Chân dung Trái Đất

10

CHÂN DUNG
CỦA TRÁI ĐẤT

Chân dung, mô hình, bản đồ
Sơ đồ, bản vẽ, bình đồ, ảnh chụp, chân dung do các họa sĩ và nhà thiết kế thực hiện,—tất cả đều là những mô hình của các vật thể được họ mô tả (“nguyên bản”). Mô hình là một loại vật thay thế cho vật thể được mô tả. Mỗi mô hình, cung cấp cho ta thông tin về “nguyên bản” được mô tả, đồng thời không tái tạo một số đặc điểm của “nguyên bản” ấy, bỏ qua chúng, hoặc, như người ta nói, trừu tượng hóa khỏi chúng. Điều đó cũng dễ hiểu: một mô hình “đầy đủ”, là bản sao chính xác của “nguyên bản”, xét về sự dễ nghiên cứu sẽ không có bất kỳ ưu thế nào so với nó. Để đơn giản hóa quá trình nhận thức, phải hy sinh tính đầy đủ của nó. Thông thường, hình ảnh phẳng của một vật thể không gian làm biến dạng hình dạng của nguyên bản. Trong số những vật thể như vậy có quả địa cầu, và bài báo này dành cho các phương pháp tạo ra những “chân dung” của nó, tức nói đơn giản là các bản đồ địa lý. Có khá nhiều phương pháp ấy (tùy theo mục đích của bản đồ). Nhưng dù đa dạng đến đâu, tất cả chúng bằng cách này hay cách khác đều bao gồm và biến đổi hai “mô-típ” cơ bản: phép chiếu và sự khai triển trên mặt phẳng.

V. N. Berezin,
M. L. Smolyansky

11

“Tượng bán thân của Trái Đất” — quả địa cầu

Trước khi chuyển sang các phương pháp khác nhau biểu diễn bề mặt Trái Đất trên bản đồ, hay, như chúng được gọi, các phép chiếu bản đồ, hãy nói vài lời về “chân dung điêu khắc” của Trái Đất, có thể xem là giai đoạn trung gian để tạo ra các “chân dung” khác,— nói cách khác, về quả địa cầu vốn ai cũng biết rõ.

Việc hành tinh của chúng ta có hình dạng gần với hình cầu đã được các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại nhận thức khá rõ, chủ yếu dựa trên những quan sát của các thủy thủ và người du hành. Dĩ nhiên, bản thân những quan sát này chỉ cho phép khẳng định rằng phần Trái Đất mà người Hy Lạp biết đến,— tức là những phần châu Âu, châu Á và châu Phi tiếp giáp trực tiếp với Địa Trung Hải, Biển Đen và phần phía đông của Đại Tây Dương,— là lồi. Không có gì đáng ngạc nhiên khi, với nền văn hóa tư duy trừu tượng phát triển cao ở người Hy Lạp, những dữ liệu khá gián tiếp ấy đã cho phép các học giả thời đó đưa ra giả thuyết táo bạo về tính khép kín của bề mặt Trái Đất. Hình dạng bóng của Trái Đất trên bề mặt Mặt Trăng trong lúc nguyệt thực (việc nhận ra rằng đó là bóng của Trái Đất tự nó đã là một thành tựu khó có thể đánh giá quá cao), cũng như những lập luận thuần túy suy diễn, dưới hình thức này hay hình thức khác viện đến quan niệm về tính đối xứng, đã dẫn đến kết luận rằng Trái Đất là một hình cầu.

Về việc người Hy Lạp hình dung «bộ mặt» của Trái Đất như thế nào, có thể phán đoán qua tấm bản đồ địa lí cổ nhất còn truyền lại cho chúng ta (trong các bản sao chép Latinh về sau), do nhà bác học Hy Lạp nổi tiếng Claudius Ptolemy lập (khoảng năm 150 trước công nguyên). Ptolemy, sử dụng lưới tọa độ do Hipparchus đưa vào từ trước ông, cố gắng trải bề mặt hình cầu của Trái Đất ra mặt phẳng (hình 1). Các kinh tuyến được biểu diễn bằng những đường gấp khúc hai chiều, còn các vòng vĩ tuyến — bằng những cung tròn, trong đó cung trên tương ứng gần đúng với vòng Bắc Cực, cung dưới — với xích đạo, còn cung ngăn cách hình nón cụt của đới ôn hòa với phần xích đạo hình trụ (vĩ độ 0°) — với chí tuyến Bắc. Dọc theo các kinh tuyến giữ một tỉ lệ xích không đổi (các cung đồng tâm của các vĩ tuyến cách nhau những khoảng bằng nhau, cứ mỗi 10°). Hiểu rằng về phía nam xích đạo các vĩ tuyến lại phải thu ngắn, do đó nửa dưới của hình trải phải được ngăn với nửa trên mà ông vẽ bằng một vết cắt, Ptolemy không cố biểu diễn Nam bán cầu. Ông buộc phải tiếp nối châu Phi ở phía nam và châu Á ở phía đông bằng Terra incognita giả định («Đất Chưa biết»), ở phía nam Ấn Độ Dương chuyển thành «Đất Sao» (Terra australia; tên gọi này về sau được đặt cho lục địa thứ năm, được phát hiện gần như ở chính những vùng ấy). Bản đồ của Ptolemy được thực hiện, theo cách nói của các nhà bản đồ học hiện đại, trong «phép chiếu tùy ý». Càng đáng chú ý hơn là độ chính xác mà các tọa độ (đặc biệt là vĩ độ) của nhiều thành phố và hải cảng được ghi lên đó.

