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列宁的理论
知识
和数学概念
V.G.波尔坦斯基，
N.Kh.罗佐夫
早在中学时，数学与物理等学科相比的独特性就变得显而易见。所有物理定律都具有一定程度的准确性，并且经常被新物理定律所取代，而个人物理定律仅成为第一个近似值。问自己杆的长度是合理的还是非合理的是没有意义的。对于狭义理解的实践，不需要无理数。在数学中，正方形的对角线与边不可通约的定理被认为非常重要。在古希腊发现这一事实被认为是整个数学发展的转折点之一。
V. G. Boltyansky 和 N. Kh 发表的文章。罗佐夫试图从辩证唯物主义哲学的角度来普及数学的独特性。也许你们中经验较少的人会掌握我在《伟大的苏联百科全书》第二版第 26 卷中专门讨论这些问题的文章“Matematika”的部分内容。
六、列宁，正如你从 I.K. 的文章中知道的那样。 Kikon（«Kvant»第4期），对物理学的主要哲学问题进行了详细分析。列宁并没有专门讨论数学中的哲学问题。但他对知识论问题的一般性陈述可以为数学家提供指导。
A·N·柯尔莫哥洛夫
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我们周围现实的意义、自然和社会的客观规律始终是并且仍然是人类活动不可分割的组成部分，是科学发展的目标和任务。知识论是哲学科学的分支之一，它研究复杂而多方面的认知过程，找出这一过程的客观规律以及人类关于物质世界的知识的形成。
创造性地发展辩证唯物主义认识论，V.I.列宁用新的、基本的规定丰富了它，并以非凡的深度、深度和清晰度，提出了与之相关的极其广泛的问题。这使我们能够有充分理由谈论列宁的知识论——哲学科学的分支之一。
我们周围都是物质世界，物质世界的运动和发展遵循不依赖于人而存在的客观规律。物质世界的属性和相互联系直接或间接地被人们感知，其感知反映在人类意识中。生活沉思是人在实践活动过程中与客观现实的直接感官联系，是知识的起点，使我们能够形成对周围现实的看法。
人类积累的经验数据是通过他的抽象逻辑思维来处理和概括的。思维使人能够脱离事实，认识感官无法感知的事物，使人能够洞察物体和现象的存在，识别它们之间的联系，发现物质世界的客观规律，并再现现实。
自然地，问题就出现了：思维所再现的画面是否对应于现实本身，我们的想法是否（以及如何正确）反映了事物的客观状态。只有在实践中，只有通过将预期结果与实际发生的情况进行比较，一个人才能评价自己的知识的正确性和价值。实践是这个或那个想法、假设、理论的标准。
六、列宁对认识过程有一个概括性的定义：“从生动的思考到抽象的思维，再到实践，这就是认识真理、认识客观现实的辩证路径”*）。
在我们周围的世界中，没有任何事物是人类思维无法理解、根本无法理解的。然而，物体和现象的整体意义只能由一般概念、定律等的无限总和来给出。从数学上来说，几乎一直掌握这整个知识总和，即世界的穷举位置，是可能的，只是到了极限。在历史发展的每一个阶段，我们对现实的认识只是相对的，同时也包含着绝对真理的一部分：科学概念或多或少正确、充分地反映了物体和现象的一个方面，其他方面只是近似甚至不正确，第三个方面仍然完全未知。
物质世界的运动、变化、发展以多种形式发生；客观现实的物体和现象具有适当的性质，并具有各种数量特征。
研究各个科学领域
*) V.I.列宁。完整收藏，卷。 29，第 152-153 页。
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物体或现象的某些特定的定性特征，探索物质运动的一种或多种与理论相关的形式。因此，生物化学研究与生物体有关的化学过程，地理学描述地球的图景并研究人类改造地球的规律，历史学的主题是揭示人类社会发展规律的具体表现，等等。
数学的特殊性在于它不考虑物体的具体材料，不分析物质运动的任何具体形式。 F.恩格斯写道：“纯数学以现实世界的空间形式和数量关系为对象……”*。换句话说，数学从一个特殊的角度研究物质世界：其研究的主题是多网络关系本身（在这个术语的一般哲学理解中），这些关系无一例外地固有于现实现实的所有对象中，并且“与定性对象相比，其特征仅在于它们对它们所连接的对象的特定性质采取冷漠的态度……” **）。
学科的这种特殊性决定了数学在其他科学中的广泛适用性。真实事物或现象的定性和定量特性的内在不可分离性为在生物学、地质学、语言等许多最重要问题的研究中使用数学方法提出了客观的建议。从这个意义上说，K.马克思说“……科学只有在设法使用数学时才能达到完美”***）。
*) K. 马克思和 F. 恩格斯，著作，卷。 20，p。 37.
