莫斯科国立师范学院数学系的数学入学考试以该考试命名。六、 1970年的列宁

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入学考试
数学中 数学中
MSPI 学院
他们。列宁，1970 年
E·A·舍戈尔科夫

1969年我们系的数学笔试（报告见1970年«Kvant»第3号）有些不寻常。该州的不同寻常之处在于对莫斯科国立大学竞争性考试的一些模仿。结果，475名申请者中，有224人，即大约一半，论文写得不好，退出了进一步的“斗争”。这种交换申请人的方式似乎不适合师范学院；太多的考生最终与考官并不熟悉。

1970年，数学学院选拔委员会决定了几乎不同的道路。书面作业包括四项任务，以充分了解学生。

1. 应用三角学的立体问题。
2. 用物理或其他内容编写二次方程的任务。
3. 代数方程或不等式。
4. 三角方程。

所有任务不需要任何特殊知识或培训。但与此同时，他们假设对学校数学有透彻的了解，并且了解申请人的能力。分配了4个小时来完成书面作业。

在考核书面作业时，只有完成所有任务才给“五”； “四”——所有任务均已完成，但有轻微缺陷。例如，如果由于一组错误而未能解决第一个任务，则给出“两个”。同时，“三”的评级获得了更大的份额，并不排除申请人参与竞争。

1970年，数学系入学人数为508人，名额175个；比赛大约每个名额三人。

笔试报名的508人中，写“四”、“五”的有120人，写“三”的有233人，写“二”的有155人。
下面我们以书面作业选项为例进行分析，并指出申请人在解决该选项时常犯的典型错误。

选项

1. 圆锥体的母线长度为l，母线与底面的夹角为α。求以锐角 β 为菱形的底面外接圆锥体的原体的体积。
2. 在 n 小时内，拖拉机比马多犁地 p 公顷。如果拖拉机在 t 小时内比马快犁一公顷，那么一匹马在 n 小时内可以耕地多少赫勒，一台拖拉机在 n 小时内可以耕地多少赫勒。
3. 解决不平等问题
   $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
4. 解方程
   $$\frac{3(\cos 2x+\mathrm{ctg} 2x)}{\mathrm{ctg} 2x-\cos 2x}-2(\sin 2x+1)=0.$$

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正如您已经注意到的，在解决这个问题时，我必须解决直角三角形三次。申请人在这里也犯了错误。扎实的解直角三角形能力是成功解决大多数立体问题的先决条件。

2. 让拖拉机在 $n$ 小时内转动 $x$ ($2a$)，因此在 $\frac{n}{x}$ 小时内转动 $1$ ($2a$)。

一匹马需要$n$小时$(x-p)$（$2a$），$1$（$2a$）需要$\frac{n}{x-p}$小时。

根据问题的条件，$\frac{n}{x}$比$\frac{n}{x-p}$小$t$小时，即$\frac{n}{x} + t = \frac{n}{x-p}$（$x \neq 0, x \neq p$）。变换后我们得到方程$tx^2 - ptx - np = 0$。解决它，我们找到$x_{1,2} = \frac{pt \pm \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$。

这两个根中哪一个满足问题的条件？根据条件，$n > 0, t > 0, p > 0$，所以$\sqrt{(pt)^2 + 4ptn}$有实值。 $(pt)^2 + 4ptn > (pt)^2$，因此$\sqrt{(pt)^2 + 4ptn} > pt$。

所以根

$$x_1 = \frac{pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$

给出了问题的答案，拖拉机在 $n$ 小时内转动了多少公顷，一匹马在 $n$ 小时内转动了多少公顷

$$x - p = \frac{-pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$.

方程的第二个根是负数并且根据问题的含义消失。

在根据$\frac{n}{x}, \frac{n}{x-p}, t$编制初始方程时，一些申请人出于某种原因进行了少减多的计算，得出了方程$\frac{n}{x-p} + t = \frac{n}{x}$。

这就是不注意的结果。

当解决具有特定物理或其他内容的问题时，你应该特别小心并经常检查你的计算。正式声明必须符合实际情况。另外，应该记住，此类问题的整体解决方案不是求解已编译的方程，而是获得任务中提出的问题的答案。

3. 让我们找出 $x$ (OD3) 可接受的值范围：

$$\begin{cases} 1 + 2x \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 \end{cases}$$ 或 $$\begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x \geq -4. \end{cases}$$

