Lời tựa cho bài viết của V. G. Boltyansky và N. Kh. Rozov

2

Lý thuyết nhận thức
của Lênin
và các khái niệm toán học

V. G. Boltyansky,
N. Kh. Rozov

Ngay từ các lớp trung học cơ sở, sự độc đáo của toán học so với, chẳng hạn, vật lý đã trở nên rõ ràng. Mọi định luật vật lý đều đúng với một mức độ chính xác nhất định và thường với sự tiến bộ của kỹ thuật đo lường, chúng được thay thế bằng những định luật mới, so với chúng các định luật trước chỉ trở thành phép xấp xỉ đầu tiên. Không có ý nghĩa gì khi tự hỏi chiều dài của một thanh là hữu tỉ hay irrational. Đối với thực tiễn được hiểu theo nghĩa hẹp, các số irrational không cần thiết. Còn trong toán học, định lý rằng đường chéo của hình vuông không cùng đơn vị đo với cạnh được coi là rất quan trọng. Việc phát hiện ra sự thật này ở Hy Lạp cổ đại được coi là một trong những bước ngoặt trong toàn bộ sự phát triển của toán học.

Bài viết được công bố của V. G. Boltyansky và N. Kh. Rozov chứa một nỗ lực trình bày phổ biến sự độc đáo của toán học từ quan điểm của triết học chủ nghĩa duy vật biện chứng. Có lẽ một số bạn sẽ có thể đọc được những phần dành cho các vấn đề này trong bài viết của tôi «Matematika» ở tập 26 của lần xuất bản thứ hai «Bách khoa toàn thư Xô viết lớn».

V. I. Lênin, như các bạn biết từ bài viết của I. K. Kikon («Квант» № 4), đã đưa ra một phân tích chi tiết về những vấn đề triết học cơ bản của vật lý. Lênin không nghiên cứu riêng các vấn đề triết học của toán học. Nhưng những phát biểu chung của ông về các vấn đề của lý thuyết nhận thức cũng là sự chỉ dẫn cho các nhà toán học.

A. N. Kolmogorov

3

Nhận thức hiện thực khách quan xung quanh chúng ta, các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội luôn là và vẫn là một bộ phận cấu thành không thể tách rời của hoạt động con người, là mục tiêu và nhiệm vụ của sự phát triển khoa học. Còn việc nghiên cứu quá trình nhận thức phức tạp và đa diện, việc phát hiện các quy luật khách quan của quá trình hình thành và phát triển những tri thức của con người về thế giới vật chất thuộc về lý thuyết nhận thức — một trong những bộ phận của khoa học triết học.

Trong quá trình phát triển sáng tạo lý thuyết nhận thức duy vật biện chứng, V. I. Lênin đã làm phong phú nó bằng những luận điểm mới, có tính nền tảng, với chiều sâu và sự sáng rõ đặc biệt đã xây dựng một phạm vi vô cùng rộng lớn các vấn đề liên quan đến nó. Điều này cho phép chúng ta hoàn toàn có cơ sở nói về lý thuyết nhận thức của Lênin — một trong những bộ phận của khoa học triết học.

Thế giới vật chất bao quanh chúng ta, sự vận động và phát triển của nó tuân theo những quy luật khách quan tồn tại không phụ thuộc vào con người. Các thuộc tính và những mối liên hệ lẫn nhau của thế giới vật chất khách quan được con người trực tiếp hoặc gián tiếp tiếp nhận bằng các cơ quan cảm giác của mình, được phản ánh trong ý thức con người. Sự quan sát sinh động, mối liên hệ cảm tính trực tiếp của con người với hiện thực khách quan trong quá trình hoạt động thực tiễn, là điểm xuất phát của nhận thức, cho phép chúng ta hình thành quan niệm về hiện thực xung quanh.

Những dữ liệu kinh nghiệm mà con người tích lũy được được tư duy trừu tượng-lôgic của họ xử lý và khái quát hóa. Chính tư duy cho phép con người, xuất phát từ các sự kiện, nhận thức được những điều không thể tiếp nhận bằng các cơ quan cảm giác, tạo khả năng đi sâu vào bản chất của các sự vật và hiện tượng, phát hiện những mối liên hệ giữa chúng, khám phá các quy luật khách quan của thế giới vật chất, tái hiện hiện thực.

