi_1$ – $\Phi = -\frac{3}{8} \Phi$，因此$Q_1 = -\frac{3}{8} Q$。

如果你挤压转弯并转过一个更小的圆圈，那么

$$\Phi_1 - \Phi = -\frac{3}{8} \Phi - \frac{1}{16} \Phi +$$

$$+ \left(-\frac{1}{16} \Phi\right) = -\frac{1}{2} \Phi и Q_2 = -\frac{1}{2} Q$$

如果你转一个更大的圆，那么

$$\Phi_1 - \Phi = -\frac{3}{8} \Phi - \frac{9}{16} \Phi +$$

$$+ \left(-\frac{9}{16} \Phi\right) = -\frac{3}{2} \Phi и Q_3 = -\frac{3}{2} Q$$

负号表示电荷的运动方向与磁场打开时的方向相反。

5. 如果环是超导的，那么当它移动时，环中的电流将增加，因此通过环的磁感应总通量不会改变。环中电流的方向将使得环开始排斥磁场。在某个时刻，磁铁作用在环上的力将使所有环保持平衡，但由于此时环会有一定的速度，因此它会滑过平衡位置；环的速度将指向侧面。环将再次经过平衡位置等。由于电流通过超导体时不会释放热量，因此会相对于平衡位置发生振荡。

转至“介绍性实验”一文

1. $2 \sin 3\alpha \sin 5\alpha \cos \alpha$.
2. $\lg \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$.
4. $\log_3 2 - 1 < x < 2$.
5. $x_1 = 0, x_2 = 4$.
6. $\frac{9}{8} < x < 2$.
7. $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$.
8. $x_1 = 5; y_1 = 0,6; x_2 = 14; y_2 = 6$.
9. $x_1 = 8; y_1 = 1; x_2 = 1; y_2 = 8$.
10. $x = a \sqrt{3} \sqrt{b}, y = \frac{a}{\sqrt{3} \sqrt{b}}$.
11. $-1 < a < 1$.
12. $a < -3, a > 1$.
13. $2 < a < \frac{10}{3}$.
14. $-\frac{1}{12} \leq a \leq 4$.
15. $-1 < m < 3$.
16. $S_6 = \frac{1}{4} \pi b^2 \frac{\sin 2\alpha}{\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta)}$
17. $V = -\frac{8}{3} l^3 \frac{\cos \frac{\beta}{2} \cos \beta}{\sin^3 \frac{\beta}{2}}$

61

26. $x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi, x_2 = 2\pi n$
    $(k, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$.

27. $-3 < x < -1; \frac{1}{2} < x < 1$

28. $x < 0, x > 1$.

29. $\frac{2}{\sqrt{5}} < x < 1, -1 < x < -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

30. $0 < x < \frac{1}{3}; \frac{1}{3} < x < 2$.

31. $\frac{1}{2^{\sqrt{2}}} < x < \frac{1}{2}; 1 < x < 2^{\sqrt{2}}$.

32. $x = \frac{2a^3}{b(a^2 + 1)}$.

33. $x = 2$.

34. $x = 4, y = 3$.

35. $0 < t \leq 1$.

前往“交通时间表”一文

1. 参见图 1。顶部图 上的任何曲线都满足速度图。如果已知$x = 0$位于$t = 0$，则解就是行$AB$。负 $t$ 表示被视为初始时刻之前的时刻。

下图显示切割图。

2. 参见图2。

3. 参见图3。

4. 参见 图 4。

5. 从点 $t = 0$ 和 $t = 10$ 开始，您需要检查表征第一个物体在第一阶段和第三阶段运动的等倾斜直线（图 5 上的白线）。连接画线两端的直线对应于第二阶段的运动，该阶段的速度为$V_2 = tg\alpha_2$（如果$t$和$x$绘制在同一比例尺上）。蓝线描绘了第二个身体的动作；线的交点决定了会议的地点和时间。 1) $V_2 = 1$米/秒； 2) $t_1 = 0,5$秒、$t_2 = 7$秒、$x_1 = 1,1$米、$x_2 = 6$米、3) $S = 8 + 8 = 16$米

图 1.

62

6. 1. 图6处的期望线是第一次理发的速度图，红线是第二次理发的速度图。从第一个理发师离开的那一刻起$t = 18$秒，$S_2 = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32$米；

2. $V = 8$米/秒； 3) $S_1 = \frac{5 \cdot 10}{2} + 5 \cdot 10 = 75$米。

7. 运动结束时的速度是相同的。这是根据能量守恒定律得出的。第二个球的移动时间较短（平均移动速度较高）。

63

球运动速度的近似图表如图 7 所示。由于球的运动路径相同，因此速度图下方的数字面积应该相同。为此，$t_1$ 必须大于 $t_2$。

针对“扫一扫”栏目中发布的问题进行解答

1. 该数字的形式为 $30a \pm b$，其中 $b=1, 7, 11$ 或 13。因此，该数字的平方的形式为 $120c+1$ 或 $120c+49$。第四度（在这两种情况下）是 $480k+1$。

因此，$N^4$除以480的余数为1。

2. 如果笔记本的价格是$x$戈比。 （显然$x < 100$），那么
   $$500-5x=100a+b, 2500-31x=100b+a.$$
   因此$3000-36x=101(a+b)$，
   $$12(250-3x)=101(a+b),$$
   $250-3x$ 能被 101 整除。$250-3x=101k$。对于$k=1$，我们得到$3x=149$——这是不可能的（149 不能被3整除），对于$k=2$，我们有：$250-3x=202$，$x=16$。 （系统
   $$\begin{align*} 500-80=420=100a+b, 2500-496=2004=100a+b \end{align*}$$
   有明显解$a=4$，$b=20$。

关于问题“能被 7 整除”
正确的。所考虑的数字之间的差除以 7，因为
$$10^n-3^n=(10-3)\cdot(10^{n-1}+10^{n-2}\cdot3+\ldots+10\cdot3^{n-2}+3^{n-1}).$$
在每个数字中，取出设定的数字 7。