Коротко об экспоненте

КОРОТКО ОБ ЭКСПОНЕНТЕ

Очень часто мы встречаемся с величинами, изменениями которых пропорциональными самим этим величины. Например, изменение числа бактерии в колонии (в постояных условиях) пропорционально их численности. Изменение атмосферного давления с высотой пропорционально величины давления. Число распадающихся в единицу времени atomов радиоактивного вещества пропорционально числу atomов в образце. Прирост населения на земле пропорционален численности населения и т. д. Математически все величины, которые изменяются подобным образом, выражаются функцией, которая обладает следующим важным свойством: тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс в каждой точке пропорционален значению функции в этой точке. (см. рисунок.)

Таким свойством обладает показательная функция $y=a^x$.

Особенно важное значение имеет частный случай этой функции, когда $a=e$:

$$y=e^x.$$

Эта функция носит специальное название — экспоненто.

Число $e$ — irrationalное число, равное 2,718…

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Из всех показательных функций ее выделяет то, что тангенс угла наклона касательной к графику экспоненты в любой точке не пропорционален, а равен значению функции в этой точке. Для тех, кто знает что такое произвольная, скажем еще и так: произвольная функция $e^x$ равна $e^x$. С экспоненточным читателем нашего журнала придется встречаться очень часто.

Вот некоторые ее свойства:

1. $e^{x_1}+e^{x_2}=e^{x_1}\cdot e^{x_2}$
2. Если $x_1<x_2$, то $e^{x_1}<e^{x_2}$.
3. При малых $x$ $e^x\approx 1+x$.

Подробная статья об экспоненте будет помещена в одном из номеров «Кванта».