Lý luận nhận thức của Lenin và các khái niệm toán học

2

Lý luận nhận thức
của Lenin
và các khái niệm toán học

V. G. Boltyansky,
N. Kh. Rozov

Ngay từ những lớp trung học, nhà trường đã cho thấy rõ tính đặc thù của toán học so với, chẳng hạn, vật lý. Mọi định luật vật lý đều đúng với một mức độ chính xác nhất định và thường khi kỹ thuật đo lường tiến bộ thì được thay thế bằng những định luật mới, so với chúng những định luật trước chỉ còn là phép gần đúng đầu tiên. Không có ý nghĩa gì khi tự hỏi độ dài của một thanh là hữu tỉ hay vô tỉ. Đối với thực tiễn theo nghĩa hẹp, các số vô tỉ không cần thiết. Trong toán học thì định lý rằng đường chéo hình vuông không thể đo cùng một đơn vị với cạnh được coi là rất quan trọng. Việc phát hiện ra sự kiện này ở Hy Lạp cổ đại được coi là một trong những bước ngoặt của toàn bộ sự phát triển toán học.

Bài viết được công bố của V. G. Boltyansky và N. Kh. Rozov là một cố gắng trình bày một cách phổ biến tính đặc thù của toán học từ quan điểm triết học của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Có lẽ một số bạn sẽ đọc được những phần dành cho các vấn đề này trong bài viết của tôi «Matematika» ở tập 26 của ấn bản thứ hai «Đại Bách khoa toàn thư Xô viết».

V. I. Lenin, như các bạn đã biết qua bài viết của I. K. Kikon («Kvant» số 4), đã đưa ra một phân tích chi tiết về những vấn đề triết học cơ bản của vật lý. Lenin không nghiên cứu riêng những vấn đề triết học của toán học. Nhưng những phát biểu chung của ông về các vấn đề của lý luận nhận thức cũng là kim chỉ nam cho các nhà toán học.

A. N. Kolmogorov

3

Nhận thức hiện thực khách quan bao quanh chúng ta, các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội luôn là và vẫn là một bộ phận cấu thành, không thể tách rời của hoạt động con người, là mục tiêu và nhiệm vụ của sự phát triển khoa học. Còn việc nghiên cứu quá trình nhận thức phức tạp và nhiều mặt, phát hiện các quy luật khách quan của quá trình hình thành và phát triển tri thức của con người về thế giới vật chất là nhiệm vụ của lý luận nhận thức — một trong những bộ phận của khoa học triết học.

Phát triển một cách sáng tạo lý luận nhận thức duy vật biện chứng, V. I. Lenin đã làm phong phú nó bằng những luận điểm mới, có tính nền tảng, với chiều sâu và sự sáng rõ đặc biệt đã nghiên cứu một phạm vi vô cùng rộng lớn những vấn đề liên quan đến nó. Chính điều đó cho phép chúng ta hoàn toàn có cơ sở nói về lý luận nhận thức của Lenin — một trong những bộ phận của khoa học triết học.

Bao quanh chúng ta là thế giới vật chất, mà sự vận động và phát triển của nó tuân theo những quy luật khách quan tồn tại không phụ thuộc vào con người. Các tính chất và mối liên hệ lẫn nhau của thế giới vật chất khách quan được con người trực tiếp hoặc gián tiếp cảm nhận, được các cơ quan cảm giác của họ phản ánh trong ý thức con người. Sự chiêm nghiệm sống động, mối liên hệ cảm tính trực tiếp của con người với hiện thực khách quan trong quá trình hoạt động thực tiễn, là điểm xuất phát của nhận thức, cho phép chúng ta hình thành biểu tượng về hiện thực xung quanh.

Những dữ liệu kinh nghiệm mà con người tích lũy được được tư duy trừu tượng-lôgic của họ xử lý và khái quát hóa. Chính tư duy cho phép con người, xuất phát từ các sự kiện, nhận thức những gì không thể tiếp cận bằng tri giác thông qua các cơ quan cảm giác, cho phép thâm nhập vào bản chất của các sự vật và hiện tượng, phát hiện các mối liên hệ giữa chúng, khám phá các quy luật khách quan của thế giới vật chất, tái hiện hiện thực.

