Вступительные экзамены по математике на математическом факультете МГПИ им. В. И. Ленина в 1970 году

45

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ
ПО MATЕМАТИКЕ НА MATЕМАТИЧЕСКОМ
ФАКУЛЬТЕТЕ МГПИ
им. В. И. ЛЕНИНА В 1970 году
Е. А. Шегольков

Письменный экзамен по математике на нашем факультете в 1969 году (отчет о нем можно прочитать в «Кванте» № 3 за 1970 г.) был несколько необычным. Необычность состояния в некотором подражании конкурсным экзаменам на механите МГУ. В результате из 475 поступивших 224, то есть около половины, написали работу на двойку и выбыли из дальнейшей «борьбы». Такой способ обмена абитурентов представляется не волне подходящим для педагогического института, слишком много кандидатов оказалось вне личного знакомства с экзаменаторами.

В 1970 году приемная комиссия математического факультета решила почти по другим пути. В письменную работу были включены четыре задания хорошего знакомье школьника.

1. Стереометрическая задача с приложением тригонометрии.
2. Задча на составление квадратного уравнения с физическим или другим содержанием.
3. Алгебраические уравнения или неравенство.
4. Тригонометрическое уравнение.

Все задания не требовали каких-либо особых знаний или наренированности. Но в то же время они предполагали основательные знания школьной математики и известные способности у абитурентов. На выполнение письменной работы отводилось 4 часа.

При оценке письменных работ «пять» ставилось, лишь если все задания были решены; «четыре» — если все задания были решены, но с несущественными недочетами. «Два» ставилось, например, если первые задания не были решены из-за группы ошибок. При этом оценка «три» приобрела больший удельный вес и невыбавала абитурента из участия в конкурсе.

В 1970 году на математический факультет поступало 508 человек, а мест было 175, конкурс — около трех человек на место.

Из 508 абитурентов, письменную работу, 120 написали ее «четыре» и «пять», 233 на «три» и 155 на «два».
В качестве примера ниже мы разберем вариант письменной работы и указываем на типичные ошибки, допущенные абитурентами при его решении.

Вариант

1. Длина, образующей конуса равна l, угол образующей с плоскостью основания равен α. Найти объем описанной около конуса примиды, основанием которого служит ромб с острым углом β.
2. За n часов трактор вспахивает на p гекторов больше лошади. Сколько гекторов вспахает за n часов лошадь и сколько гекторов вспахает за n часов трактор, если трактор вспахивает один гектор на t часов скорее лошади.
3. Решить неравенство
   $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
4. Решить уравнение
   $$\frac{3(\cos 2x+\mathrm{ctg} 2x)}{\mathrm{ctg} 2x-\cos 2x}-2(\sin 2x+1)=0.$$

47

Как вы уже заметили, при решении этой задачи трижды пришлось решать прямогольные треугольники. Поступающие и здесь допускали ошибки. Твердое умение решать прямогольные треугольники является непреемным условием успешного решения большинства стереометрических задач.

2. Пусть трактор вращивает за $n$ часов $x$ ($2a$), следовательно, $1$ ($2a$) за $\frac{n}{x}$ часов.

Лошадь вращивает за $n$ часов $(x-p)$ ($2a$), а $1$ ($2a$) за $\frac{n}{x-p}$ часов.

По условию задачи $\frac{n}{x}$ меньше $\frac{n}{x-p}$ на $t$ часов, то есть $\frac{n}{x} + t = \frac{n}{x-p}$ ($x \neq 0, x \neq p$). После преобразования получаем уравнение $tx^2 - ptx - np = 0$. Решая его, находим $x_{1,2} = \frac{pt \pm \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$.

Какой из этих двух корней удовлетворяет условию задачи? По условию $n > 0, t > 0, p > 0$, поэтому $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn}$ имеет действительное значение. $(pt)^2 + 4ptn > (pt)^2$ и, следовательно, $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn} > pt$.

Таким образом, корень

$$x_1 = \frac{pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$

дает ответ на вопрос задачи, именно столко гектаров вращет трактор за $n$ часов, а лошадь вращет за $n$ часов

$$x - p = \frac{-pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$.

Второй корень уравнения отрицательен и отпадает по смыслу задачи.

При составлении исходного уравнения из величины $\frac{n}{x}, \frac{n}{x-p}, t$ некоторые из поступающих почему-то вычитали из меньше больше и положили уравнение $\frac{n}{x-p} + t = \frac{n}{x}$.

Это результат ненимателовости.

При решении задачи с конкретным физическим или другим содержанием следует быть особенно внимательным и все время проверять свои расчетения. Формальные выкладки должны соответствовать действительному положению вещей. Кроме того, следует помнить, что целое решение такого рода задача является не решение составленного уравнения, а получение ответа на поставленный в задание вопрос.

