По следам одной задачи

34

4. В схеме, изображенной на рисунке 6, оба ключа $K$—$K$ первого аналогно разомкнуты, конденсатор $C_1$ разряжен; конденсаторы $C_2$ и $C_3$ заряжены и имеют одинаковый заряд $q$, полярность их пластин указана на схеме. Найти заряд, который оказывается на конденсатор $C_1$ после того, как оба ключа будут разомкнуты. Емкость всех конденсаторов одинакова.

5. На горизонтальном разположенном две прямугольного железа лежат брусок массы $M$ и соприкасающийся с ним клин массы $m$, который может скольнить по бруску (рис. 7, вид сверху). Правая вертикальная грань бруска скошена под углом $\alpha$. Брусок может перемещаться вдоль железа, боковые стенки которого служат направляющими. Нормально к левой вертикальной грани бруска прикладывается сила $F$. С каким ускорением начнет двигаться брусок? Треннем между всеми соприкасающимся поверхностями пренебречь.

Во время первой мировой войны среди французских офисеров, которые пришли в армюю со студенческой скамби, во время длительных порой промежутков между боями были распространены составляния по решению задач из элементарной математики. Победитель должен быть найти правильное и наиболее интересное по общему мнению решения.

Вот одна из таких задач:
Доказать, что треугольник равноведренный, если его биссертрисы равны.
Пытались решать эту задачу многое, но находили правильные пути не все. Не хотите ли попробовать свои силы?

В 1939 году во втором type 5-й Московской математической олимпiadы участникам ее была предложена задача: «Разложить на целые рациональные множители выражение $a^{10} + a^5 + 1$».

Эту задачу легко решить, если воспользоваться теоремой: Многочлен $1 + a^{3k+1} + a^{3p+2}$ делится без остатка на многочлен $1 + a + a^2$ при любых натуральных $k$ и $p$.

Попробуйте установить, справедлива ли теорема:
Многочлен $1 + a^{4m+1} + a^{4l+2} + a^{4k+3}$ делится без остатка на многочлен $1 + 1 + a + a^2 + a^3$ при любых натуральных $k$, $l$ и $m$.