Геометрический смысл некоторых неравенств с двумя переменными

41

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

А. Я. МАРГУЛИС, Б. А. РАДУНСКИЙ

При изучении курса математики школьник часто приходит решать неравенства и системы неравенств с одним неизвестным. При этом геометрическая иллюстрация решения (в совокупности с методом интегралов) помогает им кратчайшим путем нахождения правильные решения.

Рассмотрим, например, неравенство
$$\log_2 (x^2 - 4x + 3) \leq 3.$$
Его решение совпада с решению системы двух неравенств с одним неизвестным
$$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 8 \end{cases}$$
(необходимо для существования логарифма),
(получается при потенцировании заданного неравенства).

Множество значений $x$, удовлетворяющих первому неравенству, есть совокупность двух интегралов
$$x < 1 \text{ и } x > 3,$$
а второму — отрезок
$$1 \leq x \leq 5$$
(это вытекает из свойств квадратного треxcчлена).

Отметив на числовой оси эти промежутки (рис. 1), мы видим, что множество значений $x$, удовлетворяющих системе неравенств, заполняет два получкрытых интеграла, $-1 \leq x < 1$ и $3 < x \leq 5$ (на рисунке они даны пунктом).

Для большей наглядности на самом рисунке отмечено, какие из концов интегралов принадлежат к области решения, а какие — нет.

Геометрическая иллюстрация оказылась здесь весма полезной. Ее роль еще больше возрастает при решении неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными.

42

Рассмотрим неравенства с двумя неизвестными вида

$$y - f(x) > 0.$$

(1)

Построим график функции $y = f(x)$ и возьмем произвольную точку $A'_1$ с абсциссой $x = x_0$ (рис. 2). Если при том же $x = x_0$ ее ordinата $y_1$ больше ordinаты $y_0$, соответствующей точки $A$ кривой $y = f(x)$, то точка $A'_1$ лежит над кривой. Точка $A'_1$ лежит под кривой $y = f(x)$, если ее ordinата $y_2$ меньше ordinаты $y_0$. Следовательно, координаты всех точек, лежащих ниже кривой $y = f(x)$, удовлетворяют неравенству $y < f(x)$, а координаты всех точек, лежащих выше кривой $y = f(x)$, удовлетворяют неравенству $y > f(x)$.

Таким образом, график функции $y = f(x)$ разбивает координатную плоскость на две части, в одной из которых выполняется неравенству $y - f(x) > 0$, а в другой $y - f(x) < 0$.

Введем следующое определение. Множество мощи плоскости называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя мощами $A$ и $B$ содержим все мощи отрезка $AB$.

Рассмотрим, например, внутреннюю часть любого треугольника, круга, квадрата. Можно показать, что эти множества являются выпуклыми.

Очевидно, что те части, на которые кривая $y = f(x)$ разбивает плоскость, могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (см. рис. 2).

Проиллюстрируем теперь на ряде примеров, как при помощи геометрических представлений можно решать неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными.

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = ax + b$ (2).

Графиком линейной функции $y = ax + b$ является прямая линия (рис. 3). Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости: верхнюю и нижнюю. В первой из них выполняется неравенство $y - (ax + b) > 0$, а во второй $y - (ax + b) < 0$. Заметим, что обе эти полуплоскости являются выпуклыми множествами.

43

Пример 1. Найти на координатной плоскости геометрической места точек, координаты которых удовлетворяют системе двух линейных неравенств (решить графические заданные системы неравенств):

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 2, \\ y < -\frac{1}{2}x + 1; \end{cases}$$

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 1; \\ y < -\frac{1}{2}x + 2, \end{cases}$$

$$\begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x + 1, \\ y \leq 2x - 2. \end{cases}$$

Решение. На рисунке 4 приведены графические решения данных неравенств. Если решение каждого из неравенств закрасить желтой или серой краской, то решением системы является часть плоскости, закрашенная обоими цветами. Из рисунка 4 видно, что система a) решений не имеет (рис. 4,a); решением системы b) является полуплоскость, лежащая над прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (рис. 4,б); решением системы b) является бесконечная полоса между прямыми $y = -\frac{1}{2}x + 1$ и $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (рис. 4,в); а решением системы г) является часть плоскости, лежащая внутри дважды закрашенного угла, включая его стороны (рис. 4,г).

Рис. 4 a, б, в, г.

45

$y = x + 1$, принадлежая область решения, проведена сплошной линий, а пряма $y = x + 2$, не принадлежая область решения, — пунктиром.

Пример 4. Решить графические неравенство $\log_{y-1}(x-2) < 1$.