**) A. N. Kolmogorov，数学，TSB，卷。 26，p。 476.
***) 周六。 《马基和恩格斯的回忆》，M.，1956 年，第 17 页。 66.
数学通常被认为是一门抽象的科学，这无疑是正确的。数学研究空间形式和数量关系的特殊性决定了其特殊的抽象性。 F.恩格斯提请注意这一点：“……为了能够以纯粹的形式探索这些形式和关系，有必要从内容上改进它们，而将后者作为无关紧要的东西放在一边……”*）。
换句话说，我们谈论的研究，其结果不是借助显微镜或化学试剂，而是仅依靠抽象的力量。
客观现实的每个物体或现象都具有无限数量的属性、品质，并且与其他物体和现象以及整个物质世界有着千丝万缕的联系。我们的思维无法立即接受所有这些属性和所有多样性的联系。因此，在进行科学研究时，我们被迫只关注所研究对象的一个或几个属性，只关注它与其他对象的一些联系。我们不关注所有其他属性和联系，也就是说，我们分心，从它们中抽象出来。
换句话说，所有知识都必然与抽象过程、抽象者相关联。 “思考，从具体上升到抽象，不是从真理中寻找——如果它是正确的……——而是接近真理……所有科学的（正确的、灰色的、不是胡说八道的）抽象更深刻、更准确、更全面地反映自然，”V. I. 列宁指出**）。
没有抽象也有它的弱点，首先可以看到这一点
*) K. 马克思和 F. 恩格斯，著作，卷。 20，p。 37.
**) V.I.列宁。人民。收藏集，卷。 29，p。 152.
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生产更大或更小的尺寸。因此，“房子”确实存在，但“物质点”并不存在。
“线段”的几何概念也是如此。在自然界中，我们观察到的并不是“纯粹形式”的又长又“直”的物体，而是“没有厚度”的物体。因此，这个概念并不是身份抽象化的结果，而是一种理想化的结果。
一般而言，理想化如下。我们心目中的真实对象被抽象模型所取代，抽象模型不仅是对非本质属性的抽象，而且还赋予模型理想化的属性，以夸张的形式反映了对象的本质属性。例如，如果我们研究一个距离我们较远的天体的运动，其距离是其大小的许多倍，我们可以建立一个夸张的模型，认为这个天体是一个质点。同样，“触摸”这个概念以夸张的形式反映了现实中物体相对位置的可能性。
当然，这并不意味着理想化而产生的概念完全脱离客观世界、没有实际意义。这些概念使我们能够特别深入、清晰地追踪物体最本质的属性，在数学的实际应用中具有众所周知的意义。
一种特殊类型的抽象，即理想化，是对局部可行性的抽象。它的特点是分散了我们建设性能力的真正界限，而这种能力受到我们有限的空间和时间的限制。
这种抽象形式使我们能够推理任何大数（例如，关于数字 ），并假设我们似乎有机会达到它，从 1、2、3、4 ……等开始。显然，这种可能性纯粹是潜在的：我们一生都没有足够的机会来实现它。
然而，我们从这项任务的实际不可行性和我们能力的限制中抽象出来，并认为考虑任何数字都是可以的，从而得出“自然数的无限级数”的概念。
由于使用这种类型的抽象，诸如“直线”（在两个方向上无限延伸）、“平面”等概念也随之出现。
现代数学涉及大量的概念，这些概念无法通过动物思考所获得的对数学世界中物体属性的非常强烈、直接的抽象来获得。这些概念是在多阶段分层抽象的过程中形成的。
原始的、初级的数学概念源于客观现实，反映了作用对象的数量关系和空间形式的抽象。但当这些概念出现时，它们似乎过着自己的生活，在人类的头脑中形成了自己的世界，它们本身也引发了进一步的反思和新的抽象概念。这些抽象概念反过来又产生了新的抽象，可以说是更高阶的抽象，等等。
为了理解所说的内容，让我们转向“数字”的概念。数字最初是计数对象的结果（识别抽象），然后被推广为自然数的概念（潜在可行性抽象）。然后引入分数的概念（标识抽象）。