Đương nhiên, nảy sinh câu hỏi liệu bức tranh do tư duy tái hiện có tương ứng với hiện thực khách quan hay không, liệu những quan niệm của chúng ta có phản ánh (và phản ánh đúng đến mức nào) tình trạng khách quan của sự vật. Chỉ trong thực tiễn, chỉ bằng cách so sánh những kết quả được mong đợi với những gì thực sự xảy ra, con người mới có thể đánh giá tính đúng đắn và giá trị của tri thức của mình. Chính thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý đối với ý tưởng, giả thuyết, lý thuyết này hay lý thuyết khác.

V. I. Lenin đã đưa ra định nghĩa tổng quát về quá trình nhận thức: «Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn — đó là con đường biện chứng của nhận thức chân lý, nhận thức hiện thực khách quan» *).

Trong thế giới xung quanh chúng ta không có sự vật nào về nguyên tắc không thể được nhận thức, không thể tiếp cận đối với lý trí con người. Tuy nhiên, sự nhận thức đầy đủ các đối tượng, hiện tượng trong toàn bộ tính hoàn chỉnh của chúng chỉ có thể đạt được bằng một tổng vô hạn các khái niệm chung, quy luật, v.v. Và việc nắm vững toàn bộ tổng thể tri thức này luôn chỉ là gần đúng, tức là sự nhận thức thế giới một cách toàn diện, nói theo ngôn ngữ toán học, chỉ có thể đạt được ở giới hạn. Ở mỗi giai đoạn của sự phát triển lịch sử, tri thức của chúng ta về hiện thực chỉ mang tính tương đối và đồng thời chứa trong mình một phần của chân lý tuyệt đối: một số mặt của sự vật và hiện tượng được các khái niệm khoa học phản ánh ít nhiều đúng đắn, đầy đủ, những mặt khác chỉ được phản ánh gần đúng hoặc thậm chí sai lầm, còn những mặt thứ ba thì nói chung vẫn chưa được biết đến.

Sự vận động, biến đổi, phát triển của thế giới vật chất diễn ra dưới những hình thức khác nhau; các sự vật và hiện tượng của hiện thực khách quan có những tính chất riêng và có những đặc trưng định lượng đa dạng.

Các ngành khoa học khác nhau nghiên cứu những đặc điểm định tính đặc thù của sự vật hoặc những mặt của hiện tượng, nghiên cứu một hoặc một số hình thức vận động có liên hệ với nhau của vật chất. Chẳng hạn, hóa sinh học xem xét các quá trình hóa học trong mối liên hệ với các cơ thể sống, địa lý học mô tả bức tranh về hành tinh của chúng ta và nghiên cứu các quy luật biến đổi nó bởi con người, lịch sử học lấy việc khám phá các quy luật phát triển của xã hội loài người trong những biểu hiện cụ thể của chúng làm đối tượng của mình, v.v.

*) V. I. Lenin. Toàn tập, tập 29, tr. 152—153.

4

Đặc điểm riêng của toán học nằm ở chỗ nó không xem xét những vật thể vật chất cụ thể, không phân tích một hình thức vận động vật chất xác định nào. «Toán học thuần túy, — F. Engels viết, — lấy làm đối tượng những hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới hiện thực…» *. Nói cách khác, toán học nghiên cứu thế giới vật chất từ một góc độ đặc biệt: đối tượng nghiên cứu của nó chính là các quan hệ định lượng (theo nghĩa triết học chung của thuật ngữ này), vốn có ở tất cả, không trừ một đối tượng nào của hiện thực, và những quan hệ này «được đặc trưng, khác với những quan hệ định tính, chỉ bởi mối quan hệ không phụ thuộc của chúng với bản chất cụ thể của những sự vật mà chúng liên kết…» **).

