ZMSH 1970 入门测试问题的解决方案

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问题解决方案
介绍性工作控制
1970 年 3MSh

A·L·图姆

在我们的杂志第一期（第56页）以及教师报（1970年2月26日）上，都刊登了进入函授数学学校需要解决的问题。 ZMSH收到了来自八年级学生的约6000封来信，其中包含问题的解决方案，其中约3000封被学校接受。

我们认为这些问题不仅被那些给 ZMS 发信的人解决，而且许多其他读者«Kvant»，包括 ZMS 的未来候选人，因此今天我们发布这些问题的解决方案。几乎所有问题都经过非常详细、“彻底”的分析，以便即使对于准备不充分的读者也能阐明解决方案。为了方便读者，我们在这里重复一下问题的情况。

仅仅解决问题并得到正确答案是不够的：你还需要能够把它写下来，这并不容易。因此，我们建议即使是那些已经解决了问题的人也阅读这些解决方案并将其与自己的解决方案进行比较。当然，这里给出的解决方案并不是唯一可能的，但是通过阅读它们，您可以了解如何准确且逻辑地编写问题的解决方案。

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入学考试
1970 年 3MSh（问题条件）

1. 数学家手里拿着一根棍子和一顶帽子，以比溪流速度快一倍半的速度沿着上游的溪岸走回家。有时，他会把帽子扔进小溪里，用棍子把它弄乱，然后继续以同样的速度逆流而上。过了一会儿，他发现了错误，把棍子扔进小溪里，然后以两倍于他帽子的速度跑回来。追上那顶沾满灰尘的帽子后，他立即将其从水中捞出，转身以第一速度逆流而上*)。 10分钟后，他在溪边发现一根棍子在撒灰尘。如果他没有把棍子和帽子搞混的话，他会提前多少时间回家呢？

2. 对于每个三角形ABC，是否存在一个点P，使得所有三个点（相对于直线AB、BC和AC对称的点P）都位于三角形ABC的外接圆上？

3. 对于什么 a 值，方程 ax²+x-2=0 的根之差等于 3？

4. 该学生在五年的学习中参加了 31 次考试。随后的每一年，他参加的考试都比前一年多。第五年第二次考试比第一年多。第四年有几次考试？

5. 等体积梯形的底长分别为4厘米和8厘米，面积为21平方厘米。角的小底与大底交于哪一边：较小的底还是梯形的侧边？

6. 某个完全平方数的四位数的所有数字都可以减去同一个数，得到的结果就是一个完全平方数的四位数。找出所有这样的数字。

7. 凸四边形内一点到其所有顶点的距离之和能否大于其周长？

8**）。已知的三名歹徒之一

*）第1号“Kwantan”中错误地省略了“up”这个词，这使得一些读者难以理解问题的术语。

**) 在其他出版物中，该问题以以下表述形式发表：

豌豆王得知有人终于杀死了山蛇。沙皇戈罗赫知道这可能是由伊利亚·穆罗梅茨、多布里尼亚·尼基季奇或阿廖沙·波波维奇完成的。他们就这样，满身灰尘，来到了法庭。国王开始询问他们。每次都是财主拿着排骨。他们这样说：

莉亚·穆罗梅茨 (Lya Muromets)：1) 杀死山之蛇的不是我。 2）我去了海外国家。 3）蛇Gornitsa被Alyosha Popovich杀死。

在brynya Nikitich之前：1）Snake Gornytsa在M市Archie、Boss和Wesley的点击下，偷走了一个公文包（里面有钱）。审讯过程中，三人分别作了三项供述：

rch：1）我没有拿公文包。
2) 失窃那天，我离开了M市。
3) 公文包击中了韦斯利。
4) 沃斯：1）公文包刺痛了韦斯利。
2) 即使我接受了，我也不会承认。
3) 我已经有很多钱了。
沃斯：1）我没有拿公文包。
2) 我长期以来一直在寻找一款好的公文包。
3) 阿奇说他掌握了 M 的诀窍，这是对的。

调查发现，每项保证的三项陈述中，两项属实，一项不正确。谁偷了公文包？

9. 找到数字 x 和 y，使得 x>y>0 且 x3+7y=y3+7x。

10. 一个 100 m×100 m 的正方形区域，铺有 1 m×1 m 的白、红、黑、灰四种颜色的方形石板，这样两块相同颜色的石板不会相互碰撞（即没有共同的侧面或顶部）。红色瓷砖一共有多少块？

11. 解方程
    (x²+6x-4)(x²+6x-3)=12.