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扣除额*)。下一个抽象是有理数（正数和负数），然后是实数。
抽象的多阶段性质在这里清晰可见。同样，“数”、“向量”、“几何变换”等一些抽象概念（非常印度，指的是现实世界的空间形式和数量关系）产生了“群”的概念，这是一种更高阶的抽象。
然而，人们不应该认为数学抽象的多阶段性质，不同阶抽象的存在，意味着数学与现实世界是分离的。在这方面非常有启发性的是，许多“精炼”的现代数学抽象概念和理论已经找到了重要的应用。因此，“群”的概念和群论的微妙问题在粒子物理学中找到了重要的应用。
数学理论的特定特征给所有数学留下了特定的印记。
例如，物理学家研究气体过程的图像，也就是说，他们研究“假设”气体温度不变的气体特性。物理学的另一个例子是对过冷液体的研究，即研究物质的性质假设它具有熔点，但（由于特殊的实验条件）不会结晶，而是保持液态。在这些条件下发现的定律将是某些假设下的唯一定律。
然而，在物理学中，只有当相应的条件和假设“真正可行”时，定律才有意义。实际上，
*) 将整体、单位分成部分，然后我们识别符号、、、等，认为它们代表相同的小数。
如果有人创造了一种关于物质在绝对零以下的温度下的行为的“理论”，那么物理学家很难接受它，或者它使用的假设与我们所知的现实世界的特性相矛盾。
在数学中，情况（至少在外部）有所不同。我们周围的物体具有三个维度，但数学家已经建立了 维（甚至无限维）空间的理论。我们知道数字的乘法是可交换的：，但在数学中，他们还研究其中的数字系统。还可以举出与“常识”相矛盾的理论的其他例子。
但特点是，这些看似“疯狂”的理论在现实研究中却有着重要的应用！例如，只要回顾一下相对理论广泛使用四维空间就足够了。
影响整个数学的假设理论最引人注目的例子是罗巴切夫斯基的几何学。 NI.罗巴切夫斯基用自己的定理（通过给定平面上的给定点可以检验不与给定线相交的自由线集）取代了欧几里得的平行定理，然后根据这个公理（以及与克莱德的εν相一致的其他公理），他建立了一个逻辑的、结构化的、完整的几何学。
N.I.罗巴切夫斯基的发现在很大程度上表明了构建数学的公理化方法的彻底胜利。这种方法的本质是所有定理都是从相对少量的无法证明的公理中纯粹逻辑推导出来的。换句话说，数学理论的发展和建立是基于某些预先确定的公理成立的假设。
数学家在他的创造力过程中
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Chestava 处理抽象概念。每次他的推理都没有转向客观现实，而是转向现实。他“直接”探索的不是它，而是这个“可理解的世界”。为了证明某个特定的定理，不需要描述和系统化事实和现象，不需要建造繁琐且昂贵的装置，也不需要进行珠宝般精确的实验。
数学研究以纯粹推测的方式进行，遵循逻辑定律。数学家在其工作过程中仅代表对定理进行逻辑、严格、详尽的证明并构建一致的理论的目标。
但是，除了思维的纯粹逻辑活动之外，人类的创造力（例如想象力和直觉）在数学（实际上是任何科学）的发展中也发挥着重要作用。强调创造性想象、直觉的重要性以及认知过程中“幻想”的重要性，V.I.列宁写道：“认为只有姿势需要它是徒劳的。这是一种深深的偏见！即使在数学中它也是必要的；如果没有幻想，甚至微分和积分的发现也是不可能的”*）。
数学研究的纯粹思辨、心理路径允许广泛使用幻想和假设结构，创造了一种数学概念和理论独立于客观世界的感觉，缺乏在心灵“自由创造力”过程中出现的高阶抽象的真实内容。
事实上，“形式上”存在以下可能性：数学家提出他发明的任意公理，并使用理性逻辑定律从中推导出来。
*) V.I.列宁。全集引用，卷。 45，p。 125.
