Bài toán bóng đá

Kvant 1970, số 4 tr. 24, 26, 27 Thẻ ROMN

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

BÀI TẬP

Giả sử mỗi chàng trai kết bạn với không ít hơn $m$ cô gái, còn mỗi cô gái — không nhiều hơn $m$ chàng trai ( $m$ — một số tự nhiên tùy ý). Chứng minh rằng trong trường hợp này điều kiện của định lý về hôn phối được thỏa mãn.
Các học sinh trong câu lạc bộ đã giải các bài toán. Hóa ra mỗi em đã giải 4 bài toán và mỗi bài toán được bốn học sinh giải. Chứng minh rằng có thể tổ chức việc trình bày lời giải sao cho mỗi học sinh trình bày đúng một bài toán và tất cả các bài toán đều được trình bày lời giải (mỗi bài một lần).
Cho một mạng vận tải. Tập các đỉnh chứa lối ra, nhưng không chứa lối vào, được gọi là một lát cắt của mạng. Khả năng thông qua của lát cắt $B$ là số $c(B)$ , bằng số cung đi vào $B$ . Nếu ký hiệu dòng chảy là $\phi$ , thì $|\phi|$ sẽ ký hiệu độ lớn của dòng chảy. Chứng minh rằng với mọi dòng chảy $\phi$ và mọi lát cắt $B$ đều đúng bất đẳng thức: $|\phi| \leq c(B)$ .
Lát cắt $B$ được gọi là tối thiểu nếu khả năng thông qua $c(B)$ của nó là nhỏ nhất trong các khả năng thông qua của mọi lát cắt. Dùng thuật toán Ford—Fulkerson suy ra rằng khả năng thông qua của lát cắt tối thiểu bằng độ lớn của dòng chảy cực đại — max $|\phi| = \min c(B)$ (định lý Ford—Fulkerson).
Kiểm tra rằng nếu $\phi$ là một luồng cực đại, thì lát cắt thu được bằng hợp của tất cả các đỉnh không được đánh dấu (các dấu được đặt theo luồng $\phi$ , bằng phương pháp Ford—Fulkerson) là tối thiểu.
Chứng minh rằng hợp và giao của bất kỳ hai lát cắt tối thiểu nào cũng lại là các lát cắt tối thiểu.
Chứng minh rằng lát cắt gồm các đỉnh không được đánh dấu (đối với luồng cực đại) là hợp của tất cả các lát cắt tối thiểu. Suy ra từ đó rằng lát cắt này không phụ thuộc vào luồng cực đại nào đã được dùng để lập các luồng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. Kofman, R. Faure, Nghiên cứu tác nghiệp, «Mir», 1966.
C. Berge, Lý thuyết đồ thị và ứng dụng của nó, IL, 1962.
L. Ford, D. Fulkerson, Luồng trong mạng, «Mir», 1966.
O. Ore, Lý thuyết đồ thị, «Nauka», 1968.
D. Gale, Lý thuyết các mô hình kinh tế tuyến tính, IL, 1963.

PARIS CỦA CÁC NHÀ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ HỌC

Ở Paris, nhiều tòa nhà gắn liền với ký ức về các nhà khoa học xuất sắc của những thế kỷ trước. Cung Louvre, vốn từng là thành trì của các vua chúa, ngay trước cuộc cách mạng năm 1789 đã trở thành nơi họp của các viện sĩ. Tuy về sau, dưới thời Napoléon I, Louvre trở thành bảo tàng, nhưng ngay cả khi đó một số nhà khoa học vẫn được bố trí ở trong đó. Còn lưu giữ được lá thư của Legendre, trong đó nhà toán học này khẩn cầu được ở tại phần cũ của cung điện.