Ptolemy còn đưa ra một phép chiếu khác, theo quan điểm của ông đẹp và đúng hơn, nhưng kém thuận tiện hơn cho các phép dựng thực hành.

⟦tờ 12⟧

Hình 2.

Hãy nhường lời cho chính Ptolemy *): «… chỉ có thể hình dung kinh tuyến giữa là một đường thẳng, mà mặt phẳng của nó trùng với trục nhìn. Còn các kinh tuyến nằm ở hai phía của nó dường như hướng phần lõm về phía nó, và uốn trở lại khi xa dần nó (hình 2).

Hình vẽ sau truyền đạt điều đó, giữ được sự tương ứng thích đáng của các độ cong. Ngoài ra, tính tỉ lệ lẫn nhau của các cung vĩ tuyến truyền đạt chính xác nhất có thể quan hệ thực sự của các vĩ tuyến này với các vĩ tuyến khác…

Nhờ tất cả điều đó, cách thứ hai có lẽ có ưu thế hơn cách thứ nhất, nhưng lại thua nó về sự thuận tiện khi thực hiện bản vẽ. Ở đó chỉ cần kẻ một vĩ tuyến, chia nó thành các đoạn và ghi lên bản đồ bất cứ điểm nào, bằng cách áp và di chuyển thước. Còn ở đây không có sự thuận tiện ấy, vì các đường kinh tuyến tiến đến kinh tuyến giữa trong khi uốn cong, và ngoài ra còn phải vẽ tất cả các đường tròn, còn vị trí của các điểm nằm trong các khoảng trống của lưới so với các cạnh bao quanh của hình vuông phải được xác định bằng tính toán theo các điểm đã ghi lên bản đồ. Vì

*) «Địa lí cổ đại», người biên soạn giáo sư M. S. Bodnarsky, Địa lí, 1953.

Hình 3.

thế, mặc dù cá nhân tôi trong việc này cũng như nói chung thích cái tốt hơn và khó hơn hơn là cái kém hơn và dễ hơn, vẫn cần tuân theo cả hai phương pháp đã được xác lập, xét đến những người mà sự đa dạng lôi cuốn về phía dễ hơn…»

Vào khoảng cùng thời gian đó (giữa thế kỷ II trước Công nguyên), dường như quả địa cầu đầu tiên trong số những quả đã biết cũng được chế tạo. Quả địa cầu này, do nhà triết học Crates xứ Mallus làm ra, không còn giữ được và chỉ được biết qua những mô tả muộn hơn, mà khi đánh giá độ chính xác của nó phải tất yếu tính đến tính sơ lược. Tri thức của thời đại ấy hoàn toàn phù hợp với hình ảnh lục địa Oikoumene (“Nơi có người ở”), gồm Âu-Á và châu Phi (dĩ nhiên Crates có cơ sở cho điều đó, vì eo đất Suez quả thực chỉ bị cắt ngang bởi một con kênh muộn hơn ít lâu). Tỷ lệ của những đường nét bờ biển quen thuộc với chúng ta (đặc biệt ở các vùng ngoại vi) bị sai lệch rõ rệt, nhưng vị trí tương quan của những yếu tố đặc trưng của bản đồ như các biển Địa Trung Hải, Đen, Đỏ và Trắng, vịnh Ba Tư, bán đảo Ả Rập và các bán đảo miền nam châu Âu, nhìn chung được truyền đạt đúng.

