Chuyển động quay của các vật

Kvant 1971, số 1 tr. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12 Thẻ 25PD

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

Ai cũng biết rằng mọi vật có thể thực hiện hai dạng chuyển động — tịnh tiến và quay. Dạng thứ nhất được nghiên cứu khá chi tiết trong chương trình vật lí phổ thông. Còn chuyển động quay thì «kém may mắn», do thiếu thời gian nên nó được chú ý rất ít. Trong khi đó, chuyển động quay gặp trong tự nhiên và kĩ thuật không hề ít hơn chuyển động tịnh tiến. Trong nhiều trường hợp, chuyển động thực của các vật là sự kết hợp của cả hai dạng chuyển động. Trong những trường hợp khác, các vật chuyển động tịnh tiến hoặc thậm chí đứng yên lại có những bộ phận quay. Trước hết, điều này bao gồm mọi thiết bị có bánh xe, — từ xe cút kít và xe đẩy đến máy bay và trực thăng. Hãy thử tìm một chiếc máy mà trong đó không có gì quay! Một dụng cụ phổ biến như đồng hồ có thể nói là “chật ních” những bánh xe quay ăn khớp với nhau.

Chuyển động quay cũng không hiếm trong tự nhiên. Chỉ cần nhớ đến các chuyển động quay phức tạp của các hành tinh, các vệ tinh của chúng, sự quay của Mặt Trời và, có lẽ, của các ngôi sao khác. Nhân tiện, cần lưu ý rằng khi nói về các hành tinh, từ “quay” được dùng cho hai dạng chuyển động khác nhau của chúng. Chẳng hạn, người ta nói rằng Trái Đất quay quanh Mặt Trời, nhưng cũng nói về sự quay của Trái Đất quanh trục của nó. Vậy đó có phải là những chuyển động giống nhau không? Có thể nói rằng cả hai đều do cùng những nguyên lí gây ra không? Được biết rằng Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo gần tròn vì nó chịu tác dụng của lực hút về phía Mặt Trời. Nhưng có thể nói rằng chính lực này hoặc một lực tương tự khiến Trái Đất cũng thực hiện sự quay quanh trục không? Rõ ràng là không. Thực tế, chuyển động của Trái Đất có thể xem chính là sự kết hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay — chuyển động tịnh tiến quanh Mặt Trời và chuyển động quay quanh trục đi qua hai cực Trái Đất.

Bài này nói về chuyển động quay của các vật, về điều phân biệt nó với chuyển động tịnh tiến, và về những điểm giống nhau giữa chúng.

Động học của chuyển động quay

Trước hết, hãy nhắc lại cho bạn đọc những điều họ đã biết về chuyển động quay từ chương trình vật lí phổ thông. Hãy bắt đầu từ định nghĩa.

Chuyển động quay của một vật là chuyển động mà trong đó mọi điểm của vật chuyển động theo các đường tròn, tâm của chúng nằm trên một đường thẳng — trục quay.

Nếu trục quay được cố định, thì toàn bộ vật không dịch chuyển, và điều duy nhất thay đổi theo thời gian là góc quay, ở đây nó đóng vai trò giống như độ dời của một điểm nào đó của vật trong chuyển động tịnh tiến.

Khi vật quay một góc φ, mỗi điểm của nó đi qua một cung tròn nhất định. Nếu kí hiệu độ dài cung là S, thì giữa các giá trị S và φ có hệ thức đơn giản

$S = \varphi r,$

trong đó $r$ — khoảng cách từ điểm đến trục quay. Các điểm nằm ở những khoảng cách $r$ khác nhau so với trục quay vạch nên các cung có độ dài khác nhau, nhưng góc $\varphi$ là như nhau đối với toàn bộ vật.