因此，OD3 由条件确定

$$x \geq -\frac{1}{2}.$$ (1)

我们将原来的不等式变换如下：

$$\sqrt{1 + 2x} < 1 + \sqrt{x + 4}.$$

在标记的OD3中，最后一个不等式两边都是非负的；将它们平方我们得到

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$ (2)

不等式(2)左边为正，右边为负，左边为正。

1. $\frac{x}{2} - 2 < 0$因此

$$-\frac{1}{2} \leq x < 4.$$

对于这样的$x$值，不等式（2）负相关，左边为正。

2. $\frac{x}{2} - 2 \geq 0$ 并按条件

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$

解决第一个不等式，我们得到 $x \geq 4$。为了解决第二个不等式，我们将两边都平方（可以这样做，

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因为两边都是非负的）。
我们得到
$$x^2 - 12x < 0.$$ (3)

求解(3)，我们找到$0 < x < 12$。最后，在第二种情况下我们得到$4 \leq x < 12$。结合这两种情况，我们写出原始不等式的解：
$$-\frac{1}{2} \leq x < 12.$$

解决此类不等式时的一个典型错误是对不等式进行无争议的平方。众所周知，由此产生的不平等可能会与原来的不平等不同。因此，在求平方时，应考虑不等式的迹象，并在必要时考虑不同的情况。

4. 让我们写出以下等式：

$$\frac{3 \left( \cos 2x + \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \right)}{\cos 2x - \cos 2x} - 2 (\sin 2x + 1) = 0.$$ (1)

现在我们很容易确定 DL。事实上，在$\sin 2x = 0$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$就失去了意义，而在$\cos 2x = 0$，分数的分母为零，整个分数就失去了意义。因此，ODZ 由条件$\sin 2x \neq 0$、$\cos 2x \neq 0$ 确定。经过 $\cos 2x$ 约简并化简后，方程（1）的形式为

$$3(\sin 2x + 1) - 2(\sin 2x + 1) (1 - \sin 2x) = 0$$ (2)

（分母是集合 $1 - \sin 2x$，自 $\cos 2x \neq 0$ 起，它不会在 ODZ 中消失）。去掉括号中的公因数后，方程（2）分成两部分：

1. $1 + 2 \sin 2x = 0$;
2. $1 + \sin 2x = 0$.

求解第一个方程，我们发现

$$\sin 2x = -\frac{1}{2}; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

所有这些值都包含在 ODZ 中。

求解第二个方程，我们得到 $\sin 2x = -1$，从而得到 $\cos 2x = 0$，从而消除了 ODZ。

因此，原方程的解只是值

$$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

在求解这个方程时，很多人没有考虑ODZ，而是将值$\cos 2x = 0$，即$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$包含在解中。

有些人无法写出解决方案的一般形式。

该选项的68件作品中，3件作品被评为“五”，8件作品被评为“四”，39件作品被评为“三”，18件作品被评为“二”。

让我们注意申请人在解决其他选项中的问题时所犯的错误，以及在进行书面作业时的一般缺点。

在解决立体测量问题时，在许多情况下，绘图不成功（不清楚、脏）或根本不正确。发生这种情况是因为解决问题的人错误地想象或错误地描述了给定的图形、身体、剖面和其他元素的位置，特别是当涉及到描述或铭刻的身体时。

在许多情况下，绘图和随后的施工并没有附有必要的解释，并且没有对施工结果得出的结论给出任何理由。

绘图上的构造没有错误以及结论的证实导致解决立体问题的等级降低。

在有关编写方程的内容的问题中，有些不求和

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你能根据问题的条件创建一个方程吗？

其他人虽然正确地组成了方程并求解了它，但没有从其作为问题解决方案的适用性的角度来检查所得的根。

还有一些人，尽管他们检查了方程的根，但无法选择所需的解决方案。

在求解代数和三角方程时，它们通常被简化为包含未知数的表达式。结果，方程的根被摩擦了。在其他情况下，他们没有注意 ODZ，因此扎根。

关于口语考试的几句话。试卷包含两个问题。第一个是几何学，第二个是代数或三角学。试题的措辞几乎一字不差地重复了1970年高考大纲的措辞。

在回答票上的问题时，需要准确地证明定理或公式的推导，并准确地制定必要的定义。

除了试卷上的问题外，申请人还被要求完成额外的任务或询问类似的问题。

1. 绘制函数图：

a) $y = \lg \frac{1}{2}x$;
b) $y = -x^2 - x$;
c) $y = \frac{2}{x} - 3$;
d) $y = \sin 2x$;
e) $y = \cos \frac{x}{2}$.

