Kỳ thi tuyển sinh môn Toán tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Quốc gia Moskva mang tên V. I. Lenin năm 1970

45

KỲ THI TUYỂN SINH
MÔN TOÁN TẠI KHOA TOÁN
CỦA HỌC VIỆN SƯ PHẠM QUỐC GIA MÁT-XCƠ-VA
mang tên V. I. LÊNIN NĂM 1970
E. A. Shchegolkov

Kỳ thi viết môn toán tại khoa chúng tôi năm 1969 (có thể đọc báo cáo về kỳ thi này trong «Kvant» số 3 năm 1970) có phần khác thường. Điểm khác thường là ở chỗ mô phỏng phần nào các kỳ thi tuyển tại khoa cơ lý của Đại học Tổng hợp Mát-xcơ-va. Kết quả là trong số 475 thí sinh, 224 người, tức khoảng một nửa, làm bài bị điểm hai và bị loại khỏi cuộc «đấu tranh» tiếp theo. Cách loại thí sinh như vậy dường như không hoàn toàn thích hợp với một viện sư phạm, vì quá nhiều thí sinh không được tiếp xúc trực tiếp với giám khảo.

Năm 1970, hội đồng tuyển sinh của khoa toán quyết định đi theo một con đường gần như khác. Bài thi viết gồm bốn bài quen thuộc với học sinh.

1. Bài toán hình học không gian có áp dụng lượng giác.
2. Bài toán lập phương trình bậc hai có nội dung vật lý hoặc nội dung khác.
3. Phương trình đại số hoặc bất phương trình.
4. Phương trình lượng giác.

Tất cả các bài không đòi hỏi kiến thức đặc biệt nào hoặc sự rèn luyện đặc biệt nào. Nhưng đồng thời chúng giả định thí sinh có kiến thức vững chắc về toán học phổ thông và những năng lực nhất định. Thời gian làm bài thi viết là 4 giờ.

Khi chấm bài thi viết, điểm «năm» chỉ được cho nếu giải đúng tất cả các bài; điểm «bốn» — nếu giải đúng tất cả các bài nhưng có những thiếu sót không đáng kể. Chẳng hạn, điểm «hai» được cho nếu các bài đầu không giải được do một loạt sai lầm. Khi đó, điểm «ba» có trọng lượng lớn hơn và không loại thí sinh khỏi cuộc thi tuyển.

Năm 1970, có 508 người dự tuyển vào khoa toán, còn chỉ tiêu là 175, tức khoảng ba người một chỗ.

Trong số 508 thí sinh làm bài thi viết, 120 người được điểm «bốn» và «năm», 233 người được điểm «ba» và 155 người được điểm «hai».
Dưới đây, làm ví dụ, chúng tôi sẽ phân tích một đề bài thi viết và chỉ ra những sai lầm điển hình mà thí sinh đã mắc phải khi giải đề đó.

Đề

1. Độ dài đường sinh của hình nón bằng l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng α. Tìm thể tích hình chóp ngoại tiếp hình nón, đáy của nó là một hình thoi có góc nhọn bằng β.
2. Trong n giờ, máy kéo cày nhiều hơn ngựa p hecta. Trong n giờ, ngựa cày được bao nhiêu hecta và máy kéo cày được bao nhiêu hecta, nếu máy kéo cày một hecta nhanh hơn ngựa t giờ.
3. Giải bất phương trình
   $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
4. Giải phương trình
   $$\frac{3(\cos 2x+\mathrm{ctg} 2x)}{\mathrm{ctg} 2x-\cos 2x}-2(\sin 2x+1)=0.$$

47

Như các bạn đã nhận thấy, khi giải bài toán này đã phải giải tam giác vuông ba lần. Thí sinh cũng mắc sai lầm ở đây. Khả năng vững vàng trong việc giải tam giác vuông là điều kiện không thể thiếu để giải thành công phần lớn các bài toán hình học không gian.

2. Giả sử máy kéo cày được $n$ giờ $x$ ($2a$), do đó cày $1$ ($2a$) trong $\frac{n}{x}$ giờ.

Ngựa cày được $n$ giờ $(x-p)$ ($2a$), còn cày $1$ ($2a$) trong $\frac{n}{x-p}$ giờ.

Theo điều kiện bài toán, $\frac{n}{x}$ nhỏ hơn $\frac{n}{x-p}$ $t$ giờ, tức là $\frac{n}{x} + t = \frac{n}{x-p}$ ($x \neq 0, x \neq p$). Sau khi biến đổi, ta được phương trình $tx^2 - ptx - np = 0$. Giải phương trình này, ta tìm được $x_{1,2} = \frac{pt \pm \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$.