Đương nhiên, nảy sinh câu hỏi liệu bức tranh về tư duy được tái hiện có tương ứng với bản thân hiện thực hay không, liệu những quan niệm của chúng ta có phản ánh (và phản ánh đúng đến mức nào) tình trạng khách quan của sự vật. Chỉ trong thực tiễn, chỉ bằng cách so sánh những kết quả được mong đợi với những gì thực sự xảy ra, con người mới có thể đánh giá tính đúng đắn và giá trị của tri thức của mình. Chính thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý đối với một ý tưởng, giả thuyết, lý thuyết này hay khác.

V. I. Lenin đã đưa ra định nghĩa kinh điển về quá trình nhận thức: «Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn — đó là con đường biện chứng của nhận thức chân lý, nhận thức hiện thực khách quan» *).

Trong thế giới xung quanh chúng ta không có sự vật nào không thể được nhận thức, về nguyên tắc không thể tiếp cận đối với lý trí con người. Tuy nhiên, việc nhận thức các đối tượng, các hiện tượng trong toàn bộ tính đầy đủ của chúng chỉ có thể được thực hiện bằng một tổng vô hạn các khái niệm chung, các quy luật, v.v. Và việc nắm vững toàn bộ tổng thể tri thức này luôn chỉ là xấp xỉ, tức là việc nhận thức thế giới một cách toàn diện chỉ có thể đạt được, nói theo ngôn ngữ toán học, ở giới hạn. Ở mỗi giai đoạn phát triển lịch sử, tri thức của chúng ta về hiện thực chỉ mang tính tương đối, đồng thời chứa đựng trong mình một phần của chân lý tuyệt đối: những mặt này hay mặt khác của các đối tượng và hiện tượng được các khái niệm khoa học phản ánh ít nhiều đúng đắn, đầy đủ, còn những mặt khác chỉ được phản ánh gần đúng hoặc thậm chí sai lầm, những mặt thứ ba vẫn hoàn toàn chưa được biết đến.

Sự vận động, biến đổi, phát triển của thế giới vật chất diễn ra dưới những hình thức khác nhau; các đối tượng và hiện tượng của hiện thực khách quan có những phẩm chất nhất định và sở hữu những đặc trưng định lượng đa dạng.

Các ngành khoa học khác nhau nghiên cứu những đặc điểm định tính đặc thù của các đối tượng hoặc các mặt của hiện tượng, nghiên cứu một hoặc một số hình thức vận động của vật chất có liên hệ với nhau. Chẳng hạn, hóa sinh xem xét các quá trình hóa học trong mối liên hệ với các cơ thể sống, địa lý mô tả bức tranh về hành tinh của chúng ta và nghiên cứu các quy luật biến đổi nó bởi con người, lịch sử lấy việc khám phá các quy luật phát triển của xã hội loài người trong những biểu hiện cụ thể của chúng làm đối tượng, v.v.

Đặc thù của toán học là ở chỗ nó không xem xét những vật thể vật chất cụ thể, không phân tích một hình thức vận động vật chất nhất định nào. «Toán học thuần túy, — F. Engels viết, — lấy các hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới hiện thực làm đối tượng…» *. Nói cách khác, toán học nghiên cứu thế giới vật chất từ một quan điểm đặc biệt: đối tượng nghiên cứu của nó chính là những quan hệ định lượng (theo cách hiểu triết học chung của thuật ngữ này), vốn có trong tất cả, không trừ một, các đối tượng của hiện thực và «được đặc trưng, khác với những quan hệ định tính, chỉ bởi mối quan hệ không phân biệt của chúng đối với bản chất cụ thể của những đối tượng mà chúng liên kết…» **).

