Вращательное движение тел

Квант 1971, №1 с. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12 Тег 25PD

Хорошо известно, что всякое тело может совершать два вида движения — поступательное и врачаательное. Первое из них достаточно подробно изучается в школьном курсе физики. А вот врачаательному движению «не повезло», Из-за недостатка времени ему уделяется очень мало внимания. Между тем врачаательное движение встречается и в природа и в технике ничего не реже поступательного. Во многих случаях реализное движение тел представляют собой комбинации обих видов движений. В других случаях поступательное движение или даже покоящесе тела имеют врачающийся детали. Сюда относится прежнее всего все устройства, имеющие колеса, — от тачки и телегги до самолета и вертолета. А попробyte найти станок, в котором бы что-нибудь не врачаLOBСЬ! Такой распространенный прибор, как часы, можно сказать, «битком набит» врачающийся сцепленными друг с другом колесками.

Вращательное движение не редкость и в природа. Достаточно вспомнить о сложных врачаательных движениях планет, их спутников, о врачаении Солнца и, вероятно, других звезд. Заметим кстати, что в применении к планетам слово «вращение» употребляется по отношению к двум различным видам их движений. Говорят, например, что Земля врачается вокруг Солнца, но говорят также о врачиении Земли вокруг своей оси. Что же, это одинаковые движения? Можно ли сказать, что оба они вызываются одними и теми же принципами? Известно, что Земля потому движется вокруг Солнца по траектории, близкой к окружности, что на нее действует сила притяжения к Солнцу. Но можно ли сказать, что эта же или подобная ей сила заставляет Землю совершать и врачащие вокруг оси? Очевидно, что нет. В действительности движения Земли как раз можно рассматривать как комбинация поступательного и врачаального движения — поступательного движения вокруг Солнца и врачаального движения вокруг оси, проходящей через оба земных полюса.

В этой статье расссказывается о врачаальном движении тел, о том, что отличает его от движения поступательного, и о том, чем оно на него похожит.

Кinematika врачаательного движения

Прежде всего наполним читателем то, что им уже известно о врачаательном движении из школьного курса физики. Начнем с определения.

Вращательным движением тела называется макое его движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой — оси врачиения.

Если ось врачиния закреплена, то тело, как целое, не перемещается, и единственное что изменяется со временем — это угол поворота, который здесь играет такую же роль, какую играет перемещение какой-нибудь точки тела при его поступательном движении.

При повороте тела на угол ф каждой его точка проходит определеннуюдугу окружности. Если обозначить длину дуги через S, то между значениями S и ф существует простое соотношение

$S = \varphi r,$

где $r$ — расстояние точки от оси врашения. Точки, расположенные на разных расстояниях $r$ от оси врашения, описывают различные по длине дуг, но угол $\varphi$ один и тот же для всего тела.

Задача механики врашательного движения состоит в том, чтобы уметЬ определенную угол поворота тела в любой момент времени, если известен начальный угол поворота. Для этого нужно знать быстрое изменение угла поворота, то есть уеловую скорость, которое принято обозначать буквой $\omega$ . Для тела, врашающегося с постоянной угловой скоростью,

$\omega = \frac{\varphi - \varphi_0}{t},$

где $\varphi - \varphi_0$ — изменение угла поворота за промежуток времени в $t$ секунд.

Если угловая скорость постоянна, то значение угла поворота в любой момент времени легко находится:

$\varphi = \varphi_0 + \omega t;$

если начальный угол поворота $\varphi_0$ равен нулю, то

$\varphi = \omega t.$

Это выражение подобно формуле $S = vt$ для равномерного поступательного движения. Следовательно, угловая скорость при врашательном движении играет также重要作用, какую для поступательного движения играет линейная скорость $v$ .

Угловая скорость, так же как и линейная, может быть и не постоянной. Тогда, для того чтобы найти скорость в любой момент времени, нужно знать уеловое ускорение, которое подобно линейному ускорению $a$ определяется как быстрое изменение угловой скорости. При равноскореном врашении

$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t},$

где $\omega$ и $\omega_0$ — значения угловой скорости в конце и в начале промежутка времени длительного $t$ секунд.

Легко найти связь между угловыми скоростью и ускорением и их линейными «двойниками» $v$ и $a$ . Так как $\omega = \frac{\varphi}{t}$ , а $\varphi = \frac{S}{r}$ , то $\omega = \frac{S}{rt}$ .