3. Найдем область допустимых значений для $x$ (ОД3):

$$\begin{cases} 1 + 2x \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 \end{cases}$$ или $$\begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x \geq -4. \end{cases}$$

Следовательно, ОД3 определяется условием

$$x \geq -\frac{1}{2}.$$ (1)

Преобразуем исходное неравенство так:

$$\sqrt{1 + 2x} < 1 + \sqrt{x + 4}.$$

В отмеченной ОД3 обе части последнего неравенства неотрицательны; возведя их в квадрат получим

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$ (2)

Левая часть неравенства (2) положительная, а правая часть отрицательна, а левая положительная.

1. $\frac{x}{2} - 2 < 0$, следовательно,

$$-\frac{1}{2} \leq x < 4.$$

При таких значениях $x$ неравенство (2) зависит отрицательна, а левая положительная.

2. $\frac{x}{2} - 2 \geq 0$ и по условию

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$

Решая первое из этих неравенств, получим $x \geq 4$. Для решения второго неравенства, возведем обе части в квадрат (телер это можно сделать,

48

так как обе части неотрицательны).
Получим
$$x^2 - 12x < 0.$$ (3)

Решая (3), находим $0 < x < 12$. Окончательно во втором случае получаем $4 \leq x < 12$. Объединия оба случая, запишем решения исходного неравенства:
$$-\frac{1}{2} \leq x < 12.$$

Типичной ошибкой при решении подобных неравенств является бесконтропное возведение в квадрат обихаче нервенства. Известно, что полученное при этом неравенство может оказаться неравносильным первоначальному. Поэтому при возведении в квадрат следует учитывать знаки обихаче неравенства и при необходимости расматривать различные случаи.

4. Запишем уравнение следующего:

$$\frac{3 \left( \cos 2x + \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \right)}{\cos 2x - \cos 2x} - 2 (\sin 2x + 1) = 0.$$ (1)

Тепер нам легко определить ОДЗ. В самом деле, при $\sin 2x = 0$ теряет смысл $\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$, а при $\cos 2x = 0$ знаменатель дроби равен нулю и все дробь теряет смысл. Следовательно, ОДЗ определяется условиями $\sin 2x \neq 0$, $\cos 2x \neq 0$. После сокращения на $\cos 2x$ и упрощения уравнения (1) примет вид

$$3(\sin 2x + 1) - 2(\sin 2x + 1) (1 - \sin 2x) = 0$$ (2)

(в знаменатель был множество $1 - \sin 2x$, который не обращается в нуль в ОДЗ, поскольку $\cos 2x \neq 0$). После вынесения за скобку общего множителя уравнения (2) распадается на два:

1. $1 + 2 \sin 2x = 0$;
2. $1 + \sin 2x = 0$.

Решая первое уравнение, находим

$$\sin 2x = -\frac{1}{2}; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Все эти значения содержатся в ОДЗ.

Решая второе уравнение, получаем $\sin 2x = -1$, откуда $\cos 2x = 0$, что исключает ОДЗ.

Итак, решениями исходного уравнения являются лишь значения

$$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Многие поступавшие при решении данного уравнения не учитывали ОДЗ и причисляли к решении значения $\cos 2x = 0$, то есть $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Некоторые не смогли записать общий вид решения.

Из 68 работ этого варианта 3 работы оценены на «пять», 8 работы — на «четыре», 39 работы — на «три» и 18 работы — на «два».

Отметим ошибки, которые допускали абитриенты при решении задач в других вариантах, а также общие недостатки при выполнении письменной работы.

При решении stereometрической задачи во многих случаях чертежки были неудачными (неясными, грязными) или просто неверными. Происходило это оттого, что решающий задачу неправильно представлялся или неправильно изображал положение данной фигуры, тела, сечения и других элементов, особенно когда шла об описанных или вписанных телах.

Чертеж и последующее построение во многих случаях не сопровождались необходимыми пояснениями, не давалось обоснования выводов, получаемых в результате построения.

Отсутствие погрешений к построениям на чертежке и обосновании выводов влекло за собой снижение оценки за решение stereometрической задачи.

В задаче с содержанием на составление уравнения неокторые не сумме

49

ли по условиям задачи составить уравнение.

Другие, правильно составив уравнение и решив его, не исследовали полученные корни с точки зрения пригодности их в качестве решения задачи.

Третьи, хотя и исследовали полученные корни уравнения, но не смогли выбрать нужное решение.

При решении алгебраических и trigonometрических уравнений часто сокращали на выражение, содержащие неизвестные. В результате терли корни уравнения. В других случаях не обращали внимание на ОДЗ и из-за этого получили построение корни.

Несколько слов об устном экзамене. Экзаменационные билеты содержали два вопроса. Первый по геометрии, второй по алгебре или trigonometрии. Формулировки экзаменационных вопросов почти дословно повторяли формулировки программы вступительных экзаменов вузы 1970 года.