Quả địa cầu của Crates (khác với bản đồ chi tiết hơn nhiều của Pto-

13

Hình 4.

lemy) hiển nhiên chủ yếu chỉ đóng vai trò minh họa. Sự xuất hiện trên đó của những chi tiết huyền ảo như các lục địa đối xứng với Oikoumene qua xích đạo, được cho là có “Antêk” cư trú, và các lục địa ở phía bắc và phía nam của bán cầu đối diện (nơi ở của “Perizk” và “Antipod”) có thể được giải thích bằng khát vọng không ý thức hướng tới “tính đối xứng”, vốn, nhân tiện, cũng rất đặc trưng cho khoa học hiện đại. (hình 3)

Một quả địa cầu đã đến được ngày nay (xem hình mở đầu bài viết), được người Nürnberg là Martin Behaim chế tạo muộn hơn nhiều — đúng vào năm 1492, năm mà để vinh danh việc Columbus phát hiện châu Mỹ, người ta bắt đầu coi là ranh giới quy ước giữa thời trung cổ và thời cận đại. Trên quả địa cầu nửa mét của Behaim và đặc biệt trên bản đồ (xem hình 4), được làm với sự trợ giúp của quả địa cầu này, có thể thấy rõ rằng các nhà địa lý thời đó đã đánh giá quá lớn kích thước châu Á, và vì thế ước lượng đường đi từ Tây Ban Nha tới những bờ biển phía đông của nó (Trung Quốc và Ấn Độ) nhỏ gần một nửa so với thực tế.

Sai lầm, dĩ nhiên, vẫn là sai lầm, nhưng khách quan mà nói, những quan niệm ấy chắc chắn đã góp phần vào sự lạc quan của Columbus, khích lệ ông thực hiện ý định táo bạo là đạt tới các bờ phía đông

của châu Á, luôn đưa những chiếc caravel của mình đi về phía tây.

Từ “mô hình” đến “chân dung”
Nhưng hiện nay, khi có thể làm địa cầu khá tốt, điều gì ngăn cản việc sử dụng chúng trong mọi trường hợp cần bản đồ? Hay chúng cũng không tránh khỏi sai lệch — chẳng hạn không tính đến sự dẹt của Trái Đất ở các cực hoặc địa hình núi non của nó? Không, ở đây điều đó không thật sự quan trọng: chênh lệch giữa bán kính cực và bán kính xích đạo của Trái Đất không quá 0,3% mỗi bán kính, còn độ cao của đỉnh núi cao nhất — Chomolungma — khoảng 0,1% bán kính Trái Đất (và các chỗ trũng sâu nhất dưới đáy đại dương cũng cùng bậc như vậy), nên trong giới hạn độ chính xác kích thước khi chế tạo, các yếu tố này hầu như không nhận thấy được; tiện hơn nhiều là biểu diễn địa hình trên bản đồ hoặc địa cầu bằng cái gọi là “đường đồng mức”, tô các khoảng giữa chúng bằng những màu khác nhau cho dễ nhìn. Cốt lõi sự việc rất đơn giản: địa cầu kém tiện hơn bản đồ, — người ta đâu thay hộ chiếu bằng tượng bán thân và phù điêu của chủ nhân!

Nhưng có địa cầu, ta cũng có thể nghĩ đến việc “trải phẳng” nó — dù chỉ gần đúng. Để làm chân dung Trái Đất, ta sẽ cần mô hình thu nhỏ của nó.

Sau khi hiểu được cách quả địa cầu «trải ra» thành bản đồ, nhân tiện chúng ta cũng sẽ đi đến chỗ hiểu một bài toán ngược không kém phần thú vị: từ những hình ảnh phẳng của các mảnh bề mặt Trái Đất thu được bằng chụp ảnh hàng không, người ta khôi phục diện mạo thật của vật gốc — Trái Đất — như thế nào.

Bây giờ hãy nhớ lại cách khai triển các bề mặt. Chẳng hạn, ở một đa diện có thể cắt gần như tất cả các cạnh, chỉ để lại một cạnh không cắt ở mỗi mặt, để bề mặt không tách thành từng mảnh. Hình trụ và hình nón còn được khai triển đơn giản hơn. Bạn sẽ có mô hình của hình trụ (chính xác hơn, của mặt trụ),

14

Hình 5.

nếu dán hai cạnh đối diện của một tờ giấy hình chữ nhật, còn mô hình hình nón thì chỉ đơn giản là một cái phễu giấy. Chỉ cần cắt bất kỳ mô hình nào trong hai mô hình này theo một đường sinh và đặt mảnh giấy thu được lên bàn — thế là có khai triển! Độ dài các đường vẽ trên các bề mặt ban đầu cũng được giữ nguyên trên các khai triển (chỉ có điều đường đó — nếu nó cắt đường sinh dọc theo đó thực hiện vết cắt — sẽ tách thành hai phần).