Tính đặc thù này của đối tượng xác định khả năng ứng dụng rộng rãi của toán học trong các khoa học khác. Tính không thể tách rời về mặt nội tại của các thuộc tính định tính và định lượng của các sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực khách quan tạo ra những tiền đề khách quan cho việc sử dụng các phương pháp toán học trong nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng nhất của sinh học, địa chất học, ngôn ngữ học và các lĩnh vực khác. Theo nghĩa này, C. Marx nói rằng «…khoa học chỉ đạt tới sự hoàn thiện khi nó có thể sử dụng toán học» ***).

*) K. Marx và F. Engels, Tuyển tập, tập 20, tr. 37.
**) A. N. Kolmogorov, Toán học, Bách khoa toàn thư Xô viết lớn, tập 26, tr. 476.
***) Tuyển tập «Hồi ức về Marx và Engels», M., 1956, tr. 66.

Người ta thường coi toán học là một khoa học trừu tượng, và điều đó, không thể nghi ngờ, là đúng. Chính đặc thù của toán học, nghiên cứu các hình thức không gian và các quan hệ định lượng, xác định tính trừu tượng đặc biệt của nó. F. Engels đã từng lưu ý đến điều này: «…để có thể nghiên cứu những hình thức và quan hệ này dưới dạng thuần túy, cần phải tách chúng khỏi nội dung của chúng, gạt cái sau sang một bên như một cái gì không đáng kể…» *).

Nói cách khác, đó là việc nghiên cứu kết quả không phải bằng kính hiển vi hay thuốc thử hóa học, mà chỉ bằng sức mạnh của sự trừu tượng.

Mỗi sự vật hay hiện tượng của hiện thực khách quan có vô số thuộc tính, tính chất và gắn bó không thể tách rời với các sự vật và hiện tượng khác, với toàn bộ thế giới vật chất. Tư duy của chúng ta không thể cùng một lúc bao quát tất cả những thuộc tính ấy và toàn bộ sự đa dạng của các mối liên hệ. Vì vậy, khi tiến hành nghiên cứu khoa học, chúng ta buộc phải chỉ tập trung sự chú ý vào một hoặc một số thuộc tính của đối tượng được nghiên cứu, chỉ vào một số mối liên hệ của nó với các đối tượng khác. Chúng ta không chú ý đến tất cả những thuộc tính và mối liên hệ còn lại, tức là tách mình khỏi chúng, trừu tượng hóa khỏi chúng.

Nói cách khác, mọi nhận thức tất yếu đều gắn liền với các quá trình trừu tượng hóa, với các sự trừu tượng. «Tư duy, khi đi từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không rời xa — nếu nó đúng đắn… — chân lý, mà tiến gần đến chân lý… mọi sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không vô nghĩa) đều phản ánh tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn», — V. I. Lenin nhận xét **).

No abstraction cũng có điểm yếu của nó, trước hết nằm ở chỗ

*) K. Marx và F. Engels, Tuyển tập, tập 20, tr. 37.
**) V. I. Lenin. Toàn tập, tập 29, tr. 152.

6

nó được cho những kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Như vậy, «ngôi nhà» thực sự tồn tại, còn «điểm vật chất» thì không.

Điều tương tự cũng có thể nói về khái niệm hình học «đoạn thẳng». Trong tự nhiên, chúng ta không quan sát thấy những vật thể «dưới dạng thuần túy» có chiều dài và «độ thẳng», nhưng «không có bề dày». Do đó, khái niệm này không nảy sinh do sự trừu tượng hóa đồng nhất, mà là một sự lý tưởng hóa.