При ответах на вопросы билета требовалось даать аккуратное доказательство теоремы или вывод формулы, точно формулировать необходимые определения.

Кроме вопросов экзаменационного билета, абитриенту задавались дополнительные задания или задавались примерно такие вопросы.

1. Построить график функции:

a) $y = \lg \frac{1}{2}x$;
b) $y = -x^2 - x$;
c) $y = \frac{2}{x} - 3$;
d) $y = \sin 2x$;
e) $y = \cos \frac{x}{2}$.

2. Решить уравнение:

a) $2^x = -1$;
b) $|2x - 3| = 1$;
c) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$;

г) $\arcsin x = x$.

3. Решить неравенство:

a) $\lg \frac{1}{2}x > 0$; 6) $x^2 > 5$;
b) $\frac{6}{x - 2} < 0$;
g) $|x - 2| \ge 1$.

4. Какой знак имеет числа $\sin 3,14$; $\cos \frac{9\pi}{10}$; $\sin 2$?

5. Найти $\sin \left(2\arcsin \frac{1}{3}\right)$.

6. Найти период функции $y = \sin 3x$.

7. Построить okружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

8. Привести пример двух несозмеримых отрезков.

9. Могут ли стороны треугольника относиться как 1:2:3?

10. Доказать, что в прямогольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

11. При каком условия в прямой круговой цилиндр можно вписать шар?

12. Найти угол между диагональю куба и плоскостью его основания.

Нанболее слабые знания абитриенты обнаружили по следующим вопросам: обобщение понятия о показатель степени, комплексные числа, числовые последовательности, бесконечная геометрическая прогрессия, метод математического индукции, объемы и поверхности тел. Не все абитриенты давали четкие определения trigonometрических функций, длинны okружности, площади круга, объема и поверхности цилиндра и конуса.

Недостаточно хорошего владеют понятия: irrationalное и действительное число, абсолотная величины числа,.constеримые и несозмеримые отрезки, радианная мера углов.

В геометрине неверенно решают задачи на построение. Многие абитриенты имеют недостаточно развитое воображение.

50

Поступавшие неуверенное решили задачи на построение как на плоскости, так и в пространстве. Особенно заметно у подавляющей части абитурientов неглубокое и неполное знакомство с понятем функции. Многие с трудом приводили примеры функциональных зависимостей, мало кто обнаружил хорошее понимание и использование свойств монotonности и периодичности функций.

И наконец, о понятии предела. Это важнейшее понятие увоевено в большинстве случаев поверхности. А о применении предела и говорить не приходит. Таким образом, разделы школьного курса математики, связанные с понятем предела, увоевены недостаточно.

Вместе с тем следует отметить и положительные стороны в знаниях школьников по математике.

Лучшим стало владение формально-вычислительной аппаратом вагребе и тригонометрии, утверенное стройили графики различных функций, лучше увоевли логарифмы, более свободно (по сравнению с простыми годами) обращались с тригонометрическими увоевениями.

Следует отметить, что число отлично выполненных письменных работ и отличных ответов на устном экзамене по математике возросло по сравнению с предшествующими годами. Радует также и то, что среди отличичков много молодежи из сельской местности.

В заключение предлагаем читательям для самостоятельного упражнения один подлинный вариант, и один сборный, составленный из задач различных вариантов, предлагавшихся на экзаменах.

Вариант 1

1. В основании примеды лежит равно-бедренный треугольник с перimetром $2p$ и углом $\alpha$ при основании. Определить объем примеды, если боковые грани ее наклонены к плоскости основания под углом $\beta$.

2. По окружности радиуса $R$ равномерно в одном направлении движется два автомобилья. Один из них делает полный круг на $t$ секунд быстрее второго. Время между двумя последовательными встречи автоматически равно $a$. Определить скорость обиха автоматически.

3. При каких действительных неотрицательных значениях $a$ уравнение
   $$a + x - x^2 = \sqrt{a + x} + x$$
   имеет действительные неотрицательные корни? Найти эти корни.

4. Решить уравнение
   $$(1 + \sin 2x)(\cos x - \sin x) = 1 - 2\sin^2 x.$$
   Вариант 2 (сборный)

5. Шар вписан в прямую прямую треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенуза, имеет длину $h$ и составляет с одним из катетов угол $\alpha$. Найти объем примеды.

6. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих соответствию $m$ кГ и $n$ кГ, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обиха сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?

7. Решить неравенство
   $$\log_{0.5}x + \sqrt{1 - 4(\log_{0.5}x)^2} < 1.$$

8. Решить уравнение
   $$\frac{\cos x}{\text{ctg}^2 \frac{x}{2} - \text{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{8} \left(1 - \frac{2 \text{ctg} x}{1 + \text{ctg}^2 x}\right).$$