Bài toán về tính chia hết của số dạng АБАБАБ cho 7

Kvant 1970, số 4 tr. 24, 26, 27 Thẻ QX87

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5-6-mini). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

CÁC BÀI TOÁN

Giả sử mỗi chàng trai làm bạn với ít nhất $m$ cô gái, còn mỗi cô gái — với không quá $m$ chàng trai ( $m$ là một số tự nhiên tùy ý). Chứng minh rằng trong trường hợp này điều kiện của định lý về mai mối được thỏa mãn.
Các học sinh trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ đã giải các bài toán. Hóa ra mỗi học sinh giải 4 bài toán và mỗi bài toán được bốn học sinh giải. Chứng minh rằng có thể tổ chức trình bày lời giải các bài toán sao cho mỗi học sinh trình bày đúng một bài toán và tất cả các bài toán đều được trình bày (mỗi bài một lần).
Cho một mạng lưới giao thông. Tập hợp các đỉnh chứa lối ra nhưng không chứa lối vào được gọi là một lát cắt của mạng. Khả năng thông qua của lát cắt $B$ được gọi là số $c(B)$ , bằng số cung đi vào $B$ . Nếu $\phi$ ký hiệu một luồng, thì $|\phi|$ sẽ ký hiệu độ lớn của luồng. Chứng minh rằng với mọi luồng $\phi$ và mọi lát cắt $B$ đều đúng bất đẳng thức: $|\phi| \leq c(B)$ .
Lát cắt $B$ được gọi là tối thiểu nếu khả năng thông qua $c(B)$ của nó là nhỏ nhất trong các khả năng thông qua của mọi lát cắt. Suy ra bằng thuật toán Ford—Fulkerson rằng khả năng thông qua của lát cắt tối thiểu bằng độ lớn của luồng cực đại — max $|\phi| = \min c(B)$ (định lý Ford—Fulkerson).
Kiểm tra rằng nếu $\phi$ là luồng cực đại, thì lát cắt thu được bằng hợp của tất cả các đỉnh không được đánh dấu (các dấu được thực hiện dựa trên luồng $\phi$ , theo phương pháp Ford—Fulkerson) là lát cắt cực tiểu.
Chứng minh rằng hợp và giao của bất kỳ hai lát cắt cực tiểu nào cũng lại là một lát cắt cực tiểu.
Chứng minh rằng lát cắt gồm các đỉnh không được đánh dấu (đối với luồng cực đại) là hợp của tất cả các lát cắt cực tiểu. Từ đó suy ra rằng lát cắt này không phụ thuộc vào việc các luồng được thực hiện bằng lát cắt cực đại nào.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. Kofman, R. For, Nghiên cứu tác nghiệp, «Mir», 1966.
K. Berge, Lý thuyết đồ thị và ứng dụng của nó, IL, 1962.
L. Ford, D. Fulkerson, Luồng trong mạng, «Mir», 1966.
O. Ore, Lý thuyết đồ thị, «Nauka», 1968.
D. Gale, Lý thuyết các mô hình kinh tế tuyến tính, IL, 1963.

PARIS CỦA CÁC NHÀ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ HỌC

Ở Paris có nhiều tòa nhà gắn với ký ức về các nhà khoa học kiệt xuất của những thế kỷ trước. Chẳng hạn Louvre, từng là thành lũy của các vị vua, ngay trước cuộc cách mạng năm 1789 đã trở thành nơi họp của các viện sĩ. Mặc dù sau đó, dưới thời Napoléon I, Louvre trở thành bảo tàng, nhưng khi ấy tại đây vẫn có một số nhà khoa học được bố trí ở. Còn lưu lại một bức thư của Legendre, trong đó nhà toán học này khẩn khoản xin được ở tại phần cũ của cung điện.