Về đại thể, lý tưởng hóa gồm những điều sau. Đối tượng thực được thay thế trong ý thức của chúng ta bằng một mô hình trừu tượng, mô hình này thu được không chỉ bằng cách gạt bỏ những thuộc tính không tồn tại, mà còn bằng cách trang bị cho mô hình những thuộc tính lý tưởng hóa, phản ánh dưới dạng phóng đại những thuộc tính vốn có của đối tượng. Chẳng hạn, nếu chúng ta nghiên cứu chuyển động của một thiên thể ở cách xa chúng ta một khoảng cách lớn hơn kích thước của nó nhiều lần, chúng ta có thể xây dựng một mô hình phóng đại, coi thiên thể này là một điểm vật chất. Tương tự như vậy, khái niệm «tiếp xúc» dưới dạng phóng đại phản ánh khả năng các vật thể có sự tương hỗ về vị trí trong thực tế. Khả năng các vật thể có sự tương hỗ về vị trí trong thực tế.

Dĩ nhiên, điều đó không có nghĩa là các khái niệm nảy sinh do kết quả của lý tưởng hóa hoàn toàn tách rời khỏi thế giới khách quan và không có ý nghĩa thực tế. Cho phép chúng ta đặc biệt sâu sắc và rõ ràng theo dõi những tính chất cơ bản nhất của đối tượng, các khái niệm này có ý nghĩa được thừa nhận rộng rãi trong các ứng dụng thực tiễn của toán học.

Một dạng đặc biệt của trừu tượng hóa lý tưởng hóa là trừu tượng hóa về khả năng thực hiện tiềm tàng. Nó được đặc trưng bởi việc bỏ qua những giới hạn thực tế trong khả năng xây dựng của chúng ta, do thời gian sống hữu hạn của chúng ta trong không gian và thời gian quy định.

Hình thức trừu tượng hóa này cho phép chúng ta suy luận, chẳng hạn, về một số bất kỳ lớn nào (ví dụ, về số $10^{10}$) và giả định rằng chúng ta như thể có khả năng đi đến nó, bắt đầu từ 1, 2, 3, 4 … v.v. Rõ ràng, khả năng này chỉ mang tính tiềm tàng: toàn bộ cuộc đời chúng ta cũng không đủ để thực hiện việc đó.

Tuy nhiên, chúng ta bỏ qua tính không thể thực hiện về mặt thực tế của nhiệm vụ này, bỏ qua những giới hạn trong khả năng của mình và coi việc xét các số bất kỳ là chấp nhận được, từ đó đi đến khái niệm «dãy vô hạn các số tự nhiên».

Kết quả của việc áp dụng dạng trừu tượng hóa này còn nảy sinh những khái niệm như «đường thẳng» (kéo dài không giới hạn về cả hai phía), «mặt phẳng» và những khái niệm khác.

Toán học hiện đại thao tác với một số lượng khổng lồ các khái niệm, những khái niệm này không thể có được như những trừu tượng hóa trực tiếp, đơn giản từ các thuộc tính của thế giới toán học mà con vật có thể trực tiếp quan sát. Những khái niệm này được hình thành trong quá trình chồng nhiều tầng trừu tượng hóa.

Những khái niệm toán học ban đầu, sơ cấp nảy sinh từ hiện thực khách quan, phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của đối tượng trong hiện thực. Nhưng một khi đã xuất hiện, các khái niệm này như thể sống cuộc sống riêng của mình, tạo thành trong ý thức con người một thế giới riêng, tự chúng tạo ra những phản ánh tiếp theo và những khái niệm trừu tượng mới. Đến lượt mình, những khái niệm trừu tượng này lại tạo ra những trừu tượng mới, có thể nói là ở cấp độ cao hơn, v.v.

Để hiểu điều đã nói, hãy xét khái niệm «số». Ban đầu, số xuất hiện như kết quả của việc đếm các đối tượng (trừu tượng hóa đồng nhất hóa), sau đó được khái quát thành khái niệm số tự nhiên (trừu tượng hóa khả năng thực hiện tiềm tàng). Tiếp đó đưa vào khái niệm số phân số (trừu tượng hóa đồng nhất hóa).

7

đồng nhất hóa *). Trừu tượng hóa tiếp theo là các số hữu tỉ (dương và âm), rồi đến các số thực.