Bài toán của cơ học chuyển động quay là phải xác định được góc quay của vật tại mọi thời điểm, nếu biết góc quay ban đầu. Muốn vậy cần biết tốc độ thay đổi của góc quay, tức là vận tốc góc, thường được kí hiệu bằng chữ $\omega$ . Đối với vật quay với vận tốc góc không đổi,

$\omega = \frac{\varphi - \varphi_0}{t},$

trong đó $\varphi - \varphi_0$ là độ thay đổi của góc quay trong khoảng thời gian $t$ giây.

Nếu vận tốc góc không đổi, thì giá trị của góc quay tại bất kỳ thời điểm nào cũng dễ dàng xác định:

$\varphi = \varphi_0 + \omega t;$

nếu góc quay ban đầu $\varphi_0$ bằng không, thì

$\varphi = \omega t.$

Biểu thức này tương tự công thức $S = vt$ đối với chuyển động tịnh tiến đều. Do đó, vận tốc góc trong chuyển động quay có vai trò quan trọng giống như vận tốc tuyến tính $v$ trong chuyển động tịnh tiến.

Vận tốc góc, cũng như vận tốc tuyến tính, có thể không không đổi. Khi đó, để tìm vận tốc tại bất kỳ thời điểm nào, cần biết gia tốc góc, được xác định, tương tự gia tốc tuyến tính $a$ , là sự thay đổi nhanh của vận tốc góc. Trong chuyển động quay biến đổi đều

$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t},$

trong đó $\omega$ và $\omega_0$ là các giá trị của vận tốc góc ở cuối và ở đầu khoảng thời gian kéo dài $t$ giây.

Dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa vận tốc góc và gia tốc góc với các «đại lượng tương ứng» tuyến tính của chúng là $v$ và $a$ . Vì $\omega = \frac{\varphi}{t}$ , còn $\varphi = \frac{S}{r}$ , nên $\omega = \frac{S}{rt}$ .

Nhưng $\frac{S}{t} = v$ , do đó,

$\omega = \frac{v}{r} \text{ và } v = \omega r.$

Tương tự, vì $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$ , còn $\omega = \frac{v}{r}$ và $\omega_0 = \frac{v_0}{r}$ , nên $\alpha = \frac{v - v_0}{rt}$ . Nhưng $\frac{v - v_0}{t}$ bằng gia tốc tuyến tính $a$ , vì vậy

$\alpha = \frac{a}{r} \text{ và } a = \alpha r.$

Như vậy, các giá trị số của các đại lượng tuyến tính $S$ , $v$ và $a$ đối với mỗi điểm của vật quay bằng các giá trị tương ứng của các đại lượng góc (chúng không thuộc về từng điểm riêng lẻ mà thuộc về toàn bộ vật), nhân với bán kính quay $r$ của điểm đó.

Nếu dùng các đại lượng $\varphi$ , $\omega$ và $\alpha$ , thì có thể giải các bài toán liên quan đến sự quay của vật, áp dụng các công thức động-

Hướng của vectơ $\vec{\alpha}$ trùng với hướng của vectơ $\omega$ , còn nếu tốc độ góc giảm thì hướng của các vectơ $\vec{\alpha}$ và $\omega$ ngược nhau.

Động lực học của chuyển động quay

Động lực học của chuyển động tịnh tiến, như đã biết, nghiên cứu các nguyên nhân làm xuất hiện gia tốc ở các vật và cho phép xác định độ lớn và hướng của chúng. Động lực học của chuyển động quay làm điều tương tự đối với gia tốc góc. Nếu gia tốc của chuyển động tịnh tiến của vật được gây ra bởi lực tác dụng lên nó, thì nguyên nhân của gia tốc góc của vật là mômen của lực tác dụng lên nó. Các bạn đọc đã biết nó từ khóa vật lí lớp 8 hoặc 9. Nhắc lại rằng giá trị số của mômen lực đối với một trục nào đó bằng tích của lực tác dụng lên vật và độ dài đường vuông góc kẻ từ trục đến giá của lực. Chẳng hạn, nếu vào vành của đĩa phẳng vẽ ở hình 2 tác dụng lực $F$ , vectơ của lực nằm trong mặt phẳng đĩa, thì mômen của lực này đối với trục vuông góc với mặt phẳng đĩa và đi qua điểm $O$ bằng $Fr$ . Nếu trục không đi qua điểm $O$ mà đi qua điểm $O_1$ , thì mômen của chính lực ấy đối với trục mới sẽ khác: nó sẽ bằng $Fr_1$ . Nếu cùng lực ấy được tác dụng như ở hình 3, thì mômen của nó đối với trục đi qua điểm $O$ bằng không, vì giá của lực đi qua điểm này. Lực như vậy không thể gây ra sự quay quanh trục, không thể làm thay đổi gia tốc góc. Nhưng chính lực ấy có thể làm đĩa quay quanh trục đi qua điểm $O_1$ .