Ở Paris có những con phố mang tên các nhà toán học, vật lý học và thiên văn học, và không phải tất cả những nhà khoa học này đều là người Pháp. Những tên đó là: Legendre, Réaumur, Pascal, Pierre Curie, Marie Curie, Lambert, Buffon, Franklin, Carnot, Arago, Descartes, Leibniz…

Câu «Số $z$ là số lớn nhất trong hai số $x$ và $y$ » có thể được viết bằng công thức như sau:

$z = \frac{1}{2} (|x - y| + x + y).$

Còn câu «Số $u$ là số lớn nhất trong ba số $x, y$ và $z$ » thì viết như thế nào?

Chứng minh rằng từ АБАБАБ chia hết cho 7 (А và Б là các chữ số tùy ý).

CÂU HỎI BÓNG ĐÁ

Như đã biết, các trận đấu cúp bóng đá được tiến hành theo cái gọi là hệ đấu loại Olympic: đội thua bị loại, nếu hòa thì đấu lại.

Năm đó không có trận đấu lại, và có 75 đội tham gia thi đấu.

Đã diễn ra bao nhiêu trận đấu cúp?

F19. Hình dạng của các bình thông nhau được cho trên hình 1. Nước sẽ chảy theo hướng nào qua ống nối hai bình nếu đun nóng nước trong một trong hai bình?

F20. Một lỗ được khoan song song với trục của hình trụ bán kính $R$ , cách tâm của nó một khoảng $\frac{R}{2}$ . Bán kính lỗ bằng $\frac{R}{2}$ . Hình trụ nằm trên một tấm ván được nâng chậm một đầu lên (hình 2). Tìm góc nghiêng giới hạn của tấm ván mà tại đó hình trụ vẫn còn ở trạng thái cân bằng. Hệ số ma sát giữa hình trụ và tấm ván bằng 0,2.

Olympic Vật lý Toàn Liên bang từ xa, năm 1967.

F21. Các trục của rôto của hai động cơ điện một chiều giống hệt nhau được nối cứng với nhau. Nếu nối các cuộn dây rôto với những nguồn điện giống nhau có suất điện động ε, thì tốc độ góc quay của các rôto khi không tải bằng $\omega_0$ ; nếu hãm các động cơ để chúng không quay, thì dòng điện qua các cuộn dây rôto bằng $I_0$ . Một trong các nguồn điện được chuyển mạch sao cho các mômen quay của các động cơ ngược chiều nhau. Cần tác dụng mômen ngoài nào lên trục các rôto để chúng quay với tốc độ góc cho trước $\omega$ ? Ma sát trong các động cơ có thể bỏ qua; từ trường của stato được tạo ra bởi nam châm vĩnh cửu.

Olympic Vật lý Toàn Liên bang lần III, năm 1969.

F22. Hai người thợ rèn gia công một miếng sắt. Trước hết, họ đặt nó lên đe và lần lượt dùng búa đập, sau đó treo nó lên trần nhà và đồng thời đập từ hai phía. Lực đập của mỗi người thợ rèn trong cả hai trường hợp đều như nhau. Trong trường hợp nào miếng sắt sẽ nóng lên nhiều hơn sau một cú đập?

A. M. Budker

F23. Trên mặt phẳng nằm ngang có hai ống mỏng giống hệt nhau, mỗi ống có khối lượng $m$ . Trục của chúng song song với nhau, bán kính bằng $R$ . Ban đầu một ống đứng yên, còn ống thứ hai lăn không trượt về phía ống thứ nhất cho đến khi va chạm. Vận tốc chuyển động tịnh tiến của ống bằng $v_0$ . Vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc của các ống phụ thuộc vào thời gian như thế nào (hãy vẽ đồ thị)? Hệ số ma sát trượt của các ống với mặt phẳng nằm ngang bằng $k$ , ma sát giữa các ống khi va chạm có thể bỏ qua, va chạm hoàn toàn đàn hồi.

Olympiad Vật lý toàn Liên Xô lần thứ III, năm 1969.

M16. Chứng minh rằng đa thức $p(x)$ với các hệ số nguyên, nhận giá trị 1 tại ba giá trị nguyên khác nhau của $x$ , không thể có bất kỳ nghiệm nguyên nào.

