[习题 M61—M65; F72—F76]

38

杂志的这一部分每期都会保留。它出版物理和数学方面的问题，其中一些是相当困难的。而且，对于物理学家和数学家来说，解决这些问题并不容易。因此，如果您无法处理这个或那个任务，请不要签入。随着时间的推移，尝试将这些话带回给她。

解决问题意味着了解需要使用哪些数学装置、哪些方程（或定理）、要考虑哪些因素以及要考虑哪些因素；这意味着还要尝试确定问题中指出的现象在实践中的应用地点和方式。但已经找到了解决方案。你很满意。然而，人们不应该就此罢休。想想如何概括这个问题。

在本节的第二部分（问题本身开始发布后大约六个月），我们将考虑读者发送的信件，发布他们的解决方案。我们需要这个时间，因为准备印刷下一期需要四个多月的时间。

定期提交特别原创和成功解决方案的学童将有权与加权对应优化的获奖者平等地参与学童三权重优化领域。此外，该杂志的编辑还为最有趣的解决方案的作者设立了几个特别奖。

最后一件事。提出问题通常比解决问题更困难。这更困难，但也更有趣。尝试提出问题并将其发送给我们。我们将在量子问题书中发布其中最好的内容。

将您的解决方案和新问题发送至以下地址：Moscow，V-71，Leninsky Prospekt，15，期刊«Kvant»，“问题书«Kvant»”，数学（物理）编辑部。每个问题的解决方案（如果您在一张单独的纸上一次发送多次尝试，该页面是可读的。最后，注明您的姓氏、名字、父名以及班级和学校。只有在相应期刊出版后一个半月内收到解决方案才予以考虑。

39

图 1.

M61。两个智者玩一个新游戏，其中包括以下内容。数字 0、1、2、…、1024 被写出。第一个圣人划掉了他选择的 512 个数字，第二个圣人划掉了剩余数字中的 256 个，然后第一个圣人又划掉了另外 128 个数字，然后第二个圣人又划掉了 64 个数字，等等。在他的最后第五步中，第二个圣人划掉了一个数字。剩下两个数字，第二个数字向第一个数字支付这些数字之间的差额。您应该如何玩第一个游戏才能获得尽可能多的收益？第二个怎样才能损失尽可能少呢？如果第二个打得更好，她会付给第一个多少钱？

第三十二届莫斯科数学奥林匹克竞赛

M62。证明对于任何奇数$a$，都存在一个自然的$b$，使得$2^b - 1$可被$a$整除。

M63。是否可以用 18 块尺寸为 $1 \times 2$ 的瓷砖来布置一个正方形？

图 2.

这样就不会有一条直的“接缝”连接正方形的相对两侧并沿着瓷砖的边缘延伸吗？ （例如，像 图 1 这样的平铺排列将不起作用，因为存在“接缝”$AB$）。

A·A·基里洛夫

M64。在数据平面上有一条直线$l$和位于其一侧的两个点$P$和$Q$。在线 $l$ 上也找到点 $M$，对于这些点，可以调用三角形 $PQM$ 的高底之间的距离，直到边 $PM$ 和 $QM$。

G·A·帕拉尼克

M65。 a) 令$E, F, G$为三角形$ABC$的边$AB, BC$和$CA$上的点，其中$\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$，其中$0 < k < 1$。求直线$AF, BG$和$CE$形成的三角形面积与三角形$ABC$面积之比（图2）。

6. 将三角形切成六段直线，可以用来形成七个相等的三角形。

A·L·索弗

40

F72。为什么三月白天的长度变化比十二月快？

G·L·科姆金

F73。将玻璃管内的糖溶液擦掉。管的下端覆盖着一层薄膜，该薄膜可渗透水但不可渗透糖分子。将管浸入清水中直至糖溶解并固定在该位置。同时，管内的液位开始上升，经过足够的时间后，达到高于水面的一定高度（图3）。

如何解释汽缸内的水积聚？提升液体的能量从何而来？

F74。两个电容器串联。第一个容量为$C_1$，设计最大电压为$U_1$，第二个容量为$C_2$，设计电压为$U_2$。最大零的作用是什么

你能连接这组电容器吗？

A·R·齐伯曼

F75。面积为 $S$ 的活塞与垫圈 $C$ 铰接，沿着杠杆 $AB$ 无摩擦地滑动。杠杆长度$L$。为了使流体压力增加 $\Delta p$ (图4)，必须向杠杆 $AB$ 施加的最小力是多少？

B. B. Bukhovtsev，莫斯科国立大学物理奥林匹克竞赛，1970 年

F76。带有失重织针的重环位于垂直平面上，并且可以绕穿过中心的水平轴旋转。质点固定在其边缘的厚度中，其质量与箍本身相同。环绕其轴线摆动的周期是多少？如果：a）将主板移至月球，b）放置在可以无摩擦移动的液体中，它会发生什么变化？