Tính đặc thù này của môn học quyết định khả năng ứng dụng rộng rãi của toán học trong các khoa học khác. Sự không thể tách rời về mặt nội tại của các tính chất định tính và định lượng của các sự vật hay hiện tượng trong hiện thực khách quan tạo ra những tiền đề khách quan cho việc sử dụng các phương pháp toán học trong nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng nhất của sinh học, địa chất học, ngôn ngữ học, v.v. Theo nghĩa này, K. Marx nói rằng «…khoa học chỉ đạt tới sự hoàn thiện khi nó sử dụng được toán học» ***).

*) K. Marx và F. Engels, Tuyển tập, tập 20, tr. 37.
**) A. N. Kolmogorov, Toán học, Bách khoa toàn thư Xô viết, tập 26, tr. 476.
***) Tuyển tập «Hồi ức về Marx và Engels», M., 1956, tr. 66.

Toán học được coi là một khoa học trừu tượng, và điều đó, không thể nghi ngờ, là đúng. Chính tính đặc thù của toán học — nghiên cứu các hình dạng không gian và các quan hệ định lượng — quy định tính trừu tượng đặc biệt của nó. F. Engels đã lưu ý đến điều này từ trước: «…để có thể nghiên cứu những hình dạng và quan hệ ấy ở dạng thuần túy, cần phải tách chúng khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung đó sang một bên như một cái gì không quan trọng…» *).

Nói cách khác, ở đây là việc nghiên cứu các kết quả không phải bằng kính hiển vi hay các thuốc thử hóa học, mà chỉ bằng sức mạnh của sự trừu tượng.

Mỗi sự vật hay hiện tượng của hiện thực khách quan có vô số tính chất, đặc điểm và liên hệ không thể tách rời với những sự vật và hiện tượng khác, với toàn bộ thế giới vật chất. Tư duy của chúng ta không thể cùng một lúc bao quát tất cả những tính chất ấy và toàn bộ sự đa dạng của các mối liên hệ. Vì vậy, khi tiến hành nghiên cứu khoa học, chúng ta buộc phải chỉ tập trung sự chú ý vào một hoặc một số tính chất của đối tượng được nghiên cứu, chỉ vào một số mối liên hệ của nó với các đối tượng khác. Đối với tất cả những tính chất và mối liên hệ còn lại, chúng ta không chú ý đến, tức là tách chúng ra, trừu tượng hóa khỏi chúng.

Nói cách khác, mọi nhận thức tất yếu đều gắn liền với quá trình trừu tượng hóa, với các phép trừu tượng. «Tư duy, khi đi từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không rời xa — nếu nó đúng đắn… — khỏi chân lý, mà tiến gần đến chân lý… tất cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không vô nghĩa) đều phản ánh tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn», — V. I. Lenin nhận xét **).

Sự trừu tượng cũng có điểm yếu của nó, trước hết là

*) K. Marx và F. Engels, Tuyển tập, tập 20, tr. 37.
**) V. I. Lenin. Toàn tập, tập 29, tr. 152.

6

có kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Như vậy, «ngôi nhà» thực sự tồn tại, còn «điểm vật chất» thì không.

Điều tương tự cũng có thể nói về khái niệm hình học «đoạn thẳng». Trong tự nhiên, chúng ta không quan sát được những vật thể «ở dạng thuần túy» có độ dài và «độ thẳng», nhưng «không có bề dày». Do đó, khái niệm này không nảy sinh do sự trừu tượng hóa bằng cách đồng nhất, mà là một sự lý tưởng hóa.

Sự lý tưởng hóa, về đại thể, gồm những điều sau. Đối tượng thực được thay thế trong ý thức của chúng ta bằng một mô hình trừu tượng, mô hình này có được không chỉ bằng cách bỏ qua những tính chất không tồn tại, mà còn bằng cách gán cho mô hình những tính chất được lý tưởng hóa, phản ánh ở dạng phóng đại những tính chất bản chất của đối tượng. Chẳng hạn, nếu chúng ta nghiên cứu chuyển động của một thiên thể ở cách xa chúng ta một khoảng lớn gấp nhiều lần kích thước của nó, chúng ta có thể xây dựng một mô hình phóng đại, coi thiên thể đó là một điểm vật chất. Tương tự, khái niệm «tiếp xúc» ở dạng phóng đại phản ánh khả năng các vật thể thực tế có một vị trí tương hỗ nhất định.