Nhưng Trái Đất của chúng ta là một quả cầu. Như Leonhard Euler đã chứng minh năm 1777, không một phần nào của mặt cầu (dù nhỏ đến đâu!) có thể được khai triển lên mặt phẳng mà vẫn giữ nguyên mọi khoảng cách. Ý tưởng của chứng minh Euler rất đơn giản. Dù lấy một phần nhỏ đến đâu của mặt cầu của quả địa cầu, bên trong nó ta vẫn có thể chọn một «mũ» tròn. Do mọi điểm của mặt cầu hoàn toàn bình đẳng (mỗi đường kính là một trục đối xứng của nó), ta có thể coi tâm của «mũ» này là cực, còn biên là đường vĩ tuyến (đường tròn vĩ độ). Các khoảng cách giữa các điểm của mũ dĩ nhiên phải được đo theo bề mặt của mũ. Đặc biệt, khoảng cách từ cực đến bất kỳ điểm nào trên biên của mũ sẽ bằng độ dài $r$ của cung kinh tuyến tương ứng (hình 5). Vậy trên một khai triển không làm biến dạng kích thước, đường vĩ tuyến này phải được biểu diễn trên mặt phẳng bằng một đường tròn bán kính $r$ và do đó có độ dài $2\pi r$. Nhưng dễ chứng minh (hãy tự làm điều đó!) rằng thực tế độ dài đường tròn của chúng ta nhỏ hơn $2\pi r$. Mâu thuẫn thu được chứng minh sự không thể có một khai triển chính xác lên mặt phẳng ngay cả của chiếc mũ nhỏ nhất cắt từ mặt cầu, và nói chung của bất kỳ phần nào của mặt cầu.

«Vi bản đồ» — bình đồ

Từ chứng minh định lý Euler (và đơn giản từ những suy xét «lành mạnh») thấy rằng khi nói về những phần rất nhỏ của bề mặt Trái Đất, việc thay những «mũ» nhỏ ấy bằng các hình tròn phẳng làm biến dạng các kích thước chuyển lên bản đồ càng ít khi đường kính của hình tròn càng nhỏ. Cuối cùng, vấn đề quy về việc thực sự cần độ chính xác biểu diễn nào. Việc đánh giá sai số cho phép rất đơn giản (xem bài toán ở tr. 25) và trong mỗi trường hợp cụ thể cho phép trả lời câu hỏi này một cách hợp lý.

Ví dụ, một kiến trúc sư quy hoạch xây dựng thành phố hoàn toàn không quan tâm đến hình dạng của toàn bộ địa cầu — một cái khe núi nào đó, dĩ nhiên, làm ông ta bận tâm hơn nhiều so với những vấn đề «vũ trụ» như thế! Độ tròn của Trái Đất cũng chẳng mấy quan trọng đối với nhà địa chất thăm dò một mỏ cụ thể — đối với ông ta, các độ dốc địa phương và những «không đều» khác của địa hình có ý nghĩa quan trọng hơn nhiều, vì chúng có thể ảnh hưởng đến việc chọn các điểm khoan giếng. Nói ngắn gọn, khi lập bản đồ những khu vực nhỏ, ta có thể mạnh dạn noi theo người Ai Cập cổ đại, những người từ năm nghìn năm trước đã lập các bình đồ (đó là tên gọi chung của những «vi bản đồ» này) của những phần bề mặt Trái Đất, hoàn toàn bỏ qua độ cong của Trái Đất nói chung. Yêu cầu duy nhất đối với bình đồ là

15

Hình 6.

là đối với các điểm tùy ý $A, B, C$ và $D$ trên bề mặt phần Trái Đất được biểu diễn và các ảnh của chúng trên bình đồ — các điểm $A', B', C'$ và $D'$ — với độ chính xác đủ cao phải có đẳng thức $\frac{A'B'}{AB} = \frac{C'D'}{CD}$.

Đại lượng của tỉ số $\frac{A'B'}{AB}$ tự nhiên được gọi là tỉ lệ của ảnh đoạn $AB$; như vậy, điều kiện của chúng ta biểu thị nguyên tắc tỉ lệ không đổi. Từ định lí Euler, dĩ nhiên, suy ra rằng ảnh của một mảnh bề mặt Trái Đất không thể có tỉ lệ hoàn toàn không đổi. Vì thế, trong mỗi trường hợp cụ thể, người ta xác định độ lớn chấp nhận được của sai số cho phép và coi bình đồ là «đúng» nếu sai số không vượt quá tiêu chuẩn đã đặt ra.

Những lập luận hình học rất đơn giản và trực quan (xem hình 6) thuyết phục chúng ta rằng mọi kinh tuyến (các đường có kinh độ không đổi) đều bằng nhau, còn mọi vĩ tuyến (các đường có vĩ độ không đổi) thì giảm từ xích đạo đến các cực, từ $2\pi R_{земли}$ xuống không («vĩ tuyến thứ 90» suy biến thành một điểm — cực). Từ đó lập tức suy ra rằng các đoạn kinh tuyến nằm giữa các vĩ tuyến kề nhau trên quả địa cầu thì bằng nhau, còn các đoạn vĩ tuyến nằm giữa các kinh tuyến kề nhau thì giảm dần theo hướng từ xích đạo đến các cực.

