Случай на лекции

48

Решение. Найдем при помощи графического решения системы неравенств

$$x + 2y \leq 3, \quad 2x - y \leq 1, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0$$

множество точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Из рисунка 15 видно, что это будет четырехугольник OABC. (Координаты его вершин легко определяются из уравнений граничных прямых и указыны на том же рисунке.)

Тепер наша задача формулируется так. Среди точек четырехугольника AOBC найти такую точку, для которого выражение $x^2 + y^2$ является наиболее简便. Но мы знаем, что выражение $x^2 + y^2$ определяет квадрат расстояния от точки с координатами $(x, y)$ до начала координат. Следовательно, задача сводится к отисканию в четырехугольнике OABC точки, наиболее удобной от начала координат. Очевидно, что такой точкой является точка $C\left(0; \frac{3}{2}\right)$. Доказайте!

Решите сами две задачи такого типа (эти задачи представлены в 1968 году на вступительных письменных экзаменах по математике).

Пример 12 (физик Ленинградского университета). Среди всех пар чисел, удовлетворющих неравенству $\log_{x^2 + y^2}(x + y) \geq 1$, найти те, у которых $y$ наиболее.

Пример 13 (мехмат Новосибирского университета). Для каждой $a$ среди всех точек плоскости, координаты которых $(x, y)$ удовлетворяют системе неравенств

$$\begin{align*} y - 2x &\geq 0, \\ -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1 - y &\geq 0, \end{align*}$$

найти точку с наиболее $y$.

В начале лекции лектор сформулировал известную теорему Коши, по которой среднее арифметическое неравных между собой положительных чисел больше их среднего геометрического.

В этот момент студента вызвал в деканат. Когда он возврался на лекцию, то еще за дверью условия, как лектор заканчивал формулировку задачи:

«Подсказку, что все корни уравнения не только действительны, но еще и положительные».

Когда студент вошел в аудиторio, то на доске все уже было стерто, кроме записи $x^{20} - 20x^{19} \dots +1 = 0$.

— Все ясно — сказал студент и назвал все корни уравнения, которые в его отсутствие записьвал лектор.

А вы сможете их назвать?