Ý nghĩa hình học của một số bất đẳng thức với hai biến

41

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI HAI BIẾN

A. Ya. MARGULIS, B. A. RADUNSKY

Khi học môn toán, học sinh thường phải giải các bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức với một ẩn. Khi đó, minh họa hình học của lời giải (kết hợp với phương pháp các khoảng) giúp họ tìm được lời giải đúng bằng con đường ngắn nhất.

Chẳng hạn, xét bất đẳng thức
$$\log_2 (x^2 - 4x + 3) \leq 3.$$
Lời giải của nó trùng với lời giải của hệ hai bất đẳng thức với một ẩn
$$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 8 \end{cases}$$
(cần thiết để lôgarit tồn tại),
(nhận được khi lũy thừa hóa bất đẳng thức đã cho).

Tập các giá trị $x$ thỏa mãn bất đẳng thức thứ nhất là hợp của hai khoảng
$$x < 1 \text{ và } x > 3,$$
còn tập các giá trị thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai là đoạn
$$1 \leq x \leq 5$$
(điều này suy ra từ các tính chất của tam thức bậc hai).

Đánh dấu các khoảng này trên trục số (hình 1), ta thấy rằng tập các giá trị $x$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức gồm hai khoảng nửa kín, $-1 \leq x < 1$ và $3 < x \leq 5$ (trên hình chúng được biểu diễn bằng nét chấm).

Để trực quan hơn, ngay trên hình đã chỉ rõ đầu mút nào của các khoảng thuộc miền nghiệm, đầu mút nào không thuộc.

Minh họa hình học ở đây tỏ ra rất hữu ích. Vai trò của nó còn tăng lên khi giải các bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức với hai ẩn.

42

Xét các bất đẳng thức với hai ẩn có dạng

$$y - f(x) > 0.$$

(1)

Dựng đồ thị của hàm số $y = f(x)$ và lấy một điểm tùy ý $A'_1$ có hoành độ $x = x_0$ (hình 2). Nếu với cùng $x = x_0$, tung độ $y_1$ của nó lớn hơn tung độ $y_0$ của điểm tương ứng $A$ trên đường cong $y = f(x)$, thì điểm $A'_1$ nằm trên đường cong. Điểm $A'_1$ nằm dưới đường cong $y = f(x)$ nếu tung độ $y_2$ của nó nhỏ hơn tung độ $y_0$. Do đó, tọa độ của mọi điểm nằm dưới đường cong $y = f(x)$ thỏa mãn bất đẳng thức $y < f(x)$, còn tọa độ của mọi điểm nằm trên đường cong $y = f(x)$ thỏa mãn bất đẳng thức $y > f(x)$.

Như vậy, đồ thị của hàm số $y = f(x)$ chia mặt phẳng tọa độ thành hai phần, trong một phần bất đẳng thức $y - f(x) > 0$ được thỏa mãn, còn trong phần kia $y - f(x) < 0$.

Ta đưa ra định nghĩa sau. Một tập hợp các điểm trên mặt phẳng được gọi là lồi nếu cùng với bất kỳ hai điểm $A$ và $B$ nào, nó chứa mọi điểm của đoạn thẳng $AB$.

Chẳng hạn, xét phần bên trong của bất kỳ tam giác, hình tròn, hình vuông nào. Có thể chứng minh rằng các tập hợp này là lồi.

Hiển nhiên, các phần mà đường cong $y = f(x)$ chia mặt phẳng thành có thể vừa lồi vừa không lồi (xem hình 2).

Bây giờ ta sẽ minh họa bằng một số ví dụ cách giải các bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức hai ẩn nhờ các biểu diễn hình học.

Xét hàm số bậc nhất $f(x) = ax + b$ (2).

Đồ thị của hàm số bậc nhất $y = ax + b$ là một đường thẳng (hình 3). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng: nửa trên và nửa dưới. Trong nửa thứ nhất, bất đẳng thức $y - (ax + b) > 0$ được thỏa mãn, còn trong nửa thứ hai $y - (ax + b) < 0$. Lưu ý rằng cả hai nửa mặt phẳng này đều là các tập hợp lồi.

43

Ví dụ 1. Tìm trên mặt phẳng tọa độ quỹ tích các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ hai bất đẳng thức bậc nhất (giải bằng đồ thị các hệ bất đẳng thức đã cho):

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 2, \\ y < -\frac{1}{2}x + 1; \end{cases}$$

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 1; \\ y < -\frac{1}{2}x + 2, \end{cases}$$

$$\begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x + 1, \\ y \leq 2x - 2. \end{cases}$$

Lời giải. Hình 4 trình bày các nghiệm đồ thị của các bất phương trình đã cho. Nếu tô màu vàng hoặc xám nghiệm của từng bất phương trình, thì nghiệm của hệ là phần mặt phẳng được tô bởi cả hai màu. Từ hình 4 thấy rằng hệ a) không có nghiệm (hình 4,a); nghiệm của hệ b) là nửa mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (hình 4,б); nghiệm của hệ b) là dải vô hạn giữa các đường thẳng $y = -\frac{1}{2}x + 1$ và $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (hình 4,в); còn nghiệm của hệ г) là phần mặt phẳng nằm bên trong góc được tô hai lần, kể cả các cạnh của nó (hình 4,г).

Hình 4 a, б, в, г.

45

$y = x + 1$, thuộc miền nghiệm, được vẽ bằng nét liền, còn đường thẳng $y = x + 2$, không thuộc miền nghiệm, được vẽ bằng nét đứt.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình đồ thị $\log_{y-1}(x-2) < 1$.