12. 给定三角形ABC。找到分别位于AB和BC边上的点K和H，也即BK=KH=HC。

13. 找出所有数 p 使得 p²+13 也是素数。

问题的解决方案

1. 首先，我们注意到，数学家损失的时间，即需要找到的时间，由两个部分组成：a）他跑回来的时间，我们用t（分钟）表示； b) 他步行他必须走的距离所花费的时间；由于他跑的速度是走路的两倍，所以这个时间等于 2 t，所有损失的时间等于 3 t。

因此，计算 t 就足够了。让我们用 v 表示流速。那么步行速度为 $\frac{3}{2}v$，跑步速度为 3v。让我们考虑一下从数学家将一根棍子扔进水中并标记它的那一刻起，直到他遇到一根蓬松的棍子朝他走来的那一刻。他现在逃跑并杀死了阿廖沙·波波维奇。 2) 如果我杀了他，我就不会告诉他。 3）还有很多邪灵残留。

A Lesha A Popovich：1）不是我杀死了Serpent Gornyts。 2) 我长期以来一直在寻找在海外国家完成一些壮举的机会。

然后豌豆王发现有钱人有两次对每个人说实话，一次他撒了谎。是谁杀死了山蛇？

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以速度 $3v$ 花费了$t$，因此跑了$t \cdot 3v$ 的距离。然后他以$\frac{3}{2}v$的速度往回走，在$10$分钟内走了$10 \cdot \frac{3}{2}v$的距离。棍子一直在跳舞，即$(t+10)$分钟，速度为$v$，并吠叫$(t+10) \cdot v$。显然，这里计算的第一个距离等于其他两个距离之和：

$$t \cdot 3v = 10 \cdot \frac{3}{2}v + (t+10) \cdot v.$$

减少$v$，我们发现$t=12,5$，因此$3t=37,5$。

答案：$37,5$分钟。

这个问题也可以用图来解决（参见图1；这里$S$是距河流上游的距离，$T$是时间；红线是数学家的路径；蓝色的线段是漂浮的帽子和棍子）。通过条件$\frac{AC}{CD} = 2$和$BC=DE$，我们可以找到$AB:BC:CD:DE=6:4:5:4$和$\frac{AD}{DE} = \frac{AD}{10\text{ мин}} = \frac{15}{4}$的线段比，从$AD = 37,5$最小。

2. 点$P$必须满足第三个选项：

1. 点 $P_1$ 与 $P$ 关于 $AB$ 对称，位于外接圆上；
2. 点$P_2$，与$P$相对于$BC$对称，位于外接圆上；
3. 点 $P_3$ 与 $P$ 关于 $CA$ 对称，位于外接圆上。

让我们首先找到满足第三个选项1)的所有点$P$。所有这些点 $P$ 形成一个由 $AB$ 对称外接的圆（在 图 2 上以白色绘制）。

因此，对$P$点的要求1）可以重新表述如下：

1’) 点 $P$ 位于圆 $O_1$ 上，关于 $AB$ 与外接圆对称。

以完全类似的方式，我们确信要求 2)、3) 可以重新表述为点 $P$ 位于圆 $O_2, O_3$ 上，关于 $BC$ 和 $CA$ 与外接圆对称。

我们需要找出对于每个三角形，是否有一个点$P$同时位于所有三个圆$O_1, O_2, O_3$上，换句话说，对于每个三角形，这三个圆$O_1, O_2, O_3$都经过一个点。让我们证明这对于任何三角形 $ABC$ 都是成立的。

要同时想出这样一个适用于所有三角形$ABC$的奇迹是相当困难的（事实上，我们事先并不知道圆$O_2$和$O_3$的交点$P$位于三角形的内部还是外部，在每条直线$AB, BC$和$CA$的哪一侧等等，以及奇迹是否会出现）取决于点$P$的位置，则需要分析几种特殊情况）。但为了节省空间，我们仍然会提出这样一个解决方案，它同时适用于所有情况，尽管有些人为。

请注意，圆圈 $O_1$ 可以从一个圆中得到 $O$ 不仅是对称的相对边 $AB$，也是一个对称相对点 $K$ - 侧面的中间 $AB$，即重复相对点 $K$ 在 $180^\circ$。如果和圆一起会发生什么 $O$ 旋转和三角形 $ABC$？很明显，他将穿着 $\triangle ABC_1$，这补充了 $\triangle ABC$ 到平行四边形 $ABC_1C$， 和 $\triangle ABC_1$ 刻在一个圆上 $O_1$ (图 3）。完成相同的结构后，最终的侧面 $BC$ 和 $CA$，我们得到四个相等的三角形，合在一起构成一个

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a 2l < 3l.

这里所写的，只是在另一个不必要的空白中，才可以被认为是一个解决方案。

例如，“笔试”这个问题的精确解可能如下所示：构造一个四边形 ABCD 和其中的一个点 O，如 图 6 所示，其中 BD ⊥ AC，AM=BM=DM=1，OM=100，CM=101。然后

$$OA + OB + OC + OD = 101 + 2 \cdot BO + 1,$$

$$AB + BC + CD + DA = 2\sqrt{2} + 2 \cdot BC.$$

由于 BC < OB + OC = OB + 1，则 2\cdot BC < 2\cdot OB + 2，因此 AB + BC + CD + DA < 2\sqrt{2} + 2\cdot BO + 2 < 100 + 2\cdot BO + 2 = OA + OB + OC + OD。