Trong hai nghiệm này, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện bài toán? Theo điều kiện, $n > 0, t > 0, p > 0$, vì vậy $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn}$ có giá trị thực. $(pt)^2 + 4ptn > (pt)^2$ và do đó, $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn} > pt$.

Như vậy, nghiệm

$$x_1 = \frac{pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$

cho đáp số của bài toán, tức là đó là số hecta mà máy kéo cày được trong $n$ giờ, còn ngựa cày được trong $n$ giờ

$$x - p = \frac{-pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$.

Nghiệm thứ hai của phương trình là âm và không phù hợp với ý nghĩa của bài toán.

Khi lập phương trình ban đầu từ các đại lượng $\frac{n}{x}, \frac{n}{x-p}, t$ một số thí sinh vì lý do nào đó đã lấy số lớn trừ số nhỏ và lập phương trình $\frac{n}{x-p} + t = \frac{n}{x}$.

Đó là kết quả của sự thiếu chú ý.

Khi giải bài toán có nội dung vật lý cụ thể hoặc nội dung khác, cần đặc biệt вним ý và luôn kiểm tra các tính toán của mình. Các biến đổi hình thức phải phù hợp với tình hình thực tế. Ngoài ra, cần nhớ rằng lời giải trọn vẹn của loại bài toán này không phải là giải phương trình đã lập, mà là nhận được câu trả lời cho câu hỏi nêu trong đề bài.

3. Ta tìm miền giá trị chấp nhận được của $x$ (ĐKXĐ):

$$\begin{cases} 1 + 2x \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 \end{cases}$$ hoặc $$\begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x \geq -4. \end{cases}$$

Do đó, ĐKXĐ được xác định bởi điều kiện

$$x \geq -\frac{1}{2}.$$ (1)

Ta biến đổi bất phương trình ban đầu như sau:

$$\sqrt{1 + 2x} < 1 + \sqrt{x + 4}.$$

Trong ĐKXĐ đã nêu, cả hai vế của bất phương trình cuối cùng đều không âm; bình phương chúng ta được

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$ (2)

Vế trái của bất phương trình (2) dương, còn vế phải âm, còn vế trái dương.

1. $\frac{x}{2} - 2 < 0$, do đó,

$$-\frac{1}{2} \leq x < 4.$$

Với những giá trị $x$ như vậy, bất phương trình (2) có vế phải âm, còn vế trái dương.

2. $\frac{x}{2} - 2 \geq 0$ và theo điều kiện

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$

Giải bất phương trình thứ nhất trong các bất phương trình này, ta được $x \geq 4$. Để giải bất phương trình thứ hai, ta bình phương cả hai vế (bây giờ có thể làm điều đó,

48

vì cả hai vế đều không âm).
Ta được
$$x^2 - 12x < 0.$$ (3)

Giải (3), ta được $0 < x < 12$. Cuối cùng, trong trường hợp thứ hai ta được $4 \leq x < 12$. Gộp cả hai trường hợp, ta viết nghiệm của bất đẳng thức ban đầu:
$$-\frac{1}{2} \leq x < 12.$$

Sai lầm điển hình khi giải các bất đẳng thức như vậy là bình phương không kiểm soát cả hai vế của bất đẳng thức. Được biết rằng bất đẳng thức thu được khi đó có thể không tương đương với bất đẳng thức ban đầu. Vì vậy, khi bình phương cần xét dấu của cả hai vế bất đẳng thức và khi cần thiết xét các trường hợp khác nhau.

4. Viết phương trình sau:

$$\frac{3 \left( \cos 2x + \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \right)}{\cos 2x - \cos 2x} - 2 (\sin 2x + 1) = 0.$$ (1)

Bây giờ ta dễ xác định miền xác định. Thật vậy, khi $\sin 2x = 0$ thì $\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ không có nghĩa, còn khi $\cos 2x = 0$ thì mẫu số của phân thức bằng không và toàn bộ phân thức không có nghĩa. Do đó, miền xác định được xác định bởi các điều kiện $\sin 2x \neq 0$, $\cos 2x \neq 0$. Sau khi rút gọn với $\cos 2x$ và đơn giản hóa, phương trình (1) có dạng

$$3(\sin 2x + 1) - 2(\sin 2x + 1) (1 - \sin 2x) = 0$$ (2)

(trong mẫu số có biểu thức $1 - \sin 2x$, biểu thức này không bằng không trên miền xác định, vì $\cos 2x \neq 0$). Sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc, phương trình (2) tách thành hai phương trình:

1. $1 + 2 \sin 2x = 0$;
2. $1 + \sin 2x = 0$.