Tính chất nhiều tầng của trừu tượng hóa ở đây thể hiện hoàn toàn rõ ràng. Tương tự như vậy, các khái niệm «số», «vectơ», «biến đổi hình học» và một loạt các trừu tượng hóa khác (chủ yếu liên quan đến các hình thức không gian và các quan hệ số lượng của thế giới thực) tạo ra khái niệm «nhóm», là một trừu tượng hóa ở cấp độ cao hơn.

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng tính nhiều tầng của các trừu tượng toán học, sự tồn tại của các trừu tượng ở những cấp độ khác nhau có nghĩa là toán học tách rời khỏi thế giới thực. Điều rất có ý nghĩa về mặt này là nhiều khái niệm và lý thuyết trừu tượng «tinh tế» của toán học hiện đại đã có những ứng dụng quan trọng ngay ngày nay. Chẳng hạn, khái niệm «nhóm» và những vấn đề tinh tế của lý thuyết nhóm có những ứng dụng quan trọng trong vật lý hạt cơ bản.

Спpecificический отпечаток на всю математику накладывает единственный характер математических теорий.

Физики изучают, например, изображение газовые процессы, т. е. исследуют свойства газа при условии, что его температура не изменяется. Другой пример из физики — изучение переохлажденных жидкостей, т. е. исследование свойств веществ при условии, что оно имеет температурные точки плавления, но (в силу особых условий опыта) не кристаллизуется, а остается в жидком состоянии. Законы, открытые в этих условиях, будут единственными при выполнении определенных гипотез.

Однако в физике также законы имеют смысл лишь тогда, когда соответствующие условия, гипотезы реально осуществимы. В самом деле,

*) Разделяя целое, единицу на доли, мы затем отождествляем символы $1/3$, $2/6$, $3/9$, $4/12$ и т. д., считая их представляющими одно и то же дробное число.

если бы кто-нибудь создал «теорию» о поведении веществ при температуре ниже абсолютного нуля, то физики вряд ли приняли бы ее вверь, либо она использует гипотезу, противоречащую известным нам свойствам реального мира.

В математике дело обстоит (во всяком случае, внешне) по-другому. Окружающие нас предметы имеют три измерения, но математики построили теории $n$-мерных (и даже бесконечномерных) пространств. Мы знаем, что умножение чисел коммутативно: $ab=ba$, но в математике изучают и такие числовые системы, в которых $ab\neq ba$. Можно привести и другие примеры теорий, противоречащих «здравому смыслу».

Но характерно, что эти на первый взгляд «дикие» теории находят важное применение при изучении реальной действительности! Достаточно напомнить, например, что теория относительности широко использует четырехмерное пространство.

Наиболее ярким примером гипотетической теории, оказывающей влияние на всю математику, была геометрия Лобачевского. Н. И. Лобачевский заменил постулат Евклида о параллельных другим, своим постулатом (через данную точку в данной плоскости можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую), а затем на базе этой аксиомы (и остальных аксиом, совпадающих с евклидовыми) построил логически стройную и законченную геометрию.

Открытие Н. И. Лобачевского в значительной мере предопределило полное торжество аксиоматического метода построения математики. Суть этого метода состоит в том, что все теоремы выводятся чисто логическим путем из сравнительно небольшого числа недоказываемых предложений—аксиом. Иначе говоря, математическая теория развивается, строится в предположении, что имеют место определенные, заранее фиксируемые аксиомы.

Математик в процессе своего твор-

8

чества имеет дело с абстрактными понятиями. Он не обращается к каждому разу в своих рассуждениях к объективной действительности, непосредственно исследует не ее, а именно этот «мир понятий». Для доказательства той или иной теоремы нет необходимости описывать и систематизировать факты и явления, не нужно строить громоздкие и дорогостоящие установки, не требуется проводить ювелирно-точные эксперименты.

Математическое исследование происходит чисто умозрительным путем, подчиняясь законам логики. Математик в процессе своей работы представляет лишь цель проведения логически строгих, исчерпывающих доказательств теорем, построения непротиворечивых теорий.