Rõ ràng, điều đó không có nghĩa là các khái niệm nảy sinh do kết quả của lý tưởng hóa hoàn toàn tách rời khỏi thế giới khách quan và không có ý nghĩa thực tế. Cho phép chúng ta đặc biệt sâu sắc và rõ ràng theo dõi những tính chất chủ yếu nhất của đối tượng, các khái niệm này có ý nghĩa được thừa nhận rộng rãi trong các ứng dụng thực tiễn của toán học.

Một dạng đặc biệt của trừu tượng hóa, lý tưởng hóa là trừu tượng hóa khả năng thực hiện. Nó được đặc trưng bởi việc bỏ qua những giới hạn thực tế của các khả năng kiến tạo của chúng ta, do sự hữu hạn của đời sống chúng ta trong không gian và thời gian quy định.

Hình thức trừu tượng hóa này cho phép chúng ta, chẳng hạn, suy luận về một số lớn bất kỳ (ví dụ, về số $10^{10}$) và giả định rằng chúng ta như có khả năng đi tới nó, bắt đầu từ 1, 2, 3, 4 … v. v. Rõ ràng, khả năng này chỉ thuần túy tiềm năng: toàn bộ cuộc đời chúng ta cũng không đủ cho việc đó.

Tuy nhiên, chúng ta bỏ qua tính không thể thực hiện trong thực tế của nhiệm vụ này, bỏ qua tính hữu hạn của các khả năng của mình và coi việc xét mọi số là chấp nhận được, qua đó đi đến khái niệm «dãy vô hạn các số tự nhiên».

Kết quả của việc áp dụng dạng trừu tượng hóa này còn làm nảy sinh những khái niệm như «đường thẳng» (kéo dài vô hạn về cả hai phía), «mặt phẳng» và những khái niệm khác.

Toán học hiện đại vận hành với một số lượng khổng lồ các khái niệm không thể có được như những sự trừu tượng trực tiếp, tức thời từ các tính chất của đối tượng thuộc thế giới toán học có thể tiếp cận bằng trực giác của động vật. Những khái niệm này được hình thành trong quá trình chồng lớp trừu tượng nhiều bậc.

Những khái niệm toán học ban đầu, sơ cấp nảy sinh từ hiện thực khách quan, phản ánh, thông qua sự trừu tượng hóa, các quan hệ số lượng và các dạng không gian của đối tượng trong thế giới thực. Nhưng một khi xuất hiện, những khái niệm này như thể sống cuộc sống riêng của mình, tạo nên trong ý thức con người một thế giới riêng, tự chúng tạo ra những phản ánh tiếp theo và những khái niệm trừu tượng mới. Đến lượt mình, những khái niệm trừu tượng này lại tạo ra những trừu tượng mới, có thể nói là ở cấp độ cao hơn, v. v.

Để hiểu điều vừa nói, hãy xét khái niệm «số». Số, ban đầu xuất hiện như kết quả của việc đếm các vật (trừu tượng hóa đồng nhất hóa), sau đó được khái quát thành khái niệm số tự nhiên (trừu tượng hóa khả năng thực hiện tiềm năng). Tiếp đó đưa vào khái niệm số phân số (trừu tượng hóa đồng nhất hóa).

7

nhất hóa *). Trừu tượng hóa tiếp theo — các số hữu tỉ (dương và âm), rồi đến các số thực.

Tính chất nhiều bậc của sự trừu tượng hóa ở đây thể hiện hoàn toàn rõ ràng. Tương tự như vậy, các khái niệm «số», «vectơ», «biến đổi hình học» và một loạt những trừu tượng khác (liên quan, tất nhiên, đến các dạng không gian và các quan hệ số lượng của thế giới thực) sinh ra khái niệm «nhóm», là một trừu tượng hóa ở cấp độ cao hơn.