Mômen lực cũng là một đại lượng vectơ. Hướng của vectơ mômen lực được xác định bằng cùng một quy tắc. Cụ thể, hướng của mômen lực được quy ước là hướng mà chiếc đinh ốc (vít) dịch chuyển dọc theo trục nếu tay quay của nó quay theo chiều mà vật sẽ quay dưới tác dụng của lực đặt lên nó. Chẳng hạn, vectơ mômen của lực $F$ đối với trục đi qua điểm $O$ ở hình 2 hướng vuông góc với mặt phẳng bản vẽ “ra xa chúng ta”.

Như đã nói, các định luật cơ học Newton cũng đúng đối với chuyển động quay. Từ những điều vừa nói về mômen lực, chẳng hạn, suy ra rằng định luật Newton khi áp dụng cho chuyển động quay khẳng định: vật quay với vận tốc góc không đổi hoặc hoàn toàn không quay, nếu mômen lực tác dụng lên nó

⟦trang 6⟧

có thể bỏ qua, và viên bi nhỏ đến mức so với chiều dài của thanh để nó có thể được coi là một chất điểm.

Bây giờ mọi khó khăn của chúng ta sẽ lập tức biến mất. Trong công thức

$M = mr^2\alpha$

$m$ là khối lượng của viên bi, còn $r$ là khoảng cách từ viên bi đến trục quay. Vì đối với viên bi và thanh đã cho, cả $m$ lẫn $r$ đều không thay đổi, nên tích $mr^2$ là một đại lượng không đổi và có thể ký hiệu bằng một chữ cái. Ta chọn chữ $I$ cho đại lượng này. Khi đó công thức của định luật II Newton có dạng

$M = I\alpha.$

Sự giống nhau của công thức này với công thức

$F = ma.$

là hiển nhiên. Chỉ có lực $F$ được thay bằng mômen lực, còn thay cho gia tốc thẳng $a$ , công thức có gia tốc góc $\alpha$ , đúng như phải vậy, vì ở đây không phải chuyển động tịnh tiến mà là chuyển động quay. Còn vai trò của khối lượng trong công thức này do một đại lượng hoàn toàn mới đảm nhiệm, bằng tích của khối lượng với bình phương khoảng cách của nó đến trục quay.

Cũng như gia tốc của vật chuyển động tịnh tiến phụ thuộc, ngoài lực ra, còn vào khối lượng của vật được gia tốc, gia tốc góc của vật quay không chỉ phụ thuộc vào mômen lực mà còn vào đại lượng $mr^2$ , vốn có thể nói là “bản sao” quay của khối lượng. Đại lượng này được gọi là mômen quán tính của vật đối với trục. Vì vậy, đối với chuyển động quay, không chỉ khối lượng là quan trọng. Còn quan trọng là khối lượng đó cách trục quay bao xa. Rõ ràng, một khối lượng nhỏ ở xa trục quay có thể nhận được gia tốc góc như một khối lượng lớn nằm gần trục, với cùng một mômen lực.