Giải phương trình thứ nhất, ta được

$$\sin 2x = -\frac{1}{2}; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Tất cả các giá trị này đều thuộc ĐKXĐ.

Giải phương trình thứ hai, ta được $\sin 2x = -1$, từ đó $\cos 2x = 0$, điều này bị ĐKXĐ loại trừ.

Vậy, nghiệm của phương trình ban đầu chỉ là các giá trị

$$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Nhiều thí sinh khi giải phương trình này không xét đến ĐKXĐ và xếp các giá trị $\cos 2x = 0$, tức là $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, vào nghiệm.

Một số không viết được dạng tổng quát của nghiệm.

Trong 68 bài làm của đề này, có 3 bài được điểm «năm», 8 bài — điểm «bốn», 39 bài — điểm «ba» và 18 bài — điểm «hai».

Hãy nêu những sai lầm mà các thí sinh đã mắc phải khi giải các bài toán ở những đề khác, cũng như những thiếu sót chung khi làm bài viết.

Khi giải bài toán hình học không gian, trong nhiều trường hợp các hình vẽ không đạt yêu cầu (không rõ ràng, lem nhem) hoặc đơn giản là sai. Điều này xảy ra vì người giải bài toán hình dung không đúng hoặc vẽ không đúng vị trí của hình, khối, thiết diện và các yếu tố khác đã cho, đặc biệt khi nói đến các khối ngoại tiếp hoặc nội tiếp.

Hình vẽ và việc dựng hình tiếp theo trong nhiều trường hợp không kèm theo những giải thích cần thiết, không có sự chứng minh cho các kết luận thu được từ việc dựng hình.

Việc thiếu các giải thích cho các phép dựng trên hình vẽ và sự chứng minh các kết luận dẫn đến việc hạ điểm bài toán hình học không gian.

Trong bài toán có nội dung lập phương trình, một số không thể

49

lập được phương trình theo điều kiện bài toán.

Những người khác, sau khi lập đúng phương trình và giải nó, không xét các nghiệm thu được về tính thích hợp của chúng như là nghiệm của bài toán.

Những người thứ ba, tuy đã xét các nghiệm thu được của phương trình, nhưng không chọn được nghiệm cần thiết.

Khi giải các phương trình đại số và lượng giác, người ta thường rút gọn cho một biểu thức chứa ẩn. Kết quả là làm mất nghiệm của phương trình. Trong các trường hợp khác, không chú ý đến ĐKXĐ và vì thế nhận được các nghiệm ngoại lai.

Vài lời về kỳ thi vấn đáp. Các đề thi chứa hai câu hỏi. Câu thứ nhất về hình học, câu thứ hai về đại số hoặc lượng giác. Cách phát biểu các câu hỏi thi hầu như lặp lại nguyên văn cách phát biểu của chương trình thi tuyển sinh đại học năm 1970.

Khi trả lời các câu hỏi trong đề thi, cần trình bày chính xác chứng minh định lý hoặc suy ra công thức, phát biểu chính xác các định nghĩa cần thiết.

Ngoài các câu hỏi trong đề thi, thí sinh còn được giao thêm các bài tập hoặc được hỏi những câu hỏi đại loại như sau.

1. Vẽ đồ thị hàm số:

a) $y = \lg \frac{1}{2}x$;
b) $y = -x^2 - x$;
c) $y = \frac{2}{x} - 3$;
d) $y = \sin 2x$;
e) $y = \cos \frac{x}{2}$.

2. Giải phương trình:

a) $2^x = -1$;
b) $|2x - 3| = 1$;
c) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$;

г) $\arcsin x = x$.

3. Giải bất phương trình:

a) $\lg \frac{1}{2}x > 0$; 6) $x^2 > 5$;
b) $\frac{6}{x - 2} < 0$;
g) $|x - 2| \ge 1$.

4. Các số $\sin 3,14$; $\cos \frac{9\pi}{10}$; $\sin 2$ có dấu gì?

5. Tìm $\sin \left(2\arcsin \frac{1}{3}\right)$.

6. Tìm chu kỳ của hàm số $y = \sin 3x$.

7. Dựng đường tròn có bán kính đã cho, đi qua hai điểm đã cho.

8. Nêu ví dụ về hai đoạn thẳng không cùng đơn vị đo.

9. Các cạnh của một tam giác có thể có tỉ lệ 1:2:3 không?

10. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.

