Hai cảnh trong đời

64

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, LỜI GIẢI

Cho bài «Chỉ có 2 thôi sao?»
(xem «Kvant» số 6)

Từ đẳng thức $a + b = ab$ ta tìm $a$:

$$a = \frac{b}{b - 1}.$$

Nhận thấy rằng $b \neq 1$.

1. Giả sử $a - \text{số nguyên}.$ Vì các số $b$ và $b - 1$ nguyên tố cùng nhau (hiệu của chúng chia cho ƯCLN của chúng, nhưng nó bằng 1), nên $b - 1 = 1$ hoặc $b - 1 = -1$.

Suy ra $b_1 = 2$, $a_1 = 2$; $b_2 = 0$, $a_2 = 0$.

2. Nếu $b$ là một số hữu tỉ tùy ý, khác 1, thì theo công thức (*) xác định $a$.

3. Nếu $ab = p$, thì $p = \frac{b^2}{b - 1}$, suy ra

$$b^2 - pb + p = 0, \quad b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - p},$$

$$b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p(p - 4)}{2}}.$$

a) theo công thức () với mọi $p \geq 4$ hoặc $p \leq 0$ tìm được $b$ tương ứng và theo công thức () tìm được $a$;

6. cần tìm xem có tồn tại số $p$ sao cho

$$p(p - 4) = \frac{q^2}{s^2},$$

(***)

trong đó $\frac{q}{s}$ — phân số tối giản. Giải phương trình (*) trong các số nguyên ($p, q, s$ và $m$ — các số nguyên):

$$q^2 = s^2p(p - 4),$$ nhưng từ tính tối giản của phân số suy ra $s = 1$.

$$p^2 - 4p - q^2 = 0, \quad p = 2 \pm \sqrt{4 + q^2},$$

$$4 + q^2 = m^2,$$

$$(m - q)(m + q) = 4 \cdot 1 = 2 \cdot 2.$$

Nghiệm nguyên duy nhất $m = \pm 2$, $q = 0$, dẫn đến nghiệm (1).

Hai cảnh trong đời sống

Người hướng dẫn “hiểu biết”

Người hướng dẫn: …Các hành tinh chịu tác dụng của định luật Newton, vì thế chúng quay quanh Mặt Trời. Chúng còn chịu tác dụng của định luật Kepler, nhưng tôi sẽ không kể cho các bạn về nó, vì nó phức tạp, và các bạn sẽ chẳng hiểu gì… Để bay khỏi Trái Đất, cần có vận tốc vũ trụ cấp hai. Như các bạn thấy trên áp phích, nó bằng 11,2 km/giây, năm ngoái nó bằng 11,4 km/giây… Các nhà du hành vũ trụ gặp nhiều khó khăn. Khi bay qua khí quyển, khí quyển ép mạnh lên con tàu và các nhà du hành vũ trụ chịu quá tải, nhưng bên ngoài khí quyển còn tệ hơn — ở đó bắt đầu không gian không trọng lượng…

Trong một viện nghiên cứu

Nghiên cứu sinh: Tôi cho rằng xe lu lún vào nhựa đường vì dưới áp lực của nó, tốc độ các phân tử tăng lên, và chúng chạy tản ra khỏi dưới xe lu.

Người hướng dẫn khoa học: Cụ thể hiện nay anh đang nghiên cứu vấn đề gì?

Nghiên cứu sinh: Tôi đang tính sự phụ thuộc của tốc độ các phân tử nhựa đường vào áp lực của xe lu lên chúng.

Người hướng dẫn khoa học: Tốt. Anh cần gì để hoàn thành công việc?

Nghiên cứu sinh: Tôi cần một máy ép thủy lực!

Người hướng dẫn khoa học: Hãy viết đơn đề nghị. Tôi nghĩ là sẽ kiếm được.