Но $\frac{S}{t} = v$ , следовательно,

$\omega = \frac{v}{r} \text{ и } v = \omega r.$

Точно так же, поскольку $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$ , а $\omega = \frac{v}{r}$ и $\omega_0 = \frac{v_0}{r}$ , то $\alpha = \frac{v - v_0}{rt}$ . Но $\frac{v - v_0}{t}$ равно линейному ускорению $a$ , так что

$\alpha = \frac{a}{r} \text{ и } a = \alpha r.$

Таким образом, численные значения линейных величины $S$ , $v$ и $a$ для каждой точки врашающего тела равны соответствующим значением угловых величины (они относятся не к отдельным точкам, а к всему телу), умноженным на радиус $r$ врашения этой точки.

Если пользоваться величины $\varphi$ , $\omega$ и $\alpha$ , то можно решать задачи, относится к врашению тел, применяя хорsoю известные формулы кине-

Правление вектора $\vec{\alpha}$ совпадает с направлением вектора $\omega$ , если же угловая скорость уменьшается, то направления векторов $\vec{\alpha}$ и $\omega$ противоположны.

Динамика врашательного движения

Динамика поступательного движения изучает, как известно, причины появления у тел ускорений и позволяет определять их величины и направления. Динамика врашательного движения делает то же самое для углового ускорения. Если ускорение поступательного движения тела вызывается приложенной к нему силой, то причина ускорения углового ускорения тела — это момент приложенной к нему силы. С ним читатели знакомы по курсу физики 8 или 9 класса. Напомним, что численное значение момента силы относительно какой-нибудь оси равно произведению силы, приложенной к телу, на длину перpendикуляра, проведенного от оси к линии действия силы. Например, если к ободу плоского диска, изображенного на рисунке 2, приложена сила $F$ , вектор которого лежит в плоскости диска, то момент этой силы относительно оси, перpendикулярной плоскости диска и проходящей через точку $O$ , равен $Fr$ . Если бы ось проходила не через точку $O$ , а через точку $O_1$ , то момент этой же силы относительно новой оси был бы другим: он был бы равен $Fr_1$ . Если та же сила приложена так, как показано на рисунке 3, то ее момент относительно оси, проходящей через точку $O$ равен нулю, так как линяя действия силы проходит через эту точку. Такая сила не может вызывать поворот вокруг оси, не может изменить угловое ускорение. Но эта же сила способна вызывать врашление диска вокруг оси, проходящей через точку $O_1$ .

Мoment силы — тоже векторная величина. И направление вектора момента силы определяется с помощью того же выражника. А именно, направленем момент силы условились считать то, в котором движется вдоль оси буравчик (винт), если его рукойка поворачивается так, как врашалось бы тело под действием приложенной к нему силы. Например, вектор момент силы $F$ относительно оси, проходящей через точку $O$ , на рисунке 2 направлен перpendикулярно плоскости чертежа «от нас».

Как уже указалось, законы механики Ньютона справедливы и для врашательного движения. Из того, что только что было сказано о моменте силы, следует, например, что закон Ньютона в применении к врашательному движению утверждает, что тело врашается с постоянной угловой скоростью или вовсе не врашается, если момент силы, действующего на него,

было пренебречь, а шарик настолько малим по сравнению с длиной стержня, чтобы он мог считаться материалной точкой.

Теперь у нас сразу исчезнут все трудности. В формуле

$M = mr^2\alpha$

$m$ — это масса шарика, а $r$ — это расстояние от шарика до оси вращения. Так как для данного шарика и стержня ни $m$ , ни $r$ не изменяются, то произведение $mr^2$ есть величины постоянная и его можно обозначить одной буквой. Выберем для этой величины букву $I$ . Тогда формула второго закона Ньютона принимает вид

$M = I\alpha.$

Бросается в глаза сходство этой формулы с формулой

$F = ma.$

Только сила $F$ заменена моментом силы, а вместе линейногоускорения $a$ в формулу входит угловоеускорение $\alpha$ , как это и должно быть, раз печь идет не о поступательном, а о вращательном движении. Роль же массы в этой формуле играет совсем новая, необчная величина, равная произведению массы на квадрат ее расстояния до оси вращения.

Подобно тому какускорение поступательно движущегося тела зависит, помимо силы, еще и от массыускоряемого тела, так улевоеускорение врашающего тела зависит не только от момента силы, но и от величины $mr^2$ , являющейся так сказаеть, врашательным «двойником» массы. Называется эта величина моментом инерции тела относительной оси. Для врашающего движения важна, значит, не только масса. Важно еще, насоклько удалена эта масса от оси вращения. Ясно, что малая масса на большом удалении от оси вращения может получить такое же угловоеускорение при данном моменте силы, как большая масса, расположенная влизи оси.