8*)。关于谁偷了公文包，存在三种可能的假设。让我们一一查看它们，以找出哪些与条件相矛盾。

1）。让阿奇偷公文包。那么他的第一个和第三个陈述都是错误的，并且条件说只有一个陈述是错误的。这意味着这个假设与条件相矛盾；阿奇不可能偷了公文包。

2）。让老板偷公文包。那么他的第一个陈述是错误的，因此其他两个陈述一定是正确的。诚然，他的第二个陈述似乎暗示他作为老板没有拿公文包，但他没有直接说出来，因此不会产生矛盾。此外，阿奇的第三个陈述是错误的，因此前两个陈述必定是正确的。由于阿奇的第二个陈述是正确的，那么韦斯利的第三个陈述是正确的，并且由于第一个陈述是正确的，所以第二个陈述是错误的。

我们看到这两者并不矛盾

*) 关于Serpent Gornych 的问题以类似的方式解决。 （答案：Snake Gornych 被 Dobrynya Nikitich 杀死。）

条件不会出现。所以老板可能偷了公文包。

3）。让韦斯利偷公文包。那么他的第一个陈述是错误的，因此第二个和第三个陈述是正确的。既然韦斯利的第三个陈述是正确的，那么阿奇的第二个陈述也是正确的。阿奇的第一和第三句话也是正确的。这意味着阿奇的三个陈述都是真实的，这与条件相矛盾。韦斯利不可能偷了公文包。

答：公文包被老板偷了。

注：考虑到公文包是被Boss偷走的假设，并确定其满足条件后，是否可以冷静下来认为已被证实？不。

毕竟，在条件下收集的数据通常不足以确定到底是谁偷了公文包。

9. 我们来转换一下：

$$(x^3 - y^3) - 7(x - y) = 0,$$

$$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 7(x - y) = 0,$$

$$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 7) = 0.$$

既然$x > y$，那么$x - y \neq 0$，这意味着第二个括号等于零：

$$x^2 + xy + y^2 - 7 = 0,$$

$$x^2 + xy + y^2 = 7.$$

三个数$x^2, xy, y^2$中哪一个是小于七的正整数。那么$x, y$只能等于1或2（已经是$x = 3, y = 9 > 7$）。从$x > y$开始，然后$x = 2, y = 1$。通过替换，我们确保这是问题的解决方案。

答案：$x = 2, y = 1$。

10. 首先，我们要确保该区域能够按照条件要求进行板的铺设。例如，可以这样做，如 图 7 所示。从右手部分可以清楚地看出在所有区域上考虑板的定律。绘制粗线是为了使该定律更容易理解。考虑到这一点，共有2500块各种颜色的板。这意味着可以有 2500 块红板。让我们证明不可能有其他数量的板。

让该区域根据情况以某种方式用板进行布局。将其分成方格 $2m \times 2m$，每个方格包含 4 个板，如图 7 中所做的那样。这样的方格有 2500 个。让我们考虑这样一个正方形。它由 4 块板组成，彼此呈正方形。因此，它们应该都是不同的颜色，即每种颜色一种。由于每个方格中有一块红色棋子，而一共有 2500 个方格，那么就有 2500 个红色棋子。

11. 让我们介绍一下符号：$x^2 + 6x = y$。然后$(y - 4)(y - 3) = 12,$$y^2 - 7y = 0,$$y_1 = 0,$$y_2 = 7.$

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现在我们需要求解两个方程：

1. $x^2 + 6x = 0$, $x_1 = 0$, $x_2 = -6$;
2. $x^2 + 6x = 7$, $x^2 + 6x - 7 = 0$, $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

答案：$x_1 = -7$、$x_2 = -6$、$x_3 = 0$、$x_4 = 1$。

12. 1. 分析。从$KB = KH$开始，然后$\angle KHB = \angle B$。让我们做$KC$。从$KH = HC$开始，然后$\angle HKC = \angle HCK$。但它们的和等于外角$\angle KHB$：$\angle HKC + \angle HCK = \angle KHB$（见图8）。这意味着它们每个都等于它的一半：

$$\angle CKH = \angle KCH = \frac{1}{2} \angle KHB = \frac{1}{2} \angle B.$$

2. 建造。设$\triangle ABC$。将 $\angle B$ 一分为二，并构造一个角 $\angle BCM = \frac{1}{2} \angle B$，使得射线 $CM$ 位于线 $BC$ 与点 $A$ 的同一侧。让射线$CM$与边$AB$（不是它的延长线）相交于点$K$。让我们构造角度 $\angle CKN = \frac{1}{2} \angle B$，使射线 $KN$ 与点 $B$ 位于直线 $CK$ 的同一侧。让射线$KN$与边$BC$（不是其延长线）相交于点$H$。构建的点 $K, H$ 非常出色。

3. 证明。通过构造，$\angle HKC = \angle HCK$，因此$KB = KH$。

下一个，

$$\angle KHB = \angle HKC + \angle HCK = \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle B = \angle B,$$

姿势$KB = KH$。