Cũng dễ kiểm tra rằng mọi góc giữa các vĩ tuyến và kinh tuyến tại các điểm giao của chúng (nghĩa là các góc giữa các tiếp tuyến với những đường cong này tại các điểm đã cho) đều là góc vuông.

Thêm một chút lịch sử

Cho đến thời các phát kiến địa lí lớn (thế kỉ XV), nếu bản đồ học có phát triển thì cũng phát triển khá tự phát. Những bản đồ thời trung cổ còn giữ lại thường thậm chí là một bước lùi đáng kể so với bản đồ Ptolemy đã mô tả ở trên. Một ví dụ là cái gọi là bản đồ Hereford (năm 1280), một hình ảnh khá kỳ ảo về Trái Đất tròn và phẳng, không cần bình luận gì đặc biệt và có lẽ chỉ đáng quan tâm về mặt lịch sử (hình 7).

Tuy nhiên, ngay từ thời đó, người ta đã lập cho các thủy thủ những hải đồ chuyên dụng (hình 8) — những bản đồ gọi là portulan (hay portolan), được trang bị, thay cho lưới tọa độ (liệu những người lập portulan có dùng nó hay nói chung họ đã dùng gì, ngoài các phương pháp thuần túy kinh nghiệm, thì khó nói chính xác), bằng cái gọi là «hoa gió» — các hướng của «đường phương vị», tương ứng với các vạch chia của mặt số tròn của la bàn từ tính, khi-

đã thay đổi ở châu Âu từ thế kỷ XII (hình 9). Chúng cho phép vạch hướng đi của tàu trên bản đồ mà không cần bất kỳ tính toán bổ sung nào, bằng cách dùng cái gọi là thước hàng hải (mà, nhân đây nói thêm, vẫn còn được dùng cho đến ngày nay) kẻ qua điểm vị trí của tàu một đường thẳng song song với đường hướng tương ứng (hình 10).

Tự nhiên, các thủy thủ quan tâm đến việc hướng đi lệch khỏi kinh tuyến một số độ cho trước phải như nhau tại mọi điểm trên bản đồ. Muốn vậy cần thiết (dĩ nhiên, tuy chưa đủ) là các kinh tuyến và vĩ tuyến được biểu diễn trên bản đồ bằng những đường thẳng. Lần đầu tiên Gerhard Mercator đã thỏa mãn được yêu cầu này đồng thời vẫn giữ độ chính xác đáng kể của hình vẽ; tên tuổi ông thường được gắn với sự khởi đầu của ngành bản đồ học khoa học. Bản đồ thế giới của Mercator, công bố trên 18 tờ riêng biệt vào năm 1569, đến nay vẫn chưa mất ý nghĩa. (Trong hình ở trang 18 có một đoạn của bản đồ này).

Sự tiến bộ nhanh chóng của tri thức địa lý nói chung và của bản đồ học nói riêng là đặc trưng của các thế kỷ XVI—XVII: việc phát minh đồng hồ chính xác (X. Huygens, năm 1675),

19

Hình 12.

rồi sau đó là máy đo thời gian hàng hải, đã cho phép xác định kinh độ địa lý của một địa điểm với độ chính xác lớn (người Hy Lạp cổ đại đã xác định khá tốt vĩ độ), xuất hiện nhiều hệ phép chiếu khác nhau, thích hợp với các nhu cầu khác nhau và dựa trên các nguyên lý khác nhau. Bản đồ (hình 11) thuộc thời kỳ ấy, biểu diễn toàn bộ bề mặt Trái Đất dưới dạng hai “bán cầu” (de Wit, năm 1700). Dưới đây chúng ta sẽ làm quen với một vài phép chiếu bản đồ tương đối đơn giản về ý tưởng. Dĩ nhiên, đó chỉ là những nét riêng lẻ của bản đồ học — một khoa học gắn với những tên tuổi lừng danh như Euler, Gauss, Chebyshev, Lambert.

Phép chiếu vuông

Hãy tưởng tượng một quả địa cầu được làm dưới dạng một quả bóng có hình cầu hoàn toàn chính xác, vỏ của nó làm bằng loại vải dễ co giãn theo một hướng và hoàn toàn không co giãn theo hướng vuông góc với hướng ấy. Chẳng hạn, có thể coi các sợi ngang là cao su, còn các sợi dọc là thép, trong đó các sợi cao su khép kín và siết quả bóng-địa cầu của chúng ta theo các vĩ tuyến, còn các thanh thép mảnh, mềm, vuông góc với chúng ôm sát quả địa cầu theo các kinh tuyến, tiếp giáp nhau bằng đầu mút ở các cực. Vì các đầu mút của các kinh tuyến không được gắn với nhau, có thể, bằng cách kéo giãn nhẹ các vĩ tuyến cao su gần các cực, luồn một que cứng mảnh vào những lỗ được tạo thành. Tuy nhiên, không nhất thiết phải mảnh. Ai ngăn chúng ta kéo giãn các vĩ tuyến mạnh hơn? Hãy làm như vậy và đưa vào các lỗ, đã được kéo giãn đến kích thước của xích đạo, một “que dày”, tức là một hình trụ tròn xoay thẳng có cùng bán kính với quả địa cầu hình cầu của chúng ta (hình 12).