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng tính nhiều bậc của các trừu tượng toán học, sự tồn tại của các trừu tượng ở những cấp độ khác nhau có nghĩa là toán học tách rời khỏi thế giới thực. Một điều rất thuyết phục về phương diện này là nhiều khái niệm và lý thuyết trừu tượng «tinh tế» của toán học hiện đại ngay từ bây giờ đã tìm được những ứng dụng quan trọng. Chẳng hạn, khái niệm «nhóm» và những vấn đề tinh tế của lý thuyết nhóm tìm được những ứng dụng quan trọng trong vật lý hạt cơ bản.

Đặc điểm đặc thù in dấu lên toàn bộ toán học và tạo cho các lý thuyết toán học một tính chất duy nhất.

Các nhà vật lý nghiên cứu, chẳng hạn, các quá trình khí, tức là nghiên cứu các tính chất của khí với điều kiện nhiệt độ của nó không thay đổi. Một ví dụ khác trong vật lý là nghiên cứu các chất lỏng siêu lạnh, tức là nghiên cứu các tính chất của chất với điều kiện nó có nhiệt độ nóng chảy, nhưng (do những điều kiện đặc biệt của thí nghiệm) không kết tinh mà vẫn ở trạng thái lỏng. Các định luật được phát hiện trong những điều kiện này sẽ đúng khi thực hiện những giả thuyết nhất định.

Tuy nhiên, trong vật lý, các định luật cũng chỉ có ý nghĩa khi những điều kiện, những giả thuyết tương ứng thực sự có thể thực hiện được. Thật vậy,

*) Khi phân chia một toàn thể, một đơn vị thành các phần, sau đó chúng ta đồng nhất các ký hiệu $1/3$, $2/6$, $3/9$, $4/12$ v.v., coi chúng biểu diễn cùng một số phân số.

nếu có ai đó xây dựng một «lý thuyết» về hành vi của các chất ở nhiệt độ thấp hơn độ không tuyệt đối, thì các nhà vật lý khó có thể tin nó, vì nó sử dụng một giả thuyết mâu thuẫn với những tính chất của thế giới thực mà chúng ta đã biết.

Trong toán học, vấn đề (ít nhất là về bề ngoài) lại khác. Những vật thể xung quanh chúng ta có ba chiều, nhưng các nhà toán học đã xây dựng các lý thuyết về không gian $n$-chiều (thậm chí vô hạn chiều). Chúng ta biết rằng phép nhân các số có tính giao hoán: $ab=ba$, nhưng trong toán học cũng nghiên cứu những hệ số mà trong đó $ab\neq ba$. Có thể đưa ra những ví dụ khác về các lý thuyết mâu thuẫn với «lẽ thường».

Nhưng điều đáng chú ý là những lý thuyết thoạt nhìn «điên rồ» này lại tìm được những ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu thực tại! Chỉ cần nhắc rằng, chẳng hạn, thuyết tương đối sử dụng rộng rãi không gian bốn chiều.

Ví dụ nổi bật nhất về một lý thuyết giả định có ảnh hưởng đến toàn bộ toán học là hình học Lobachevsky. N. I. Lobachevsky đã thay tiên đề của Euclid về các đường song song bằng tiên đề của mình (qua một điểm cho trước trong một mặt phẳng cho trước có thể kẻ vô số đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho), rồi trên cơ sở tiên đề này (và các tiên đề còn lại trùng với các tiên đề Euclid) xây dựng một hình học logic, chặt chẽ và hoàn chỉnh.

Phát hiện của N. I. Lobachevsky đã góp phần đáng kể vào thắng lợi hoàn toàn của phương pháp tiên đề trong việc xây dựng toán học. Bản chất của phương pháp này là tất cả các định lý đều được suy ra bằng con đường hoàn toàn logic từ một số tương đối nhỏ các mệnh đề không cần chứng minh—các tiên đề. Nói cách khác, lý thuyết toán học phát triển, được xây dựng trên giả định rằng những tiên đề nhất định, được cố định từ trước, là đúng.