Nhưng, ngoài hoạt động tư duy thuần túy logic, trong sự phát triển của toán học (cũng như của mọi khoa học nói chung), những khả năng sáng tạo của con người, như trí tưởng tượng, trực giác, cũng đóng vai trò lớn. Nhấn mạnh ý nghĩa của trí tưởng tượng sáng tạo, trực giác, ý nghĩa của fantasy trong quá trình nhận thức, V. I. Lenin viết: «Thật vô ích khi nghĩ rằng nó chỉ cần thiết cho thi ca. Đó là một thành kiến sâu sắc! Ngay cả trong toán học nó cũng cần thiết, thậm chí việc phát hiện ra phép tính vi phân và tích phân cũng không thể có được nếu không có fantasy» *).

Con đường nghiên cứu toán học thuần túy tư biện, trong đó cho phép sử dụng rộng rãi fantasy và những cấu trúc giả thuyết, tạo ra ảo tưởng về tính độc lập của các khái niệm và lý thuyết toán học với thế giới khách quan, về sự thiếu vắng nội dung hiện thực trong những trừu tượng cấp cao hơn, nảy sinh trong quá trình «sáng tạo tự do» của lý trí.

Thật vậy, về hình thức có những khả năng sau: nhà toán học đưa ra những tiên đề tùy ý do mình nghĩ ra và dùng các quy luật logic của lý trí để suy ra từ chúng.

*) V. I. Lenin. Toàn tập, tập 45, tr. 125.

những hệ quả tương ứng; nếu ông ta «may mắn» và kết quả thu được là một lý thuyết không mâu thuẫn, thì có thể nói về một phát hiện toán học. Nói cách khác, nhà toán học, không bị ràng buộc bởi bất kỳ đối tượng hiện thực nào, cũng không bởi bất kỳ hình thức nào của vật chất, dường như có thể chỉ dựa vào trí tưởng tượng của mình, đưa ra mọi giả thuyết và trên cơ sở đó phát triển các lý thuyết, miễn là thu được một cái gì đó logic, không mâu thuẫn và «thú vị về mặt toán học».

Phát triển những tư tưởng tương tự, một trong những nhà toán học lớn nhất của Pháp là Henri Poincaré (1854—1912) khẳng định rằng nền tảng của toán học (và thậm chí của khoa học nói chung) là những quy ước tự do, được lựa chọn tùy ý, do nhà nghiên cứu nghĩ ra và thuận tiện cho ông ta. Ông cho rằng toán học là sản phẩm của «lý trí thuần túy» tự do và không phụ thuộc vào sự tồn tại của các đối tượng vật chất, không gắn với hoạt động thực tiễn của con người. Còn về khả năng áp dụng những thành tựu của toán học vào thực tiễn, thì đó chỉ là một sự ngẫu nhiên có tính bộ phận mà chúng ta không thể giải thích được *).

Đánh giá đúng những cống hiến khoa học của A. Poincaré, V. I. Lenin đã phê phán gay gắt các quan niệm triết học của ông, gọi ông là «một nhà triết học rất rối rắm». Cần lưu ý rằng, mặc dù những quan điểm như vậy có tính chất duy tâm rõ rệt và công khai, nhưng không thể bác bỏ chúng chỉ bằng những lập luận thuần túy logic.

*) Những quan điểm tương tự đôi khi vẫn có thể gặp ngày nay. Chẳng hạn, một nhóm các nhà toán học nước ngoài nổi tiếng, hoạt động dưới bút danh Nicolas Bourbaki, khi bàn về mối quan hệ giữa «thế giới thực nghiệm và thế giới toán học», đã viết: «Việc giữa các hiện tượng thực nghiệm và các cấu trúc toán học tồn tại một mối liên hệ có tính lý thuyết — dường như đã được những phát hiện gần đây của vật lý hiện đại xác nhận theo một cách hoàn toàn bất ngờ, nhưng chúng tôi hoàn toàn không biết những nguyên nhân sâu xa của điều này (nếu những lời này có thể được gán cho một ý nghĩa nào đó), và có lẽ chúng tôi sẽ không bao giờ biết được chúng» (N. Bourbaki, Những tiểu luận về lịch sử toán học, M., 1963, tr. 258).

