Chuyện xảy ra trong buổi giảng

48

Lời giải. Bằng cách giải đồ thị hệ bất đẳng thức

$$x + 2y \leq 3, \quad 2x - y \leq 1, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0$$

ta tìm được tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn những điều kiện đã cho. Từ hình 15 thấy rằng đó là tứ giác OABC. (Tọa độ các đỉnh của nó dễ dàng được xác định từ các phương trình của các đường thẳng biên và được chỉ ra trên chính hình vẽ đó.)

Bây giờ bài toán của chúng ta được phát biểu như sau. Trong số các điểm của tứ giác AOBC, hãy tìm điểm sao cho biểu thức $x^2 + y^2$ là nhỏ nhất. Nhưng ta biết rằng biểu thức $x^2 + y^2$ xác định bình phương khoảng cách từ điểm có tọa độ $(x, y)$ đến gốc tọa độ. Do đó, bài toán quy về việc tìm trong tứ giác OABC điểm gần gốc tọa độ nhất. Rõ ràng điểm đó là điểm $C\left(0; \frac{3}{2}\right)$. Hãy chứng minh!

Hãy tự giải hai bài toán dạng này (các bài toán này được đưa ra trong các kỳ thi viết tuyển sinh môn toán năm 1968).

Ví dụ 12 (khoa vật lý Đại học Leningrad). Trong tất cả các cặp số thỏa mãn bất đẳng thức $\log_{x^2 + y^2}(x + y) \geq 1$, hãy tìm những cặp có $y$ lớn nhất.

Ví dụ 13 (khoa cơ học và toán học Đại học Novosibirsk). Với mỗi $a$, trong tất cả các điểm của mặt phẳng có tọa độ $(x, y)$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức

$$\begin{align*} y - 2x &\geq 0, \\ -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1 - y &\geq 0, \end{align*}$$

hãy tìm điểm có $y$ lớn nhất.

Ở đầu bài giảng, giảng viên đã phát biểu định lý Cauchy nổi tiếng, theo đó trung bình cộng của các số dương khác nhau từng đôi một lớn hơn trung bình nhân của chúng.

Đúng lúc đó sinh viên được gọi lên phòng đào tạo. Khi anh ta quay trở lại bài giảng, thì ngay ngoài cửa đã nghe thấy điều kiện của bài toán mà giảng viên đang kết thúc việc phát biểu:

«Gợi ý rằng tất cả các nghiệm của phương trình không những là số thực mà còn là số dương».

Khi sinh viên bước vào giảng đường, trên bảng mọi thứ đã bị xóa sạch, chỉ còn lại dòng $x^{20} - 20x^{19} \dots +1 = 0$.

— Mọi thứ đều rõ ràng — sinh viên nói và nêu ra tất cả các nghiệm của phương trình mà trong thời gian anh ta vắng mặt giảng viên đã ghi lại.

Còn bạn có thể nêu ra chúng không?