Thế là chúng ta đã «vượt qua» định lý Euler: bởi vì hình trụ thu được, nếu bị cắt dọc theo một nửa kinh tuyến bất kỳ (có thể hình dung rằng các vòng vĩ tuyến bằng cao su, để sau thao tác này chúng không co lại như cũ, trước khi cắt đã được xử lý nhiệt đặc biệt, làm chúng mất khả năng co giãn thêm), trải phẳng lên mặt phẳng một cách tuyệt vời! Dĩ nhiên, đó chẳng qua chỉ là một trò đùa, — phép màu «vượt qua» đã không xảy ra: bởi vì tất cả các vĩ tuyến (trừ xích đạo) đều bị kéo giãn, và các đường viền lục địa và đảo cũng bị kéo giãn theo phương ngang. Sự kéo giãn này đặc biệt dễ thấy, dĩ nhiên, ở các vùng cận cực.

Ta đã thu được hình ảnh quả địa cầu dưới dạng một hình chữ nhật, đáy của nó (bằng xích đạo),

21

Hình 14.

sẽ trông như thế nào khi tiến gần đến cực, đường loxodrom trên quả địa cầu, và tính vô hạn của «hình trải bị kéo giãn» của nó có lẽ sẽ không còn khiến bạn ngạc nhiên.

Một sự kéo giãn nữa. Phép chiếu Mercator

Bây giờ hãy thử đặt mình vào vai Mercator trong chốc lát, đang không hài lòng nhìn những đường nét bị biến dạng vô lý của Scandinavia và Canada trong phép chiếu vuông (khi ấy, tạ ơn trời, người ta còn chưa biết Nam Cực,— nếu không thì ông ta sẽ được ngắm hình ảnh của nó!). Nhưng tính không thẩm mỹ của bản đồ rốt cuộc vẫn có thể chịu đựng được. Và sự kéo giãn các khoảng cách dọc theo các vĩ tuyến cũng không đánh lừa ai, một khi ta đã biết quy tắc tìm khoảng cách thực. Điều đáng sợ không phải là gương méo, mà là sự tin chắc rằng nó đúng.

Điều khác còn tệ hơn: bản đồ trong phép chiếu vuông không tiện cho thủy thủ, những người không quan tâm nhiều đến độ chính xác khi đo khoảng cách bằng khả năng dễ dàng «vạch» một hướng đi không đổi trên bản đồ, nói cách khác, bằng tính thẳng của đường loxodrom. (Hãy nhớ rằng ngay cả trong các «portolan» cổ, mặc dù thô sơ đến thế, yêu cầu này vẫn được thỏa mãn với độ chính xác đủ cho thực hành.) Vì vậy, điều đáng bực ở hình 14 không phải là sự bẹt đi của bản đồ, mà là hình dạng của đường loxodrom.

Có thể làm thẳng nó được không? Vì sao nó lại cong? Vì bản đồ bị kéo giãn theo vĩ độ $\frac{1}{\cos \varphi}$ lần?— Tuyệt vời! Ai có thể ngăn chúng ta kéo giãn các kinh tuyến của lưới tọa độ vuông cũng $\frac{1}{\cos \varphi}$ lần!? Các hình vuông của lưới tọa độ cũ giờ đây kéo dài thành các hình chữ nhật, và bản đồ không còn có tỉ lệ xích không đổi dọc theo các kinh tuyến nữa (xem hình 15, trong đó mọi vòng tròn đều biểu thị các phần bằng nhau; đường màu xanh biểu thị đường loxodrom). Nhưng trên bản đồ Mercator, góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trên quả địa cầu vẫn không đổi. (Hãy thử chứng minh!) Những phần đủ nhỏ của bề mặt Trái Đất được biểu diễn «gần như» bảo toàn đồng dạng (chẳng hạn, một đường tròn bán kính 500 km được biểu diễn trên bản đồ Mercator bằng một hình ôvan khép kín, bằng mắt không thể phân biệt với đường tròn). Và các đường loxodrom, dĩ nhiên, là những đường thẳng.