2. 解方程：

a) $2^x = -1$;
b) $|2x - 3| = 1$;
c) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$;

d) $\arcsin x = x$。

3. 解决不等式：

a) $\lg \frac{1}{2}x > 0$; 6) $x^2 > 5$;
b) $\frac{6}{x - 2} < 0$;
g) $|x - 2| \ge 1$.

4. 哪个标志有数字$\sin 3,14$； $\cos \frac{9\pi}{10}$； $\sin 2$？

5. 找到$\sin \left(2\arcsin \frac{1}{3}\right)$。

6. 求函数$y = \sin 3x$的周期。

7. 构造一个穿过两个给定点的给定半径的圆。

8. 举一个两个不可通约线段的例子。

9. 三角形三条边的比例可以是1:2:3吗？

10. 证明在直角三角形中，从直角顶点引出的中线等于斜边的一半。

11. 什么条件下球可以内接于直圆柱？

12. 求立方体的对角线与其底面平面之间的角度。

申请人在以下问题上表现出的知识薄弱得多：指数概念的概括、复数、数列、无限几何级数、数学归纳法、物体的体积和表面。并非所有申请人都给出了三角函数、周长、圆面积、圆柱体和圆锥体的体积和表面积的明确定义。

以下概念不太容易理解：无理数和实数、数字的绝对大小、一致线段和不可通约线段、角度的弧度度量。

在几何学中，构造问题的解决方式是错误的。许多申请人的想象力不发达。

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那些带着不确定性进入的人解决了涉及飞机和太空施工的问题。在绝大多数申请者中尤其值得注意的是对函数概念的肤浅和不完全的熟悉。许多人很难给出函数依赖的例子；很少有人对函数的单调性和周期性特性表现出良好的理解和利用。

最后，关于极限的概念。这个最重要的概念在大多数情况下都停留在表面上。它甚至没有谈到应用限制。因此，学校数学课程中与极限概念相关的部分掌握得不够充分。

同时，值得注意的是小学生数学知识的积极方面。

对形式计算设备和三角学的掌握变得更好，他们对构建各种函数的图形更有信心，他们能够更好地理解对数，并且他们对三角学技能更加流利（与简单的年份相比）。

值得注意的是，数学口试优秀笔试和优秀答案数量较往年有所增加。令人鼓舞的是，优等生中有不少来自农村的年轻人。

总之，我们为读者提供独立练习的一种真实选项，以及一种根据考试中提供的各种选项问题汇编而成的组合版本。

选项1

1. primada 的底部有一个等腰三角形，其周长为 $2p$，底角为 $\alpha$。如果底面与底面倾斜$\beta$角，求底面的体积。

2. 两辆车沿半径为$R$的圆向一个方向匀速行驶。其中一个绕一整圈比另一个快 $t$ 秒。连续两次会议之间的时间自动等于$a$。自动确定车辆的速度。

3. 对于 $a$ 方程的真实非负值有哪些
   $$a + x - x^2 = \sqrt{a + x} + x$$
   有实数非负根吗？找到这些根源。

4. 解方程
   $$(1 + \sin 2x)(\cos x - \sin x) = 1 - 2\sin^2 x.$$
   方案2（预制）

5. 球内接于直角三角形。在这个三角形中，从直角顶点到斜边的垂线的长度为$h$，并与其中一条腿形成角度$\alpha$。求底漆的体积。

6. 从两块铜含量不同的合金中切下一块重量相同的块，重量分别为$m$ kg 和$n$ kg。每个切割件都与另一件的其余部分熔合，之后两种合金中铜的百分比变得相同。每块切下来的东西重多少？

7. 解决不平等问题
   $$\log_{0.5}x + \sqrt{1 - 4(\log_{0.5}x)^2} < 1.$$

8. 解方程
   $$\frac{\cos x}{\text{ctg}^2 \frac{x}{2} - \text{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{8} \left(1 - \frac{2 \text{ctg} x}{1 + \text{ctg}^2 x}\right).$$