Các bài toán M31—M35; Ф36—Ф41

46

Tất cả các bài toán trong số này được lấy từ các bài đã được đề xuất tại kỳ Olympic Toán học Moskva gần đây nhất, một số phát biểu đã được sửa đổi.

Ф36. Một giọt chất lỏng nằm trên mặt phẳng của một tấm kính bán cầu. Hãy chỉ ra cách xác định chiết suất của chất lỏng từ quan sát hiện tượng phản xạ toàn phần. Chiết suất của kính cũng chưa biết và cần được xác định.

47

Ф37. Trong hai hình trụ đặt thẳng đứng, có diện tích tiết diện là $S_1$ và $S_2$, có hai pittông không khối lượng, nối với nhau bằng một sợi dây mảnh không khối lượng dài $l$ (hình 1). Khoảng không gian giữa các pittông chứa đầy nước. Tìm lực căng của sợi dây, nếu các đầu bình thông với khí quyển. Khối lượng riêng của nước là $\rho$.

Ф38. Nhánh rộng của áp kế thủy ngân hình chữ U có đường kính lớn hơn nhánh hẹp. Nên gắn thang đo vào nhánh nào để độ chính xác đo áp suất cao hơn?

Ф39. Một hành tinh bán kính $R$ và khối lượng $M$ được bao quanh bởi một khí quyển có mật độ đều, gồm khí có khối lượng phân tử $\mu$. Nhiệt độ của khí quyển trên bề mặt hành tinh là bao nhiêu, nếu chiều cao khí quyển bằng $H$?

Olympic Vật lý MGU, năm 1967.

Ф40. Với hiệu điện thế nào giữa các điện cực thì một bóng đèn neon phát sáng, nếu năng lượng ion hóa của neon là $I=21,5$ эв, còn khoảng cách trung bình giữa hai lần va chạm liên tiếp của điện cực với các nguyên tử khí bằng 0,4 мц? Các điện cực có dạng những bản lớn đặt cách nhau một khoảng $d=3$ мм.

Ф41. Trong một đêm trăng tròn, độ sáng nhỏ hơn bao nhiêu lần so với một ngày nắng, khi độ cao của Mặt Trăng và Mặt Trời trên đường chân trời như nhau? Coi rằng phần được chiếu sáng của Mặt Trăng tán xạ đều ánh sáng vào không gian. Lấy bán kính Mặt Trăng bằng 2000 км, còn khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất bằng 400 000 км.

M31. Một tờ giấy hình vuông được cắt theo một đường thẳng thành hai phần. Một trong các phần thu được lại được cắt thành hai phần, và cứ tiếp tục như vậy nhiều lần. Cần thực hiện ít nhất bao nhiêu lần cắt để trong số các phần thu được có đúng số đo như vậy?

И. Бернштейн

M32. Trong tất cả các ô của bảng $100 \times 100$ đều có dấu cộng. Cho phép đồng thời đổi dấu trong tất cả các ô của một hàng hoặc một cột. Có thể, tiếp tục thực hiện các phép biến đổi như vậy nhiều lần, thu được một bảng có đúng 1970 dấu không?

А. Зелевинский

M33. Cho số tự nhiên $n>1000$. Lấy các số dư khi chia số $2^n$ cho các số 1, 2 3, . . . , $n$ và tính tổng tất cả các số dư đó. Chứng minh rằng tổng này lớn hơn $2n$.

А. Куиниренко

M34. Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên chia hết cho 10 101 010 101, thì trong biểu diễn thập phân của nó có ít nhất sáu chữ số khác không.

А. Толпьео

M35. Một đa diện 19 mặt nào đó ngoại tiếp một hình cầu bán kính 10. Chứng minh rằng trên bề mặt của nó có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng lớn hơn 21.

А. Куиниренко