11. Với điều kiện nào thì có thể nội tiếp một hình cầu trong hình trụ tròn xoay đứng?

12. Tìm góc giữa đường chéo của hình lập phương và mặt phẳng đáy của nó.

Những kiến thức yếu nhất mà thí sinh bộc lộ là về sự khái quát hóa khái niệm số mũ, số phức, dãy số, cấp số nhân vô hạn, phương pháp quy nạp toán học, thể tích và diện tích mặt của các khối. Không phải tất cả thí sinh đều nêu được những định nghĩa rõ ràng về các hàm lượng giác, độ dài đường tròn, diện tích hình tròn, thể tích và diện tích mặt của hình trụ và hình nón.

Các khái niệm sau được nắm chưa tốt: số vô tỉ và số thực, giá trị tuyệt đối của một số, các đoạn thẳng cùng đơn vị đo và không cùng đơn vị đo, số đo radian của góc.

Trong hình học, các bài toán dựng hình được giải không chắc chắn. Nhiều thí sinh có trí tưởng tượng chưa đủ phát triển.

50

Những người dự thi đã giải không vững các bài toán dựng hình cả trên mặt phẳng lẫn trong không gian. Đặc biệt rõ rệt là ở đại bộ phận thí sinh sự hiểu biết nông cạn và không đầy đủ về khái niệm hàm số. Nhiều người khó khăn khi nêu ví dụ về các quan hệ hàm, ít người cho thấy sự hiểu biết và vận dụng tốt các tính chất đơn điệu và tuần hoàn của hàm số.

Cuối cùng, về khái niệm giới hạn. Khái niệm quan trọng bậc nhất này trong đa số trường hợp chỉ được nắm một cách hời hợt. Còn về việc áp dụng giới hạn thì không cần phải nói. Như vậy, các phần của chương trình toán học phổ thông liên quan đến khái niệm giới hạn được nắm chưa đầy đủ.

Tuy vậy, cũng cần ghi nhận những mặt tích cực trong kiến thức toán học của học sinh.

Việc nắm vững kỹ thuật tính toán hình thức trong đại số và lượng giác đã tốt hơn, các đồ thị của những hàm số khác nhau được dựng tự tin hơn, logarit được nắm vững hơn, các phép biến đổi lượng giác được sử dụng tự do hơn (so với những năm trước).

Cần lưu ý rằng số bài làm viết xuất sắc và số câu trả lời xuất sắc trong kỳ thi vấn đáp môn toán đã tăng so với những năm trước. Cũng đáng mừng là trong số những học sinh xuất sắc có nhiều thanh niên từ nông thôn.

Kết thúc, chúng tôi đề nghị bạn đọc để tự luyện tập một đề nguyên gốc và một đề tổng hợp, được составлен từ các bài toán của những đề khác nhau đã được đưa ra trong các kỳ thi.

Đề 1

1. Đáy của lăng trụ là một tam giác cân có chu vi $2p$ và góc ở đáy $\alpha$. Xác định thể tích lăng trụ nếu các mặt bên của nó nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\beta$.

2. Trên đường tròn bán kính $R$, hai ô tô chuyển động đều theo cùng một chiều. Một trong hai xe hoàn thành một vòng nhanh hơn xe kia $t$ giây. Thời gian giữa hai lần gặp nhau liên tiếp của các xe bằng $a$. Xác định vận tốc của cả hai xe.

3. Với những giá trị thực không âm nào của $a$ thì phương trình
   $$a + x - x^2 = \sqrt{a + x} + x$$
   có các nghiệm thực không âm? Tìm các nghiệm đó.

4. Giải phương trình
   $$(1 + \sin 2x)(\cos x - \sin x) = 1 - 2\sin^2 x.$$
   Phương án 2 (tổng hợp)

5. Một quả cầu nội tiếp trong một lăng trụ tam giác đứng. Trong tam giác này, đường vuông góc hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền có độ dài $h$ và tạo với một trong các cạnh góc vuông một góc $\alpha$. Tìm thể tích lăng trụ.

6. Từ hai miếng hợp kim có tỉ lệ phần trăm đồng khác nhau, nặng tương ứng $m$ kG và $n$ kG, người ta cắt từ mỗi miếng một phần có khối lượng bằng nhau. Mỗi phần đã cắt được nấu chảy với phần còn lại của miếng kia, sau đó tỉ lệ phần trăm đồng trong cả hai hợp kim trở nên bằng nhau. Mỗi phần đã cắt nặng bao nhiêu?

7. Giải bất phương trình
   $$\log_{0.5}x + \sqrt{1 - 4(\log_{0.5}x)^2} < 1.$$

8. Giải phương trình
   $$\frac{\cos x}{\text{ctg}^2 \frac{x}{2} - \text{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{8} \left(1 - \frac{2 \text{ctg} x}{1 + \text{ctg}^2 x}\right).$$