Tất cả những điều này dường như chỉ liên quan đến viên bi quay trên một thanh mảnh. Nhưng thực ra công thức vẫn đúng cả khi quay là một đĩa, bánh xe, hình trụ, và nói chung bất kỳ vật rắn “thực sự” nào, cũng có một mômen quán tính xác định. Để xác định mômen quán tính của vật đối với một trục nào đó, cần tưởng tượng chia nó thành nhiều phần nhỏ (trong giới hạn là vô cùng nhỏ), với mỗi phần xác định tích khối lượng của nó với bình phương khoảng cách đến trục ấy, rồi cộng tất cả các tích lại. Đó sẽ là mômen quán tính của toàn bộ vật. Rõ ràng, mômen quán tính của vật càng lớn khi khối lượng của những phần nằm xa trục càng lớn. Nói cách khác, mômen quán tính của vật phụ thuộc vào cách khối lượng của vật được phân bố trong thể tích của nó. Đối với các trục khác nhau, mômen quán tính của cùng một vật sẽ khác nhau. Chẳng hạn, mômen quán tính của một thanh có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ , đối với trục vuông góc với thanh và đi qua trung điểm của nó (hình 6), bằng $\frac{ml^2}{12}$ . Còn mômen quán tính của chính thanh ấy-

việc xác định khối lượng của các vật là một bài toán đơn giản hơn đáng kể so với việc xác định “bản sao” quay của nó — mômen quán tính. Nếu khối lượng được xác định bằng phép cân đơn giản, thì “cân” đối với chuyển động quay là một thao tác khá phức tạp, hơn nữa đối với cùng một vật nhưng các trục quay khác nhau phải tiến hành riêng, và không có “cân” cho phép “cân” như vậy.

Mômen động lượng, mômen xung lượng

Vậy, đối với chuyển động quay, định luật thứ hai của Newton được viết dưới dạng $M = I\alpha$ , trong đó $M$ là mômen lực, $I$ là mômen quán tính và $\alpha$ là gia tốc góc của vật.

Nhưng gia tốc góc được biểu diễn bởi công thức

$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}.$

Vì vậy, công thức của định luật thứ hai Newton có thể viết dưới dạng

$M = \frac{I\omega - I\omega_0}{t}.$

Ở dạng này, công thức có nghĩa là mômen lực bằng độ biến thiên của đại lượng $I\omega$ trong một đơn vị thời gian. Nhưng, như đã biết, định luật thứ hai Newton có thể viết dưới dạng

$F = \frac{mv - mv_0}{t},$

trong đó $mv$ — đại lượng gọi là lượng chuyển động hay xung lượng của vật. Rõ ràng xung lượng $mv$ cũng có một đại lượng tương tự trong động lực học chuyển động quay, và đại lượng tương tự đó là $I\omega$ . Điều này đã suy ra từ việc mômen quán tính $I$ trong chuyển động quay cũng đóng vai trò như khối lượng trong chuyển động tịnh tiến, còn vận tốc góc $\omega$ thay thế vận tốc dài $v$ . Vì vậy, đại lượng $L = I\omega$ được gọi là mômen lượng chuyển động của vật hay mômen xung lượng. Đây cũng là một đại lượng vectơ (cũng như $\omega$ , $F$ , $\alpha$ , $mv$ , $M$ ), có hướng giống hướng của vectơ vận tốc góc. Tương tự các đại lượng khác mà chúng tôi đã nêu, thuộc về chuyển động quay, mômen xung lượng khác nhau đối với các trục quay khác nhau.

Nếu vật có hình dạng, kích thước hoặc bán kính quay sao cho có thể nói về sự quay của một điểm (chẳng hạn, một quả cầu trên một thanh mảnh, một hành tinh khi nó quay quanh Mặt Trời), thì mômen động lượng dễ dàng liên hệ với động lượng. Thật vậy, mômen quán tính $I$ bằng $mr^2$ , còn vận tốc góc $\omega$ bằng $\frac{v}{r}$ . Do đó

$L = I\omega = \frac{mr^2v}{r} = rmv.$

Vì vậy, mômen động lượng của một điểm bằng về độ lớn tích của bán kính $r$ của đường tròn mà điểm chuyển động theo với động lượng $mv$ . Rõ ràng rằng đối với một vật có hình dạng bất kỳ thì không thể có sự tương ứng đơn giản như vậy.

