Vắn tắt về hàm mũ

⟦không số tờ⟧

SƠ LƯỢC VỀ HÀM MŨ

Rất thường xuyên, chúng ta gặp những đại lượng mà sự biến thiên của chúng tỉ lệ với chính các đại lượng ấy. Chẳng hạn, sự biến thiên số vi khuẩn trong một quần thể (trong những điều kiện không đổi) tỉ lệ với số lượng của chúng. Sự biến thiên áp suất khí quyển theo độ cao tỉ lệ với độ lớn của áp suất. Số nguyên tử của một chất phóng xạ phân rã trong một đơn vị thời gian tỉ lệ với số nguyên tử trong mẫu. Sự gia tăng dân số trên Trái Đất tỉ lệ với số dân, v.v. Về mặt toán học, mọi đại lượng biến thiên theo cách như vậy đều được biểu diễn bằng một hàm có tính chất quan trọng sau: tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với trục hoành tại mỗi điểm tỉ lệ với giá trị của hàm tại điểm đó. (xem hình.)

Hàm số mũ $y=a^x$ có tính chất như vậy.

Đặc biệt quan trọng là trường hợp riêng của hàm này khi $a=e$:

$$y=e^x.$$

Hàm này có một tên gọi riêng — hàm mũ.

Số $e$ là số vô tỉ, bằng 2,718…

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Trong tất cả các hàm số mũ, nó nổi bật ở chỗ tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị hàm mũ tại bất kỳ điểm nào không tỉ lệ mà bằng giá trị của hàm tại điểm đó. Với những ai biết đạo hàm là gì, ta còn nói thế này: đạo hàm của hàm $e^x$ bằng $e^x$. Độc giả sẽ rất thường gặp hàm mũ trên tạp chí của chúng ta.

Đây là một số tính chất của nó:

1. $e^{x_1}+e^{x_2}=e^{x_1}\cdot e^{x_2}$
2. Nếu $x_1<x_2$, thì $e^{x_1}<e^{x_2}$.
3. Với $x$ nhỏ, $e^x\approx 1+x$.

Một bài viết chi tiết về hàm mũ sẽ được đăng trong một số của «Kvant».