Kvant
Khác

Các bài toán cho lớp 5

Kvant 1970, số 7tr. 59-61Thẻ 4C7D

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5-6-mini). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

59

Trong số này của «Kvant» chúng tôi kết thúc việc công bố những bài toán thú vị nhất từ sách giáo khoa thử nghiệm mới dành cho lớp 5.

  1. Trong 8 đồng xu có một đồng giả (nhẹ hơn). Làm thế nào xác định đồng xu giả bằng hai lần cân trên cân hai đĩa không dùng quả cân?

  2. Trong 20 đồng xu có một đồng giả, khác các đồng thật về khối lượng. Bằng ba lần cân trên cân hai đĩa không dùng quả cân, hãy xác định đồng xu giả và xác định — nó nhẹ hơn hay nặng hơn các đồng thật.

  3. Tôi chỉ có chiếc đồng hồ treo tường còn lại. Tôi đi đến chỗ một người quen, đồng hồ của người đó chạy đúng, ở lại nhà người đó một thời gian rồi, khi trở về nhà, chỉnh đồng hồ của mình cho đúng. Tôi đã làm được điều đó bằng cách nào, nếu trước đó tôi không biết thời gian đi đường mất bao lâu?

  4. Để đánh số các trang của một quyển từ điển cần 6869 chữ số.

Quyển từ điển có bao nhiêu trang?

  1. Số 3⁶·5⁴ có bao nhiêu ước?

  2. Khi chia số N cho 2 thì dư 1, còn khi chia cho 3 thì dư 2. Khi chia số N cho 6 thì dư bao nhiêu?

  3. Nếu lấy 7 trừ khỏi số có ba chữ số đã nghĩ ra, thì nó chia hết cho 7; nếu lấy 8 trừ khỏi số đó, thì nó chia hết cho 8; và nếu lấy 9 trừ, thì nó chia hết cho 9. Đã nghĩ ra số nào?

  4. Chữ số nào sẽ là chữ số tận cùng của các số 66⁶⁶? 33³³? 7⁷?

  5. Chứng minh rằng số 7⁷⁷+1 không chia hết cho 5.

  6. Chứng minh rằng tổng của hai số lẻ liên tiếp bất kỳ chia hết cho 4.

  7. Một số có sáu chữ số nào đó bắt đầu bằng chữ số 7. Bỏ chữ số này đi và viết nó sang bên phải, ta được một số nhỏ hơn số ban đầu 5 lần. Tìm số ban đầu.

60

  1. Nếu chèn số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số, thì số có ba chữ số nhận được sẽ lớn hơn số ban đầu 9 lần, 7, 11 và 13.

  2. Trong một số có sáu chữ số, chữ số thứ nhất trùng với chữ số thứ tư, chữ số thứ hai trùng với chữ số thứ năm và chữ số thứ ba — với chữ số thứ sáu. Chứng minh rằng số này chia hết cho 7, 11 và 13.

  3. Vào số 43 hãy viết thêm ở bên phải và bên trái mỗi bên một chữ số sao cho số đó chia hết cho 45.

  4. Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có thể là số nguyên tố không? Còn tổng của ba số?

  5. Các học sinh A, B và C thi chạy 100 m. Khi A về đích, B còn cách A 10 m. Khi B về đích, C còn cách B 10 m. Khi A kết thúc cuộc chạy, C còn cách A bao nhiêu mét?

  6. Hãy chỉ ra rằng có thể trả bất kỳ khoản tiền nào, nếu người bán và người mua chỉ có các đồng tiền 3 kopeck và 5 kopeck.

  7. Cha giao cho con đo chiều dài sân bằng bước chân. Đó là vào mùa đông. Để kiểm tra, cha đo cùng chiều dài sân bằng bước chân của mình. Cha bắt đầu từ cùng một chỗ với con và đi cùng hướng, vì vậy trong một số trường hợp dấu chân của cha và con trùng nhau. Tổng cộng có 61 dấu chân trên tuyết. Chiều dài sân bằng bao nhiêu, nếu bước chân của con là 0,54 m, còn bước chân của cha là 0,72 m?

  8. Chứng minh các định lý:

  1. Nếu tích của ba số nguyên là số lẻ, thì tổng của chúng cũng là số lẻ;
  2. Nếu tổng của hai số nguyên là số lẻ, thì tích của chúng là số chẵn.

  1. Các cạnh của một hình hộp chữ nhật được biểu diễn bằng các số tự nhiên, còn thể tích của nó là một số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng tổng độ dài của hai cạnh không bằng nhau là số chẵn.

  2. Có thể tồn tại một hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là các số tự nhiên, còn diện tích toàn phần là số nguyên tố không?