mômen quán tính của vật đối với trục quay thẳng đứng (khối lượng của hai tay nằm gần trục này). Vì sự giảm mômen quán tính $I$ này đạt được không phải bởi lực ngoài mà bởi lực trong, nên mômen động lượng $I\omega$ không thể thay đổi. Do đó vận tốc góc $\omega$ tăng lên đúng bằng số lần mà vận động viên trượt băng giảm được mômen quán tính của mình. Ngược lại, trước khi kết thúc quay, khi cần giảm tốc độ, vận động viên trượt băng dang rộng hai tay, làm tăng mômen quán tính của cơ thể mình. Các nữ vũ công khi thực hiện pirouette, các diễn viên nhào lộn khi thực hiện salto, v.v. cũng làm như vậy. Những thí nghiệm thú vị loại này có thể được thực hiện bằng cái gọi là ghế Zhukovsky. Nó là một bệ có thể quay với ma sát nhỏ quanh một trục thẳng đứng (hình 9). Đứng trên bệ quay như vậy, bằng cách cử động tay, có thể thay đổi đáng kể vận tốc góc quay.

Sự bảo toàn mômen động lượng không chỉ có nghĩa là bảo toàn giá trị số của đại lượng $I\omega$ . Không được quên rằng mômen động lượng là một đại lượng vectơ. Vì vậy, sự bảo toàn mômen động lượng cũng có nghĩa là bảo toàn hướng của nó. Nhưng mômen động lượng, như ta biết, hướng dọc theo trục quay. Vì vậy, mọi vật quay không chịu tác dụng của các mômen lực ngoài cũng không thể thay đổi vị trí của trục quay. Đó là “bí mật” của sự ổn định của bánh xe lăn, con quay, v.v. Chính vì vậy các vận động viên ném đĩa, khi ném dụng cụ của mình, làm nó quay. Điều đó cho phép đĩa bay mà không lộn nhào. Khả năng của vật quay giữ nguyên vị trí trục quay của nó (khi không có mômen lực ngoài) được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Việc sử dụng các la bàn con quay, đủ loại bộ ổn định, v.v. dựa trên tính chất này. La bàn con quay thực chất là một vật quay. Nếu khi khởi hành nó được đặt sao cho trục quay hướng về phía bắc, thì nó sẽ giữ hướng này tốt hơn la bàn từ, vốn chịu ảnh hưởng cả của thân tàu bằng sắt lẫn của sự thay đổi từ trường Trái Đất. Trên tàu đôi khi lắp các bộ ổn định con quay, là những bánh xe khổng lồ nặng nhiều tấn được làm quay bởi các động cơ mạnh. Cố giữ vị trí trục quay, bộ ổn định như vậy làm giảm sự lắc lư của tàu. Các bộ ổn định con quay có những ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật bay vũ trụ, trong các thiết bị tự động có mục đích rất khác nhau.

Động năng của các vật quay

Vật quay là vật chuyển động, vì tất cả các phần của nó, trừ những điểm nằm trên trục quay, đều chuyển động. Vì vậy nó có động năng. Để tìm biểu thức của động năng, ta lại bắt đầu từ sự quay của một quả cầu nhỏ trên một thanh mảnh, tức là từ sự quay của một điểm. Động năng trong trường hợp này có thể viết dưới dạng tổng quát

$K = \frac{mv^2}{2},$

trong đó $m$ là khối lượng của quả cầu, còn $v$ là vận tốc dài của nó. Nhưng vì $v = \omega r$ , nên biểu thức của $K$ có thể viết dưới dạng

$K = \frac{m\omega^2r^2}{2}.$

⟦trang 12⟧

Cuối cùng, để so sánh, ta lại đưa ra một số công thức của cơ học chuyển động tịnh tiến và các công thức tương tự chúng, thuộc về chuyển động quay.