个人后果；如果他“幸运”并且结果是一致的理论，那么我们就可以谈论数学发现。换句话说，一个数学家，与任何真实的物体不一致，也不与大陆的任何表述一致，似乎只能在他的想象力的指导下，做出任何假设并在此基础上发展理论，只是为了得到逻辑上一致和“数学上有趣的”东西。
法国最伟大的数学家之一亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）也提出了类似的想法，他认为数学（甚至一般的科学）的基础是自由的、任意的，可以接受某种协议，是为了探索而发明的，对他来说很方便。他认为数学是自由的“纯粹理性”的产物，不依赖于材料、物体的存在，与人的实践活动无关。至于数学成果实际应用的可能性，这只是部分功能，我们无法解释*)。
V. I. 列宁在赞扬庞加莱的科学价值的同时，尖锐批评了他的哲学概念，称他为“一位非常困惑的哲学家”。应该记住的是，尽管理想主义的一切难以接近和开放，
*) 即使现在有时也能找到类似的观点。例如，一群化名尼古拉·布尔巴基（Nikolai Bourbaki）的外国著名数学家在谈到“实验世界与数学世界”之间的关系时写道：“实验现象与数学结构之间存在着一种联系理论，这一事实似乎已被现代物理学的最新发现以一种完全出乎意料的方式证实，但其全球性原因是我们完全意想不到的（如果这些词有任何意义的话），也许我们永远不会知道它们” （N. Burbak，《数学史论文集》，M.，1963 年，第 258 页）。
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由于这些观点的性质，不可能通过纯粹的逻辑论证来反驳它们。只有始终如一的辩证唯物主义观点，承认实践是正确的标准，才能给出正确的答案。
逻辑是数学的工作工具：根据逻辑规则从前提、公理和定义导出的陈述在数学中被认为是正确的。但这些逻辑推理步骤的“显而易见性”、“清晰性”和“令人信服性”并不是自己产生的；逻辑结构的有效性已在人类实际活动的数百年经验中得到证实。
正是这种经验证实了逻辑思维发展的内在规律与客观现实的发展规律是一致的。恩格斯在这个场合写道：“我们所有的理论思维都受到绝对力量的支配，因为我们的主观思维和客观世界都服从同一规律，因此它们的结果不能相互矛盾，而必须相互协调”*）。
由此可见，形式数学严谨性的要求，即定义的准确性、定理证明的完备性、理论的一致性等，是数学实践标准的具体体现的方面之一。
*) K. Marxy F. Engels，Soch.，卷。 20，p。 581.
然而，数学的严谨性本身并不能完全取代实践的标准，并不能穷举保证数学知识的真实性，即人对客观现实反映的正确性。
对于遵守理论中所接受的实际行动前提的问题也很重要。这个问题已经超出了逻辑的能力，只能在人们的公共自愿（包括科学）活动中得到解决。只有这种活动的经验才能区分建立在不切实际的、荒诞的假设和公理基础上的严格逻辑“理论”，与使我们更接近客观真理知识的真正科学理论。
科学和历史实践表明，初级数学和描述它们的公理取自生活，是真实物体客观属性的反映。由于理解的逻辑反映了事物的客观逻辑，即数学世界中对象的客观联系，新的概念和理论在技术上与现实世界联系起来，因此自然而然地，而不是偶然地，在人们的科学和实践活动中找到越来越多的新应用。
当前知识“数学化”的快速进程，更受到计算机技术发展的刺激，充分证实了数学方法的力量及其与生活的组织联系。