9

Câu trả lời đúng chỉ có thể được đưa ra bởi quan điểm duy vật biện chứng nhất quán, thừa nhận thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý.

Logic là công cụ làm việc của toán học: một mệnh đề được suy ra từ các tiền đề, tiên đề và định nghĩa theo các quy tắc của logic được coi là đúng trong toán học. Nhưng «tính hiển nhiên», «tính rõ ràng», «tính thuyết phục» của các bước suy luận logic không tự nhiên mà có; tính hợp pháp của các cấu trúc logic tìm được sự xác nhận của mình trong kinh nghiệm hàng thế kỷ của hoạt động thực tiễn của con người.

Chính kinh nghiệm này xác nhận rằng các quy luật nội tại của sự phát triển tư duy logic đồng nhất với các quy luật phát triển của hiện thực khách quan. F. Engels viết về vấn đề này: «Trên toàn bộ tư duy lý luận của chúng ta, với sức mạnh tuyệt đối, chi phối sự kiện rằng tư duy chủ quan của chúng ta và thế giới khách quan tuân theo cùng một quy luật và do đó chúng không thể mâu thuẫn với nhau trong các kết quả của mình, mà phải phù hợp với nhau»*).

Như vậy, yêu cầu về tính chặt chẽ hình thức của toán học, tức là tính chính xác của định nghĩa, tính đầy đủ của việc chứng minh các định lý, tính không mâu thuẫn của lý thuyết, v. v., chính là một trong những phương diện biểu hiện đặc thù của tiêu chuẩn thực tiễn trong toán học.

*) K. Marx và F. Engels, Toàn tập, tập 20, tr. 581.

Tuy nhiên, bản thân tính chặt chẽ toán học không thể hoàn toàn thay thế tiêu chuẩn thực tiễn, không phải là sự bảo đảm đầy đủ cho tính chân lý của tri thức toán học, tức là tính đúng đắn của việc con người phản ánh hiện thực khách quan.

Bởi vì vấn đề về sự phù hợp của các tiền đề được chấp nhận trong lý thuyết với thực tại cũng là vấn đề thiết yếu. Vấn đề này đã vượt ra ngoài phạm vi thẩm quyền của logic và chỉ có thể được giải quyết trong quá trình hoạt động xã hội tự do (trong đó có hoạt động khoa học) của con người. Chỉ có kinh nghiệm của hoạt động này mới có thể phân biệt những «lý thuyết» chặt chẽ về logic, được xây dựng trên những giả thuyết và tiên đề phi thực tế, huyễn tưởng, với những lý thuyết khoa học đích thực, đưa chúng ta đến gần hơn với việc nhận thức những chân lý khách quan.

Thực tiễn khoa học-lịch sử chứng tỏ rằng các khái niệm toán học nguyên thủy và các tiên đề mô tả chúng được lấy từ cuộc sống và là sự phản ánh những thuộc tính khách quan của các vật thể thực. Vì logic của các khái niệm phản ánh logic khách quan của sự vật, tức là những mối liên hệ khách quan của các đối tượng của thế giới toán học, nên các khái niệm và lý thuyết mới có mối liên hệ một cách tự nhiên với thế giới thực và do đó một cách có quy luật, chứ hoàn toàn không ngẫu nhiên, tìm thấy ngày càng nhiều ứng dụng mới trong hoạt động khoa học và thực tiễn của con người.

Quá trình «toán học hóa» tri thức đang diễn ra mạnh mẽ hiện nay, còn được thúc đẩy hơn nữa bởi sự phát triển của kỹ thuật tính toán, hoàn toàn xác nhận sức mạnh của các phương pháp toán học và mối liên hệ có tổ chức của chúng với đời sống.