| Chuyển động tịnh tiến | Chuyển động quay |
| :— | :— |
| $\vec{F} = ma$ | $\vec{M} = I\alpha$ |
| $\frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = \vec{F}$ | $\frac{\Delta(I\omega)}{\Delta t} = \vec{M}$ |
| $\Delta(mv) = 0$ khi $\vec{F} = 0$ | $\Delta(I\omega) = 0$ khi $\vec{M} = 0$ |
| $A = FS$ | $A = M\varphi$ |
| $K = \frac{mv^2}{2}$ | $K = \frac{I\omega^2}{2}$ |

Bài tập và câu hỏi

Mômen quán tính được đo bằng những đơn vị nào?
Từ một mặt phẳng nghiêng lăn xuống không trượt hai hình trụ có cùng đường kính và khối lượng. Một hình trụ bằng chì và có lõi bần, hình kia bằng bần với vỏ chì. Hình trụ nào sẽ lăn xuống mặt phẳng trong thời gian ngắn hơn?
Một bánh xe có mômen quán tính bằng 0,01 đơn vị SI, quay với tốc độ góc 4 vòng/giây. Mômen của lực ma sát phải bằng bao nhiêu để sự quay của bánh xe chấm dứt sau 5 vòng?
Thủy triều trong biển và đại dương tác dụng lên Trái Đất đang quay giống như má phanh và tạo ra lực ma sát hãm. Do tác dụng này của thủy triều, sau 100 năm độ dài ngày trên Trái Đất sẽ lớn hơn hiện nay 1 giây. Hãy tính lực ma sát thủy triều.
Bộ ổn định con quay của tàu thủy có bán kính $R = 2$ m và khối lượng $M = 120$ t được một động cơ đưa vào quay. Cần công suất bao nhiêu để trong 10 giờ đưa tốc độ quay của bộ ổn định lên 13 vòng/giây? Coi khối lượng của bộ ổn định tập trung ở vành của nó (trong trường hợp này mômen quán tính bằng $MR^2$ ).
Một quả cầu đồng chất bán kính $R$ và khối lượng $M$ lúc đầu được phóng trên mặt phẳng sao cho nó trượt trên đó không lăn với vận tốc $v_0$ . Giữa quả cầu và mặt phẳng có ma sát, hệ số của nó là $k$ . Quả cầu sẽ đi được quãng đường bao nhiêu trước khi sự trượt của nó đối với mặt phẳng chấm dứt? Đến lúc đó vận tốc của quả cầu sẽ bằng bao nhiêu?
Hai cửa sổ của một vệ tinh hình cầu nằm tại hai điểm đối diện nhau theo đường kính trên vỏ. Một nhà du hành vũ trụ đi từ tâm tàu theo thang hướng tâm đến một cửa sổ, sau đó đi dọc theo mạn tàu đến cửa sổ thứ hai và cuối cùng trở về theo thang hướng tâm về chỗ của mình ở tâm tàu. Khi đó tàu quay đi một góc bao nhiêu so với các vì sao, nếu khối lượng tàu là $M$ , bán kính của nó là $R$ , khối lượng nhà du hành là $m$ và có thể coi toàn bộ khối lượng tàu tập trung trong vỏ của nó.
Để làm giảm sự quay của các vệ tinh, người ta đề nghị dùng các thiết bị sau. Vào mặt bên của vệ tinh gắn bằng các sợi dây dài $l$ hai vật nặng, mỗi vật có khối lượng $m$ . Các vật nặng được thả đồng thời. Chúng bay ra khỏi vệ tinh và vào lúc các sợi dây căng ra, chúng tách khỏi các móc mà chúng được gắn vào. Với độ dài dây bao nhiêu thì tốc độ quay của vệ tinh sau thao tác này giảm đi $n$ lần?
Coi vệ tinh là một hình trụ có khối lượng $M$ và bán kính $R$ , toàn bộ khối lượng của tàu tập trung trong vỏ bên.