Khi tiến gần đến các cực, sự kéo giãn của tỉ lệ xích theo phương thẳng đứng trong phép chiếu Mercator tăng lên không giới hạn, do đó bản đồ đầy đủ của Trái Đất trong phép chiếu này sẽ là

22

Hình 15.

hình trải của một hình trụ có chiều cao vô hạn và sẽ cần một tờ giấy vô hạn để biểu diễn. Vì vậy, các vùng cận cực không được biểu diễn trên những bản đồ như vậy (ranh giới trên và dưới của bản đồ, dĩ nhiên, được xác định hoàn toàn tùy ý, vì lý do tiện lợi; chẳng hạn, hình 15 bị giới hạn ở phía trên bởi vĩ tuyến 85, phía dưới — 30).

Và còn hai nhận xét nữa. Thứ nhất, sự tái dựng của chúng ta về diễn biến tư duy của Mercator có thể hoàn toàn không trùng với diễn biến thực tế trong suy luận của ông; đơn giản là chúng ta thấy rằng nói về điều này như vậy là dễ nhất. Tiếp theo cần lưu ý rằng kết luận về sự kéo giãn bản đồ dọc theo các kinh tuyến lên $\frac{1}{\cos \varphi}$ lần, mà chúng ta thu được “bằng ngón tay”, để được chứng minh chặt chẽ (tuy không phức tạp) sẽ đòi hỏi nắm được những yếu tố của giải tích toán học, bao gồm lôgarit tự nhiên và những khái niệm đầu tiên của phép tính vi phân và tích phân*). Nhân tiện, bản thân Mercator thực ra cũng không làm điều đó — lời giải chặt chẽ cho bài toán “làm thẳng các đường loxodrom” chỉ được Richard

*) Những kiến thức này có thể tìm thấy, chẳng hạn, trong các sách của R. Courant và H. Robbins “Toán học là gì?” (M., 1967) hoặc của N. Ya. Vilenkin và S. I. Shvartsburg “Giải tích toán học” (M., 1969).

Wright ở Cambridge tìm ra ba mươi năm sau (theo bản biên tập của ông mà các ấn bản hiện đại của cái mà ở nước ta gọi là “phép chiếu Mercator” được xuất bản).

Phép chiếu trụ Lambert

Hãy xét thêm một phép chiếu nữa có lưới hình chữ nhật; nó thu được rất đơn giản. Ta dựng quanh quả địa cầu một hình trụ tròn xoay đứng (tiếp xúc với nó theo xích đạo) và chiếu lên mặt bên của nó bề mặt quả địa cầu (không kể các cực!) sao cho tia chiếu đối với mỗi điểm của bề mặt này là đường vuông góc với trục Trái Đất đi qua điểm ấy (hình 16).

Dùng các công thức thông thường của hình học không gian ở trường phổ thông, dễ dàng chứng minh (hãy thử xem!) rằng diện tích của mọi phần trên bề mặt quả địa cầu và các hình chiếu của chúng lên mặt bên của hình trụ đều bằng nhau, vì thế hình khai triển của hình trụ này (cắt theo bất kỳ kinh tuyến nào) được gọi là phép chiếu trụ đồng diện tích (hay phép chiếu Lambert). Truyền đạt đúng diện tích, phép chiếu Lambert làm biến dạng mạnh hình dạng ngay cả của những phần nhỏ trên bề mặt được chiếu (so sánh các elip ở hình 17 với các vòng tròn tương ứng ở hình 15): các vùng gần cực ở đây còn bị ép mạnh hơn

23

Hình 17.
so với trong phép chiếu vuông, mà từ đó phép chiếu Lambert có thể dễ dàng thu được bằng cách nén theo trục đứng. Tính thẳng của các hình ảnh kinh tuyến và vĩ tuyến là hoàn toàn hiển nhiên.

Các đường trực giao

Cho đến nay, chúng ta gần như coi là điều tự nhiên rằng đối với các thủy thủ, sự đơn giản của việc vạch hải trình trên bản đồ là quan trọng, còn quãng đường mà con tàu phải đi qua khi đó thì ít đáng quan tâm hơn nhiều. Quả vậy, vào thời tàu buồm, có lẽ tình hình đúng là như thế. Nhưng ngày nay, khi đi biển trên những quãng đường rất lớn, kéo dài không phải hàng tháng mà hàng năm, chưa nói đến những chuyến bay xa (trong đó có các chuyến bay xuyên lục địa và quốc tế), vấn đề tính ngắn nhất của quỹ đạo trở nên có tầm quan trọng hàng đầu.

