[习题 M31—M35; F36—F41]

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本期所有数学题均取自上届莫斯科数学奥林匹克竞赛的题目；一些措辞应该改变。

F36。一滴液体位于半球形玻璃板的平坦一侧。展示如何通过观察全内反射来确定液体的折射率。堆叠的折射率也是未知的并且需要确定。

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F37。在两个垂直放置的气缸中，其横截面积为$S_1$和$S_2$，有两个不可逆活塞，通过长度为$l$（图1）的细不可逆螺纹连接。活塞之间的空间充满了水。如果容器末端与大气相通，求出线的张力。水的密度为$\rho$。

F38。 U 形水银压力计的宽弯头的直径比窄弯头的直径大。压力测量报告秤应安装在哪个弯头上才能确保更高的测量精度？

F39。半径为$R$、质量为$M$的行星被由分子量为$\mu$的气体组成的同样稠密的大气层包围。如果大气层高度为$H$，那么行星表面大气层的温度是多少？

莫斯科国立大学物理奥林匹克竞赛，1967 年

F40。如果氖气的电离能是 $I=21,5$ eV，并且电极与气体原子连续两次碰撞之间的平均距离是 0.4 mc，那么氖气灯泡在电极之间的电势差是多少时会发光？电极看起来像大板，彼此之间的距离为 $d=3$ 毫米。

F41。在月亮和太阳距地平线高度相同的情况下，满月期间月夜的安全性比晴天少多少倍？假设被照亮的鹞将光均匀地散射到空间中。月球半径取2000公里，月球到地球的距离为40万公里。

M31。将一张正方形纸直接切成两部分。将所得部件之一再次切成两部分，并且此操作要进行多次。为了使所得零件中的上述尺寸数量相同，必须进行的最小切割次数是多少？

I·伯尼斯坦

M32。表 $100 \times 100$ 的所有单元格都包含加号。允许同时改变一行或一列所有单元格中的符号。继续运算几次，是否可以得到正好是1970分钟的表？

A·泽列文斯基

M33。存在一个自然数$n>1000$。让我们取数字 $2^n$ 除以数字 1, 2 3,… 的余数。 。 。 , $n$ 并求出所有这些余数的总和。证明这个和大于$2n$。

A·库尼连科

M34。证明如果一个自然数能被 10 101 010 101 整除，那么在其十进制表示法中至少有六位数字不同于零。

A·托尔皮奥

M35。在半径为 10 的球体附近描述了某个 19 面。证明您会在其表面上找到两个点，它们之间的距离大于 21。

A·库尼连科