Ở Paris có những con phố mang tên các nhà toán học, vật lý học và thiên văn học, mà không phải tất cả các nhà khoa học này đều là người Pháp. Đó là những tên: Legendre, Réaumur, Pascal, Pierre Curie, Marie Curie, Lambert, Buffon, Franklin, Carnot, Arago, Descartes, Leibniz…

Mệnh đề «Số $z$ là số lớn hơn trong hai số $x$ và $y$ » có thể viết bằng công thức như sau:

$z = \frac{1}{2} (|x - y| + x + y).$

Còn viết mệnh đề «Số $u$ là số lớn nhất trong ba số $x, y$ và $z$ » như thế nào?

Chứng minh rằng số ABAБАБ chia hết cho 7 (A và B là các chữ số bất kỳ).

CÂU HỎI BÓNG ĐÁ

Như đã biết, các trận đấu cúp bóng đá được tổ chức theo cái gọi là hệ thống Olympic: đội thua bị loại, nếu hòa thì đá lại.

Năm đó không có trận đá lại, và có 75 đội tham gia.

Đã có bao nhiêu trận đấu cúp được diễn ra?

F19. Hình dạng của các bình thông nhau được chỉ ra ở hình 1. Nước sẽ chảy theo hướng nào qua ống nối các bình, nếu đun nóng nước trong một trong các bình?

F20. Song song với trục của một hình trụ bán kính $R$ , ở khoảng cách $\frac{R}{2}$ từ tâm của nó, người ta khoan một lỗ. Bán kính lỗ bằng $\frac{R}{2}$ . Hình trụ đặt trên một tấm ván, được từ từ nâng lên ở một đầu (hình 2). Tìm góc nghiêng giới hạn của tấm ván mà tại đó hình trụ vẫn còn ở trạng thái cân bằng. Hệ số ma sát giữa hình trụ và tấm ván bằng 0,2.

Olympiad toàn Liên bang qua thư, năm 1967.

F21. Trục rôto của hai động cơ điện một chiều giống hệt nhau được nối cứng với nhau. Nếu nối vào các cuộn dây rôto những nguồn điện giống nhau có suất điện động ε, thì vận tốc góc quay của các rôto khi không tải bằng $\omega_0$ ; nếu hãm các động cơ để chúng không quay, thì dòng điện $I_0$ chạy qua các cuộn dây rôto. Một trong các nguồn điện được chuyển mạch sao cho mômen quay của các động cơ ngược chiều nhau. Cần tác dụng mômen ngoài nào lên trục rôto để chúng quay với vận tốc góc cho
trước $\omega$ ? Ma sát trong các động cơ không đáng kể; từ trường của stato được tạo bởi nam châm vĩnh cửu.

Olympiad vật lý toàn Liên bang lần thứ III, năm 1969.

Ф22. Hai người thợ rèn rèn một miếng sắt. Lúc đầu họ đặt nó lên đe và lần lượt dùng búa đập, sau đó treo nó lên trần và đồng thời đập từ hai phía. Lực đập của mỗi người thợ rèn trong cả hai trường hợp là như nhau. Trong trường hợp nào miếng sắt nóng lên nhiều hơn sau một cú đập?

А. М. Будкер

Ф23. Trên một mặt phẳng ngang có hai ống mỏng giống nhau, mỗi ống có khối lượng $m$ . Trục của chúng song song, còn bán kính bằng $R$ . Ban đầu một ống đứng yên, còn ống kia lăn không trượt theo hướng về phía ống thứ nhất cho đến khi va chạm. Vận tốc tịnh tiến của ống bằng $v_0$ . Các vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc quay của các ống phụ thuộc vào thời gian như thế nào (hãy vẽ đồ thị)? Hệ số ma sát trượt của các ống với mặt phẳng ngang bằng $k$ , ma sát giữa các ống khi va chạm nhỏ không đáng kể, va chạm hoàn toàn đàn hồi.

Olympiad Vật lí toàn Liên bang lần thứ III, năm 1969.