M17. Một người nông dân, đến chỗ ngã ba của hai con đường tạo với nhau một góc $60^\circ$ , hỏi: «Làm thế nào để đi đến làng $NN$ ?» Người ta trả lời: «Đi theo con đường bên trái đến làng $N$ — cách đây tám dặm, — ở đó anh sẽ thấy một con đường lớn thẳng tắp rẽ sang phải theo góc vuông — đó chính là đường đến $NN$ . Cũng có thể đi theo cách khác: bây giờ đi theo con đường bên phải; khi ra đến đường sắt, — như vậy là đã đi được một nửa quãng đường; tại đây rẽ trái và đi thẳng theo đường ray đến tận $NN$ . — «Thế đường nào sẽ ngắn hơn?»—《Đằng nào cũng vậy, đi cách này hay cách kia, chẳng có gì khác nhau». Và người nông dân đi theo con đường bên phải.

Anh ta sẽ phải đi bao nhiêu dặm mới đến $NN$ ? Nhiều hơn mười hay ít hơn? Còn nếu đi thẳng từ ngã ba đến $NN$ ? (Tất cả các con đường đều được coi là thẳng.)đường? (Tất cả các con đường đều được coi là thẳng.)

M18. a) Chứng minh rằng đối với mọi điểm $M$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ , một trong ba đoạn thẳng $MA, MB, MC$ bằng tổng của hai đoạn thẳng còn lại.

Ba đường tròn bằng nhau $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ đôi một tiếp xúc với nhau, và có một đường tròn $\gamma$ ngoại tiếp chúng, tiếp xúc với cả ba đường tròn: $\gamma_1, \gamma_2$ và $\gamma_3$ . Chứng minh rằng đối với mọi điểm $M$ của đường tròn $\gamma$ , tiếp tuyến kẻ từ điểm $M$ đến một trong ba đường tròn $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ bằng tổng các tiếp tuyến kẻ từ điểm $M$ đến hai đường tròn còn lại.

M19. Trong một dãy vô hạn các ô thần kinh, mỗi ô có thể ở một trong hai trạng thái: «nghỉ» và «hưng phấn». Nếu tại thời điểm hiện tại một ô hưng phấn, thì nó gửi tín hiệu, tín hiệu này sau một đơn vị thời gian (chẳng hạn, sau một phần nghìn giây) đến được cả hai ô lân cận của nó. Mỗi ô hưng phấn khi và chỉ khi nó nhận được tín hiệu từ một trong các ô lân cận;

nếu tín hiệu đến đồng thời từ hai phía, thì chúng triệt tiêu lẫn nhau và ô đó không hưng phấn. Ví dụ, nếu tại thời điểm ban đầu $t=0$ làm hưng phấn ba ô lân cận, còn các ô khác để ở trạng thái nghỉ, thì sự hưng phấn sẽ lan truyền như chỉ ra trên hình 3). (Các ô hưng phấn — màu xanh).

Giả sử tại thời điểm ban đầu chỉ có một ô được làm hưng phấn. Hỏi sau 15 phần nghìn giây sẽ có bao nhiêu ô ở trạng thái hưng phấn? sau 65 phần nghìn giây? sau 1000 phần nghìn giây? Nói chung sau $t$ phần nghìn giây?

Điều gì sẽ xảy ra nếu dãy không vô hạn mà chỉ chứa tổng cộng $N$ ô, nối thành một vòng tròn (hình 4), — sự hưng phấn có duy trì vô hạn lâu hay sẽ tắt dần?

H. Vasilyev

M20. Có thể chia một tam giác đều thành một triệu đa giác lồi sao cho mọi đường thẳng cắt không quá bốn mươi trong số các đa giác này không? (Ta nói rằng một đường thẳng cắt một đa giác nếu nó có ít nhất một điểm chung với đa giác đó.)

Olympiad Toán học Moskva lần thứ XXXI

*) Giả thiết này không phản ánh hành vi thực tế của các tế bào thần kinh trong đời sống của các sinh vật.