Lời giải. Miền giá trị cho phép (ĐKXĐ) của các ẩn, hiển nhiên, được xác định bởi hệ bất phương trình

$$x > 2, y > 1, y \neq 2.$$

Phù hợp với hệ đã cho, trước hết ta loại tập hợp không thể chứa nghiệm. Để làm điều đó, trên hình 7 ta tô màu xám nửa mặt phẳng $x < 2$, nửa mặt phẳng $y < 1$, và vẽ bằng nét đứt đường thẳng $y = 2$.

Bây giờ xét hai trường hợp:

a) $1 < y < 2$. Lũy thừa hóa bất phương trình ban đầu, ta được $x - 2 > y - 1$ hoặc $y < x - 1$.

b) Với $y > 2$ ta được $x - 2 < y - 1, y > x - 1$.

Các nghiệm tương ứng với những trường hợp này được biểu diễn trên hình 7 bằng màu xanh lá.

Hãy tự giải các ví dụ 5 và 6.

Ví dụ 5. Giải bất đẳng thức đồ thị $\log_{y-1}(y - x + 2) > 0$ (xem hình 8).

Ví dụ 6. Giải bất đẳng thức đồ thị $\log_x \log_y y > 0$ (xem hình 9).

Bây giờ xét tam thức bậc hai

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

Như đã biết, đồ thị của hàm số $y = ax^2 + bx + c$ là một parabol có trục đối xứng song song với trục tung và có đỉnh tại điểm $B\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$, trong đó $D = b^2 - 4ac$.

Đồ thị của một trong các tam thức bậc hai (khi $a > 0$) được biểu diễn sơ đồ trên hình 10. Đồ thị này chia mặt phẳng thành hai phần, trong một phần bất đẳng thức $y - (ax^2 + bx + c) > 0$ đúng, còn trong phần kia thì $y - (ax^2 + bx + c) < 0$. Độc giả không khó

46

nhận thấy rằng chỉ một trong các phần này là một tập lồi.

Ví dụ 7. Giải bất đẳng thức đồ thị $\log_y(5x-x^2-6)>1$.

Lời giải. Miền giá trị cho phép được xác định, hiển nhiên, bởi các bất đẳng thức

$$\begin{cases} 5x-x^2-6>0, \\ y>0, \\ y\neq 1. \end{cases}$$

Bất đẳng thức thứ nhất trong các bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức $x^2-5x+6<0$. Các nghiệm của nó lấp đầy khoảng $2<x<3$.

Trong hình 11, những phần của mặt phẳng mà $x<2$ và $x>3$ được tô xám, và nhận được $y<0$, đồng thời loại trừ các điểm nằm trên đường thẳng $y=1$ vẽ bằng nét chấm.

Xét hai trường hợp: $y>1$ và $0<y<1$.

a) $y>1$. Lũy thừa biểu thức ban đầu, ta được bất đẳng thức $5x-x^2-6>y$, hay $y-(-x^2+5x-6)<0$. Bất đẳng thức sau được thỏa mãn bởi tọa độ của mọi điểm nằm dưới parabol $y=-x^2+5x-6$, nhưng không điểm nào trong số đó thỏa điều kiện $y>1$. Vậy, khi $y>1$ không có nghiệm.

b) $0<y<1$. Tương tự, ta được bất đẳng thức $5x-x^2-6<y$, tức là $y-(-x^2+5x-6)>0$.

Rõ ràng, nghiệm là miền được tô màu xanh lục trên hình 11, nằm phía trên parabol $y=-x^2+5x-6$.

Hãy tự giải các ví dụ 8 và 9.

Ví dụ 8. Giải bất phương trình bằng đồ thị $\sqrt{y}<x-1$ (xem hình 12).

Ví dụ 9. Giải bất phương trình bằng đồ thị (xem hình 13)

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{y-x+3}}$$

Ví dụ 10. Giải bất phương trình bằng đồ thị

$$\sqrt{1-(x-3)^2-(y-2)^2} < \sqrt{1-(x-4)^2-(y-2)^2}$$

Lời giải tức là. Trong trường hợp này, ĐKXĐ được xác định bởi các bất phương trình

47

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0, \\ 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0. \end{align*}$$

hoặc

$$\begin{align*} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1, \\ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1. \end{align*}$$

Phương trình $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 1$ là phương trình đường tròn bán kính đơn vị có tâm tại điểm $O_1(3;2)$. Bất phương trình $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$ được thỏa bởi mọi điểm cách điểm $O_1$ không quá một đơn vị, tức là mọi điểm của hình tròn đã nêu, kể cả biên của nó. Tương tự cũng xác định được tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình thứ hai, miền xác định của bất phương trình ban đầu là phần chung của hai hình tròn (hình 14). Còn lại là tìm tập hợp các điểm mà tại đó bất phương trình đã cho được thỏa mãn. Sau các biến đổi tương đương, ta nhận được các bất phương trình mà trong ĐKXĐ này tương đương với bất phương trình ban đầu:

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &< \\ < 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2, \\ (x - 4)^2 - (x - 3)^2 &< 0, \\ x &>\frac{7}{2}. \end{align*}$$

Như vậy, nghiệm là miền được tô màu xanh lam trên hình 14 (phần ĐKXĐ nằm về bên phải đường thẳng $x = \frac{7}{2}$).

Cuối cùng, xét ví dụ sau.

Ví dụ 11. Trong các điểm có tọa độ thỏa mãn các điều kiện $x + 2y \leq 3$, $2x - y \leq 1$, $x \geq 0$ và $y \geq 0$, hãy tìm điểm sao cho biểu thức $x^2 + y^2$ nhỏ nhất.