Метод подстановки при решении уравнений и систем уравнений

43

неный, содержащих радиkalы второй степени!): составим разность подкопенных выражений радиkalов, расположенных слева, и получим, что $(t+3) - t=3$.

Тепер эту разность разложим на множители (при помощи формулы для разности квадратов) и найдем, что $(\sqrt{t+3} + \sqrt{t})(\sqrt{t+3} - \sqrt{t}) = 3$.

Отсюда делением на первоначальное уравнение (относительно $t$) получаем, что

$$\sqrt{t+3} - \sqrt{t} = \frac{3}{\sqrt{2t+7}}.$$

Вычитанием из первоначального уравнения того, что мы сейчас получили, обнаруживаем, что

$$2\sqrt{t} = \sqrt{2t+7} - \frac{3}{\sqrt{2t+7}},$$

$$2\sqrt{t} = \frac{2t+4}{\sqrt{2t+7}}, \sqrt{t} = \frac{t+2}{\sqrt{2t+7}}.$$

Процедура, которую мы сейчас провели, позволяет освобождаться от радиkalов посредством только одного возвления частей уравнения в квадрат. Проделаем это:

$$t = \frac{t^2+4t+4}{2t+7}, t^2+3t-4=0.$$

Отсюда $t_1=1, t_2=-4$. Далее заметим, что нас интересют только положительные значения $t$, поскольку $t = x^2+x+1 > 0$

для всех значений $x$. Отбрасываем поэтому непригодный корень $t_2$ и получаем для отыскания $x$ одно квадратное уравнение

$$x^2+x+1=1, \quad x^2+x=0$$

с корнями $x_1=-1$ и $x_2=0$. Как нетрудно проверить, оба они являются корнями данного irrationalного уравнения.

Пример 5. Решить систему уравнения

$$\begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 40, \\ \frac{y^3}{x} + xy = 10. \end{cases}$$

(Ограничиться отисканием действительных решений).

Решение системы уравнения учащимися практикуется значительное решение. Вместе с тем и в этих случаях он сплошь и рядом оказывается весма эффективным. Прежде, чем присутствить к решению предложенной системы, я позволю себе высказать некоторые общие сообщения по поводу метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя исключениями величинами. Если эти последние обозначены буквами $x$ и $y$, то часто бывают полезным перейти к новым величинами $\rho$ и $\varphi$ в соответствии со следующими равенствами:

$$x = \rho \cos \varphi,$$

$$y = \rho \sin \varphi.$$

Читатель, достаточно хорошо знакомый с методом координат на плоскости, почти, что если $x$ и $y$ служат декартовыми координатами некоторой точки, то $\rho$ и $\varphi$ являются так называемыми полярными координатами той же точки. Геометрический смысл полярных координат и их связь с декартовыми станет ясным из рисунка, который мы всем рекомендуем сейчас вНИМАТЕЛЬно рассмотреть:

44

Замечаем, что начало координат $O$ имеет $\rho=0$, а угол $\varphi$ для него определяемого значения не имеет. Все остальные точки плоскости будут сабжены единственной парой полярных координат ($\rho, \varphi$), если потребовать, чтобы было

$$0 \leqslant \rho < +\infty,$$
$$0 \leqslant \varphi < 2\pi.$$

Используем равенства (!) для решения данной системы уравнения, для чего вместо $x$ и $y$ в области уравнения системы подставим их выражения через $\rho$ и $\varphi$; получим, что

$$\begin{cases} \frac{\rho^3 \cos^3 \varphi}{\rho \sin \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 40, \\ \frac{\rho^3 \sin^3 \varphi}{\rho \cos \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 10. \end{cases}$$

или после обработки, что

$$\begin{cases} \rho^2 \text{ctg} \varphi = 40, \\ \rho^2 \text{tg} \varphi = 10. \end{cases}$$

Делением первого уравнения на второе найдем, что

$$\text{ctg}^2 \varphi = 4.$$

Отсюда $\text{ctg} \varphi = 2$ или $\text{ctg} \varphi = -2$. Второе (отрицательное) значение $\text{ctg} \varphi$ немедленно отбрасывается, так как у нас $\text{ctg} \varphi$ и $\rho^2$ имеют одинаковые значки, а $\rho^2$ не может быть отрицательным. Тепер по известному котангенсу надо найти сину и косину угла $\varphi$. Следам это без слов:

$$\cos^2 \varphi = 1 + \text{ctg}^2 \varphi = 5,$$
$$\cos \varphi = \sqrt{5},$$
$$\cos \varphi = -\sqrt{5},$$

$$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{5}},$$
$$\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \varphi = -\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Далее найдем $\rho$ из того, что

$$\rho^2 \text{ctg} \varphi = \rho^2 \cdot 2 = 40, \quad \rho^2 = 20.$$

Получаем, что $\rho = 2\sqrt{5}$. При помощи равенств (!) по известным $\rho$ и $\varphi$ в качестве решения данной системы уравнения найдем следующее две пары чисел:

$$x_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4,$$
$$y_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2;$$
$$x_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -4,$$
$$y_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -2.$$

Неверно считать, что данную систему можно решить только при помощи перехода к полярным координатам (ее можно решить, например, еще и так: перенести $xy$ из левых частей уравнения в правые, затем результаты переможить и получить квадратное уравнение относительно $xy$; дальнейшее очевидно). Между тем этот прием следует взять на вооружение. Он позволяет в известном смысле регламентировать наши преобразования и дает возможность пользоваться всем аппаратом тригонометрии. В каких случаях выгодно пользоваться этим приемом, а в каких нет? Ответить на этот вопрос помогает вашлий опыт, обогатить который можно собственным трудом!

Пока до вступительных экзаменов есть время — действуйте!