  3. Chia 7 quả táo cho 12 người bằng nhau, không cắt bất kỳ quả táo nào thành 12 hoặc nhiều hơn số phần bằng nhau.

  4. Сократите дроби:
    37 373 73781 818 181;609 609 609205 205 205.\frac{37\ 373\ 737}{81\ 818\ 181}; \quad \frac{609\ 609\ 609}{205\ 205\ 205}.

  5. Найдите значение выражения:
    12⋅3+13⋅4+15⋅6+⋯+119⋅20.\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \frac{1}{5\cdot6} + \dots + \frac{1}{19\cdot20}.

  6. Докажите, что
    1−12+13−14+15−16+⋯+1199−1200=1101+1102+1103+⋯+1200.1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \dots + \frac{1}{200}.

  7. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на каждую из дробей 28297\frac{28}{297} и 35396\frac{35}{396} получается целые числа.

  8. Поезд проходит данное расстояние за 10 чисов. Если бы он увеличил скорость на 10 км/час, он ехал бы 8 чисов. Найдите скорость и расстояние.

  9. Автомобиль половину пути ехал со скоростью 50 км/час, а вторую половину со скоростью 30 км/час. С какой средней скоростью проехал автомобиль весь путь?

  10. От Горького до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток должен пройти теплоход от Горького до Астрахани?

  11. Я отпил 1/61/6 чашечки черного кофе и долил его молоком. Затем я выпил 1/31/3 чашечки и снова долил ее молоком. Потом я выпил полную чашечку. Чего я больше выпил кофе или молока?

  12. Повар варил суп и положил в него мало соли. Пришлось досали-

61

вать готовый суп. На следующий раз повар учел эту ошибку и в то же количество супа положил в 2 раза больше соли, чем в первый раз. Это тоже оказалось мало, но достаточно было уже вдвое меньшим количеством соли. Какую часть нужного количества соли положил повар в суп в первый раз?

  1. Сеня уплатил в кассу столовой за 3 блюда, а Саша за 2 (все блюда стоили одинаково). За столом к ним присоединился Костя, и они втроем съели эти 5 блюд. При расчете оказалось, что Костя должен уплатить товарищам 50 коп. Сколько денег из этой суммы должен получить Сеня, а сколько Саша?

  2. Передние покрышки колес автомобиля стираются через 25 000 км, а задние через 15 000 км. Когда целесообразно поменять местами покрышки, чтобы они одинаково стерлись? (Предположите, что замена передних и задних покрышек производилась один раз, хотя на практике шоферы производят эту замену чаще.)

  3. Несколько школьников завтракали вместе и должны были заплатить 1 руб. 75 коп. Оказалось, что у двоих не было при себе денег, поэтому каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 коп. больше, чем пришлось бы денег на долю каждого. Сколько школьников завтракало?

  4. Сумма трех дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями равна третьей. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби. Найдите эти дроби.

  5. Разность двух неотрицательных дробей равна 2/92/9. Числитель одной дроби больше другой в 4 раза, а знаменатель этой дроби больше другой в 3 раза. Найдите дроби.

  6. Дано несколько натуральных чисел. Каждое из них разделили на сумму всех данных чисел. Чему равна сумма всех частных?

  7. Я задумал трехзначное число. Если из цифр этого числа составить всевозможные двузначные числа и затем их сложить, то сумма равна задуманному числу. Найдите задуманное число.

  8. Мама купила яблоки для своих детей Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить яблоки между собой поровну. Ваня пришел домой первым, сосчитал яблоки, взял третью часть и ушел. Потом пришла Нина и, полагая, что пришла первой, сосчитала оставшиеся яблоки, взяла свою долю и так же ушла. Наконец, пришел Миша и взял себе третью часть оставшихся яблок. После всего этого осталось 8 яблок. Сколько яблок купила мама для детей?

  9. Hai anh em cần phải có mặt ở nhà ga đường sắt, cách nhà họ 4 km. Để không bị lỡ giờ tàu chạy, chỉ còn một khả năng — đi xe đạp. Nhưng người anh có xe đạp. Nếu đi bộ, họ sẽ đến muộn 10 phút. Tuy nhiên cả hai anh em đã đến ga cùng lúc và trước giờ tàu chạy 10 phút. Hãy cho biết họ đã đi như thế nào, nếu đi bộ chậm gấp đôi đi xe đạp và nếu hai người không thể cùng đi trên một chiếc xe đạp?

  10. Số nào có tính chất như sau: nếu cộng vào nó một số bất kỳ, sau đó lấy tích trừ đi chính số bất kỳ đó và chia hiệu nhận được cho chính số đó, thì kết quả sẽ là chính số bất kỳ đã lấy?