Все это относится как будто бы к шарику, врашающемуся на тонком стержне. Но в действительности формула оказывается верной и тогда, когда врашается диск, колесо, цилиндр и вообще любое «настоящее» твердое тело, которое тоже обладает определенным моментом инерции. Чтобы момент инерции тела относительно каждой нибудь оси, нужно мысленно разбить его на множество малых частей (в пределе бесконечного малых), для каждой из них определять произведение ее массы на квадрат расстояния от этой оси и все произведения сложить. Это и будет момент инерции всего тела. Ясно, что момент инерции тела тем большие, чем большие масса тех его частей, которые расположены вдали от оси. Иными словами, момент инерции тела зависит от того, как распределена масса тела по его объему. Для различных осей момент инерции одного и того же тела будет различным. Например, момент инерции стержня длины $l$ и массы $m$ , относительно оси, перpendикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6), равен $\frac{ml^2}{12}$ . А момент инерции того же стержня-

ределенные массы тел — задача значительного более простая, чем определение ее врашательного «двойника» — момент инерции. Если масса определяется простым взвешиванием, то «взвешивание» для врашательного движения — довольно сложная операция, которая к тому же для одного и того же тела, но для разных осей врашения должна проводиться отдельно, а «весов» для такого «взвешивания» не существует.

Момент количества движения, момент имплуласа

Итак, для врашательного движения второй закон Ньютона записьается в виде $M = I\alpha$ , где $M$ — момент силы, $I$ — момент инерции и $\alpha$ — угловое ускорение тела.

No угловое ускорение выражается формулой

$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}.$

Поэтому формулу второго закон Ньютона можно записать в виде

$M = \frac{I\omega - I\omega_0}{t}.$

В таком виде формула эта означает, что момент силы равен изменению величины $I\omega$ единицу времени. Но, как, известно, второй закон Ньютона можно записать в виде

$F = \frac{mv - mv_0}{t},$

где $mv$ — величина, называемая количество движения или имплуласом тела. Ясно, что имплулыс $mv$ также имеет аналог в диамнике врашательного движения и этим аналогом является величина $I\omega$ . Это следует уже из того, что момент инерции $I$ играет при врашательном движении также роль, как масса в движении поступательном, а угловая скорость $\omega$ заменяет линейную скорость $v$ . Величина $L = I\omega$ называется поэтому момент количества движения тела или моментом имплуласа. Это тоже векторная величина (так же, как и $\omega$ , $F$ , $\alpha$ , $mv$ , $M$ ), направленная так же, как вектор угловой скорости. Аналогично другим приведенным нами величины, относимся к врашательному движения, момент имплуласа различен относительно различных осей врашения.

Если тело имеет такого форму или размеры или такой радиус врашения, что можно говорить о врашении точки (например, шарик на тонком стержне, планета при ее врашении вокруг Солнца), то момент имплуласа легко связать с имплуласом. В самом деле, момент инерции $I$ равен $mr^2$ , а угловая скорость $\omega$ равна $\frac{v}{r}$ . Поэтому

$L = I\omega = \frac{mr^2v}{r} = rmv.$

Момент имплуласа точки, следовательно, равен по величины произведению радиуса $r$ окружности, по которой движения точка, на имплулес $mv$ . Понятно, что для тела произвольной формы такое простое соответствие нельзя.

момент инерции тела относительно вертикальной оси врашения (масса рук оказывает близке к этой оси). Так как это уменшение момента инерции $I$ достигается не внешним, а внутренним силами, то момент колчества движения $I\omega$ не может измениться. Поэтому угловая скорость $\omega$ уvelичнаается во столько же раз, во сколько раз фигуристке удалось уменшить свой момент инерции. Наоборот, перед завершением врашения, когда скорость нужно уменшить, фигуристка широко рассталяет руки, уvelичная момент инерции своего тела. Таким же образом поступают танцовщицы при выполнении пруэтов, акробаты, когда они совершают салто, и т. д. Интересные опыты такого рода можно проведены с помощью так называемой скамы Жуковского. Она представляет собой платформу, которая может с малым треннем врашться вокруг вертикальной оси (рис. 9). Встав на такую врашающую платформу, можно, манипулируру руками, заметно изменять угловую скорость врашения.