Решен и е. Области допустимых значений (ОДЗ) неизвестных, очевидно, определяется системой неравенств

$$x > 2, y > 1, y \neq 2.$$

В соответствии с данной системой исключим вначале множество не может иметь решения. Для этого на рисунке 7 закрасием серой краской полуплоскость $x < 2$, полуплоскость $y < 1$, и пунктиром проведем прямую $y = 2$.

Рассмотрим теперь два случая:

a) $1 < y < 2$. Потенцируя исходное неравенство, получим $x - 2 > y - 1$ или $y < x - 1$.

b) При $y > 2$ получаем $x - 2 < y - 1, y > x - 1$.

Решения, соответствующие этим случаям, на рисунке 7 оказываны в зеленьй цвет.

Решите самостояльно примеры 5 и 6.

Пример 5. Решить графические неравенство $\log_{y-1}(y - x + 2) > 0$ (см. рис. 8).

Пример 6. Решить графические неравенство $\log_x \log_y y > 0$ (см. рис. 9).

Рассмотрим теперь квадратный треxcхлен

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

Как известно, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола с осью симметрины, параллельной оси ordinат, и с вершиной в точке $B\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$, где $D = b^2 - 4ac$.

График одного из квадратных трехчленов (при $a > 0$) схематически показан на рисунке 10. Этот график делит плоскость на две части, в одной из которых выполняется неравенство $y - (ax^2 + bx + c) > 0$, а в другой $y - (ax^2 + bx + c) < 0$. Читатель без труда

46

да заметит, что только одна из этих частей является выпуклым множеством.

Пример 7. Решить графические неравенство $\log_y(5x-x^2-6)>1$.

Решение и.e. Область допустимых значений определяется, очевидно, неравенствами

$$\begin{cases} 5x-x^2-6>0, \\ y>0, \\ y\neq 1. \end{cases}$$

Первое из этих неравенств эквивалентно неравенству $x^2-5x+6<0$. Его решения заполяют интервал $2<x<3$.

На рисунке 11 серым закрашены те части плоскости, где $x<2$ и $x>3$, и получилось $y<0$, а также исключены точки, лежащие на проведенной пунктром прямой $y=1$.

Рассмотрим два случая: $y>1$ и $0<y<1$.

a) $y>1$. Потенцируя исходное выражение, получаем не равенство $5x-x^2-6>y$, или $y-(-x^2+5x-6)<0$. Последнему неравенству удовлетворяют координаты всех точек, расположенных под параболю $y=-x^2+5x-6$, но ни одна из них не соответствует условиям $y>1$. Таким образом, при $y>1$ решений нет.

b) $0<y<1$. Аналогично получаем неравенство $5x-x^2-6<y$, т. е. $y-(-x^2+5x-6)>0$.

Очевидно, что решением является закрашенная на рисунке 11 зеленьм цветом область над параболю $y=-x^2+5x-6$.

Решите самостояльно примеры 8 и 9.

Пример 8. Решить графические неравенство $\sqrt{y}<x-1$ (см. рис. 12).

Пример 9. Решить графические неравенство (см. рис. 13)

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{y-x+3}}$$

Пример 10. Решить графические неравенство

$$\sqrt{1-(x-3)^2-(y-2)^2} < \sqrt{1-(x-4)^2-(y-2)^2}$$

Решение и.e. В данном случае ОДЗ определяется неравенствами

47

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0, \\ 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0. \end{align*}$$

или

$$\begin{align*} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1, \\ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1. \end{align*}$$

Уравнение $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 1$ является уравнением окружности единичного радиуса с центром в точке $O_1(3;2)$. Неравенству $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$ удовлетворяет все точки, удаленные от точки $O_1$ не более чем на единицу, т. е. все точки указаанного кругга, включая и его границу. Аналогично определяется и множество точки, координаты которых удовлетворяют второму неизвестных является общая часть двух кругов (рис. 14). Остается найти множество точки, для которых выполняется заданное неравенство. После оценных преобразований получим неравенства, которые в данной ОДЗ равносильны исходному:

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &< \\ < 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2, \\ (x - 4)^2 - (x - 3)^2 &< 0, \\ x &>\frac{7}{2}. \end{align*}$$

Таким образом, решение является закрашенная на рисунке 14 с ней краской области (часть ОДЗ, лежащая правее прямой $x = \frac{7}{2}$).

В заключение рассмотрим следующий пример.

Пример 11. Среди точки, координаты которых удовлетворяют условием $x + 2y \leq 3$, $2x - y \leq 1$, $x \geq 0$ и $y \geq 0$, найти такую точку, для которой выражение $x^2 + y^2$ будет наиболее точным.