Có thể chứng minh (điều mà ở đây chúng ta sẽ không thử làm) rằng trên bề mặt hình cầu, đường ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ của nó (hay, như người ta thường nói trong toán học, đường trắc địa) là cung nhỏ của đường tròn lớn đi qua hai điểm ấy. (Đối với hai điểm đối diện qua đường kính của mặt cầu, hai cung của đường tròn lớn đi qua chúng bằng nhau, và

24

có thể có sự chênh lệch giữa đường loxodrom và đường trực giao. Dĩ nhiên, trong các chuyến bay dài, sự khác biệt có thể lớn hơn cả khi hành trình diễn ra ở các vĩ độ ôn đới; chẳng hạn, đường theo loxodrom từ Moskva đến New York dài 8500 km, còn theo trực giao — 7500 km.

Phép chiếu gnomonic

Phép chiếu trong đó các đường chính hướng được biểu diễn bằng các đường thẳng, thu được bằng phép chiếu tâm từ tâm của hình cầu Trái Đất: khi đó mọi tia hướng tới các điểm của đường chính hướng (như ta đã thấy, là một vòng tròn lớn) đều nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng này cắt theo một đường thẳng với bất kỳ mặt phẳng chiếu nào. Lưới kinh tuyến và vĩ tuyến có dạng đơn giản nhất trong phép chiếu được gọi là gnomonic này (hình 19), nếu mặt phẳng chiếu tiếp xúc với quả địa cầu được chiếu lên nó tại cực. (Gnomon là kim của đồng hồ mặt trời; nếu đặt nó trên mặt phẳng chiếu và coi bán kính Trái Đất là gnomon, thì hình chiếu của tia chiếu quả thật sẽ hiện ra trước mắt ta như bóng của gnomon ấy.)

Dễ chứng minh (hãy tự làm điều đó) rằng các kinh tuyến được biểu diễn trong phép chiếu gnomonic dạng này bằng các đường thẳng, còn các vĩ tuyến — bằng các đường tròn đồng tâm. Trên hình 19 (nơi vì những lý do dễ hiểu không có hình ảnh của màn chiếu: nó «đã đi ra vô cực») rất dễ thấy dạng xoắn ốc của đường loxodrome ở vùng lân cận cực trong phép chiếu gnomonic.

Đối với các chuyến đi biển và đi bằng đường không trên những khoảng cách lớn

25

các phép chiếu gnomonic rất thuận tiện. Tất nhiên, không thể biểu diễn toàn bộ bề mặt Trái Đất trên một bản đồ như vậy, vì thế phải chọn các mặt phẳng chiếu khác nhau, mà hình dạng của lưới tọa độ được biểu diễn trên chúng cũng phụ thuộc vào vị trí của các mặt phẳng ấy. Trên các hình 20, a và 20, b biểu diễn các phép chiếu gnomonic mà mặt phẳng tranh tiếp xúc với quả địa cầu không phải tại cực.

Bài toán. Giả sử bản đồ khu vực được biểu diễn bằng phép chiếu một vùng cho trước có dạng một «mũ» bán kính khoảng 100 km lên mặt phẳng tiếp xúc với «mũ» tại tâm ($R_{\text{земли}} \approx 6000$ km). Hãy tìm độ chính xác của sự biểu diễn, tức là xác định các đoạn nhỏ của kinh tuyến và vĩ tuyến, vẽ tại bất kỳ điểm nào của «mũ», bị biến dạng bao nhiêu phần trăm:

a) trong phép chiếu gnomonic (phép chiếu tâm từ tâm Trái Đất);
b) trong phép chiếu trực giao (phép chiếu song song theo phương vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc đã cho). Xem hình 21, a, b.

Thay lời kết
Đến đây là toàn bộ câu chuyện về những nguyên tắc cơ bản và các phương pháp cụ thể biểu diễn bề mặt Trái Đất trên bản đồ. Với người muốn làm quen sâu hơn, chi tiết hơn và có hệ thống hơn với khoa học về «chân dung của Trái Đất» — bản đồ học — trước hết chúng tôi khuyên nên xem kỹ một tập bản đồ lớn nào đó, đặc biệt chú ý đến sự khác biệt giữa các phép chiếu được dùng trong đó, và thử tự mình hiểu rõ (có lẽ với sự giúp đỡ của những lời giải thích khá ngắn thường được đưa trong các tập bản đồ) nguyên nhân của sự khác biệt ấy. Đúng là khi đó, có thể bạn sẽ thu được không phải nhiều câu trả lời bằng những câu hỏi mới. Nhưng như vậy càng tốt!

Bạn sẽ tìm thấy sự trình bày có hệ thống (nhưng rất cô đọng và vì thế khó hơn đáng kể so với trong bài này) về vấn đề này trong bài «Các phép chiếu bản đồ» của ấn bản mới nhất Đại Bách khoa toàn thư Xô viết. Trong bài «Bản đồ địa lý», cũng được đăng ở đó và rất phong phú về tư liệu lịch sử, bạn sẽ tìm thấy những chỉ dẫn thêm về tài liệu tham khảo.