Nhà toán học trong quá trình sáng tạo của mình

8

làm việc với những khái niệm trừu tượng. Trong các lập luận của mình, ông không mỗi lần đều quay về với thực tại khách quan, trực tiếp nghiên cứu không phải nó mà chính là «thế giới khái niệm» này. Để chứng minh một định lý nào đó, không cần phải mô tả và hệ thống hóa các sự kiện và hiện tượng, không cần xây dựng những thiết bị cồng kềnh và tốn kém, không cần tiến hành những thí nghiệm chính xác như đồ kim hoàn.

Nghiên cứu toán học diễn ra hoàn toàn bằng con đường tư biện, tuân theo các quy luật của logic. Trong quá trình làm việc, nhà toán học chỉ hướng tới việc tiến hành những chứng minh định lý chặt chẽ, đầy đủ về mặt logic, xây dựng những lý thuyết không mâu thuẫn.

Logic là công cụ làm việc của toán học: một mệnh đề được suy ra từ các tiền đề, tiên đề và định nghĩa theo các quy tắc logic được coi là đúng trong toán học. Nhưng «tính hiển nhiên», «sự rõ ràng», «tính thuyết phục» của các bước suy luận logic không tự nhiên mà có; tính hợp pháp của các cấu trúc logic được khẳng định qua kinh nghiệm hàng thế kỷ của hoạt động thực tiễn của con người.

Chính kinh nghiệm đó xác nhận rằng các quy luật bên trong của sự phát triển tư duy logic đồng nhất với các quy luật phát triển của hiện thực khách quan. F. Engels viết về điều này: «Trên toàn bộ tư duy lý luận của chúng ta chi phối với sức mạnh tuyệt đối một sự kiện là tư duy chủ quan của chúng ta và thế giới khách quan đều tuân theo cùng những quy luật và vì thế chúng không thể mâu thuẫn với nhau trong các kết quả của mình, mà phải phù hợp với nhau»*).

Như vậy, yêu cầu về tính chặt chẽ hình thức của toán học, tức là tính chính xác của định nghĩa, sự chứng minh đầy đủ các định lý, tính không mâu thuẫn của lý thuyết, v.v., chính là một trong những mặt biểu hiện đặc thù của tiêu chuẩn thực tiễn trong toán học.

*) К. Маркс và Ф. Энгельс, Toàn tập, tập 20, tr. 581.

Tuy nhiên, bản thân tính chặt chẽ toán học không thể hoàn toàn thay thế tiêu chuẩn thực tiễn, không phải là bảo đảm đầy đủ cho tính chân lý của tri thức toán học, tức là tính đúng đắn của việc con người phản ánh hiện thực khách quan.

Bởi vì vấn đề về sự phù hợp của các tiền đề được chấp nhận trong lý thuyết với hiện thực cũng có ý nghĩa quan trọng. Vấn đề này đã vượt ra ngoài phạm vi thẩm quyền của logic và chỉ có thể được giải quyết trong quá trình hoạt động xã hội thực tiễn (trong đó có hoạt động khoa học) của con người. Chỉ kinh nghiệm của hoạt động này mới có thể phân biệt những «lý thuyết» hoàn toàn logic, được xây dựng trên những giả thuyết và tiên đề phi thực tế, tưởng tượng, với những lý thuyết khoa học đích thực, đưa chúng ta đến gần hơn với việc nhận thức các chân lý khách quan.

Thực tiễn khoa học-lịch sử chứng tỏ rằng các khái niệm toán học ban đầu và các tiên đề mô tả chúng được lấy từ đời sống và là sự phản ánh các thuộc tính khách quan của những vật thể thực. Vì logic của các khái niệm phản ánh logic khách quan của sự vật, tức là các mối liên hệ khách quan của các đối tượng trong thế giới toán học, nên các khái niệm và lý thuyết mới được liên hệ một cách hữu cơ với thế giới thực và do đó một cách có quy luật, hoàn toàn không phải ngẫu nhiên, tìm thấy ngày càng nhiều ứng dụng mới trong hoạt động khoa học và thực tiễn của con người.

Quá trình «toán học hóa» tri thức đang diễn ra hiện nay, còn được thúc đẩy mạnh hơn bởi sự phát triển của kỹ thuật tính toán, hoàn toàn xác nhận sức mạnh của các phương pháp toán học và mối liên hệ hữu cơ của chúng với đời sống.