Сохранение момента имплульса означает сохранение не только численного значения величины $I\omega$ . Не нужно забывать, что момент имплульса — величины векторная. Поэтому сохранение момента имплульса означает также сохранение его направления. Но момент имплульса направлен, как мы знаем, вдоль оси врашения. Поэтому всякое врашающее тело, на которое не действуют внешние моменты сил, не может изменить и положение оси врашения. В этом «секрет» устойчивости катящегося колеса, волчков и т. д. Именно поэтому дискоблы (метатели диска), бросая свой снаряд, приводят его во врашение. Это позволяет диску лететь, не кувыркась. Способность врашающся тело сохраняет положение оси своего врашения (при отсутствии моментов внешних сил) широко используется в технике. На этом свойстве основано применение так называемых гироскопических компасов, всевозможных стабилизаторов и т. д. Гироскопический компас — это в существии врашающее тело. Если при пуске вход оно было установлено так, чтобы свашенная была ориентирована на север, то она будет сохранять это направление лучшие магнитного компаса, на которой влияет и железный корпус корабля и изменения магнитного поля Земли. На корпах иногда устанавливают гироскопические стабилизаторы, которые представляют собой огромные многоотонные колеса, приводимые во врашение мощными двигателями. Стремясь сохранить положение оси врашения, такой стабилизатор превращает качество корабля. Важные применения находят гироскопические стабилизаторы в технике космических полетов, в автоматических устройствах самого различного назначения.

Кинетическая энергия врашающся тел

Вращающее тело — это движущшее тело, так как все его части, кроме точки, расположенных на оси врашения, движутся. Поэтому оно обладает кинетической энергией. Чтобы выражение для кинетической энергии, начнем опять с врашення маленького шарика на тонком стержне, то есть с врашення точки. Кинетическую энергию в этом случае можно записать в общий форму

$K = \frac{mv^2}{2},$

где $m$ — масса шарика, а $v$ — его линейная скорость. Но так как $v = \omega r$ , то выражение для $K$ можно написать в виде

$K = \frac{m\omega^2r^2}{2}.$

В заключение опять приведем для сопоставления некоторых из механики поступательного движения, и аналогичные им формулы, относящиеся к врашательному движения.

| Поступательное движение | Вращательное движение |
| :— | :— |
| $\vec{F} = ma$ | $\vec{M} = I\alpha$ |
| $\frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = \vec{F}$ | $\frac{\Delta(I\omega)}{\Delta t} = \vec{M}$ |
| $\Delta(mv) = 0$ при $\vec{F} = 0$ | $\Delta(I\omega) = 0$ при $\vec{M} = 0$ |
| $A = FS$ | $A = M\varphi$ |
| $K = \frac{mv^2}{2}$ | $K = \frac{I\omega^2}{2}$ |

Задание и вопросы

В каких единицах измеряется момент инерции?
С наклонной плоскости скатываются без прокалывания два цилиндра одинаковых диаметров и масс. Один из них свинцовый и имеет пробковую сбоюку, другой — пробковый со свинцовой оболочкой. Какой цилиндр скатытся с плоскости за меньшее время?
Колесо, момент инерции которого равен 0,01 единици СИ, выражается с угловой скоростью 4 об/сек. Каков должен быть момент силы треня, чтобы вращение колеса прекратилось после 5 оборотов?
Приливы в морях и океанах действуют на вращающегося Землю подобно тормозным колодкам и создают тормозную силу треня. Из-за этого действия приливов через 100 лет продолжительность суток на Земле будет на 1 секунду больше нивенней. Вычислить приливную силу треня.
Судовой гироскопический стабилизатор радиусом $R = 2$ м и массой $M = 120$ м приводится во вращение мотором. Какая мощность требуется для того, чтобы в течение 10 часов довести скорость вращения стабилизатора до 13 об/сек? Считать, что масса стабилизатора концентрирована на его ободе (в этом случае момент инерции равен $MR^2$ ).
Оdnородный шар радиуса $R$ и массы $M$ в начальной момент пущен по плоскости так, что он скольит по ней без качения со скоростью $v_0$ . Между шаром и плоскостью существует треня, коэффициент которого $k$ . Какое расстояние пройдёт шар, прежде чем прекратится его прокалывание относительно плоскости? Какова будет к этому моменту скорость шара?
Два иллюминатора сферического спутника расположены в диаметрально противолых точках оболочки. Космонавт идет из центра корабля по радиальному трапу к одному из иллюминаторов, затем идет вдоль борта корабля ко второму иллюминатору и, наконец, возвращается по радиальному трапу на свое место в центре корабля. На какой угол поворачивается при этом корабль относительно звезд, если масса корабля $M$ , его радиус $R$ , масса космонавта $m$ и можно считать, что все масса корабля сосредоточена в его оболочке.
Для заменения вращения спутников предлагается использовать следующие устройства. К боковой поверхности спутника прикрепляются на нитях длины $l$ два груза массы $m$ каждой. Грузы одновременно отпускают. Они отлетают от спутника и в тот момент, когда нити натягиваются, следует с крючков к которых прикреплены. При какой длине нити скорость вращения спутника после этой операции уменьшится в $n$ раз?
Считать, что спутник — это цилиндр массы $M$ и радиуса $R$ , все масса корабля сосредоточена в боковой оболочке.