М16. Chứng minh rằng đa thức $p(x)$ với các hệ số nguyên, nhận giá trị 1 tại ba giá trị nguyên khác nhau của $x$ , không thể có một nghiệm nguyên nào.

М17. Một người nông dân, đến chỗ rẽ của hai con đường tạo với nhau góc $60^\circ$ , hỏi: “Đi đến làng $NN$ thế nào?” Người ta trả lời ông: “Đi theo đường bên trái đến làng $N$ — cách đây tám verst — ở đó ông sẽ thấy một con đường lớn bằng phẳng rẽ sang phải vuông góc — đó chính là đường đến $NN$ . Cũng có thể đi theo đường khác: bây giờ theo đường bên phải; khi nào ra đến đường sắt, tức là ông đã đi được nửa đường; ở đó rẽ trái và đi thẳng theo tà vẹt đến tận $NN$ .” — “Thế đường nào sẽ ngắn hơn?” — “Như nhau cả, đi cách nào cũng thế, không có khác biệt gì.” Và người nông dân đi theo đường bên phải.

Ông sẽ phải đi bao nhiêu verst đến $NN$ ? Hơn mười hay ít hơn? Còn nếu đi thẳng từ chỗ rẽ đến $NN$ ? (Mọi con đường đều được coi là thẳng.)

M18. a) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ , một trong ba đoạn thẳng $MA, MB, MC$ bằng tổng của hai đoạn còn lại.

Ba đường tròn bằng nhau $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ đôi một tiếp xúc với nhau, và có một đường tròn $\gamma$ ngoại tiếp chúng, tiếp xúc với cả ba đường tròn: $\gamma_1, \gamma_2$ và $\gamma_3$ . Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ trên đường tròn $\gamma$ , tiếp tuyến kẻ từ điểm $M$ đến một trong ba đường tròn $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ bằng tổng các tiếp tuyến kẻ từ điểm $M$ đến hai đường tròn còn lại.

M19. Trong một dãy vô hạn các tế bào thần kinh, mỗi tế bào có thể ở một trong hai trạng thái: “nghỉ” và “hưng phấn”. Nếu tại một thời điểm nào đó một tế bào hưng phấn, thì nó gửi một tín hiệu, sau một đơn vị thời gian (chẳng hạn, sau một mili giây) tín hiệu này đến cả hai tế bào kề với nó. Mỗi tế bào hưng phấn khi và chỉ khi nó nhận được tín hiệu từ một trong các tế bào kề;

nếu tín hiệu đến đồng thời từ hai phía, thì chúng triệt tiêu nhau, và tế bào không hưng phấn. Chẳng hạn, nếu tại thời điểm ban đầu $t=0$ làm hưng phấn ba tế bào kề nhau, còn các tế bào khác để ở trạng thái nghỉ, thì sự hưng phấn sẽ lan truyền như hình 3). (Các tế bào hưng phấn — màu xanh).

Giả sử tại thời điểm ban đầu chỉ có một tế bào hưng phấn. Sau 15 mili giây sẽ có bao nhiêu tế bào ở trạng thái hưng phấn? sau 65 mili giây? sau 1000 mili giây? nói chung sau $t$ mili giây?

Điều gì xảy ra nếu dãy không vô hạn mà chỉ gồm $N$ tế bào, nối thành một vòng tròn (hình 4), — sự hưng phấn có được duy trì vô hạn hay sẽ tắt dần?

H. Vasilyev

M20. Có thể chia một tam giác đều thành một triệu đa giác lồi sao cho bất kỳ đường thẳng nào cũng cắt không quá bốn mươi đa giác trong số đó không? (Ta nói rằng một đường thẳng cắt một đa giác nếu nó có với đa giác ấy ít nhất một điểm chung.)

Olympiad Toán học Moskva lần thứ XXXI

*) Giả thiết này không phản ánh thực tế hành vi của các tế bào trong hệ thần kinh của các sinh vật sống.