[Объявление о приёме в школу-интернат при ЛГУ]

Квант 1970, №4 с. 51, 53, 54 Тег D0AG

Доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел $a$ со следующими свойствами: число $z = n^4 + a$ не является простым или для какого натурального $n$ (ГДР, 5 очков).
Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — действительные постоянные, $x$ — действительное переменное и
$f(x) = \cos(a_1+x) + \frac{\cos(a_2+x)}{2} + \frac{\cos(a_3+x)}{2^2} + \dots + \frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}.$
Доказать, что из $f(x_1) = f(x_2) = 0$ следует, что $x_1 - x_2 = m$ , где $m$ — целое число (Венерия, 7 очков).
Для каждого значения $k = 1, 2, 3, 4, 5$ найти необходимые и достаточно условия, которые должны удовлетворять число $a > 0$ для того, чтобы существовал терраэр, $k$ ребер которого имеют длину $a$ , а остальные $6 - k$ ребер — длину 1 (Полыша, 7 очков).

Во второй день были предложены задачи:

Полуокружность $\gamma$ построена на диаметре $AB$ . Точка $C$ лежит на $\gamma$ и отличают $A$ и $B$ . Ортогonalную проекцию $C$ на $AB$ обозначим через $D$ . Расмотрим три окружности $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ , имеющие $AB$ в качестве общей касательной: из них $\gamma_1$ вписана в треугольник $ABC$ , $\gamma_2$ и $\gamma_3$ обе касаются отрезка $CD$ и $\gamma$ . Доказать, что $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ имеют вторую общую касательную (Голландия, 6 очков).
В плоскости данных $n > 4$ точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Показать, что можно найти не менее $C_n^2 - 3$ выпуклых четырехугольников с вершинами в четырех из данных точек (Монголия, 7 очков).
Доказать, что если $x_1 > 0, x_2 > 0$ и $x_1y_1 - z_1^2 > 0, x_2y_2 - z_2^2 > 0$ , то
$\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1-z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1 - z_1^2} + \frac{1}{x_2y_2 - z_2^2}.$
Установить необходимые и достаточно условия, при которых в данной неравенстве имеет место равенство (ССCP, 8 очков).
Н. С. Петраков

Школа-интернат при ЛГУ принимает успешно окончивших сведений и восьмой класс общеобразовательной школи и проявивших способности к изучению естественных предметов, проживающих в Архангельской, Волгодской, Калининградской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Карельской и Коми АССР, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР.

Для поступления в восьмой класс школьи-интерната необходимо сделать конкуренный экзамен по математике (письменно) и проити собственование с представлениями приемной комиссии (с физиком, математиком или биологом).

В восьмые классы принимаются учащся, применущественно проживающие в сельской местности, в рабочих поселках, небольших городах Северо-Запада.

Поступление в девятый класс сделают письменный экзамен по математике, устный по физике. Поступление на физико-mатематическую специализацию проходят собственание по математике, на химico-biolогическую — либо по химии, либо по биологии.

Вступительные экзамены проходят во время весенних каникул одновременно с областным (песпубликанским) туром физико-mатематической, химической и биологической олимпiadы, а также в июне в области иеспубликанских центрах среди кандидатов, отображенных организами народного образования.

Желание участовать в конкурсных экзаменах предметов в органы народного образования (ОБЛОНО или Министерство просвещения Республики):

Рекомендацию педагогического совета своей школе.

Характеристику (утвержденную педагогическую советом).

Заявление родитель или лице их заменяющих.

Medицинский справку (форму № 26).

Вопрос о зачислении в интернат решается в приемной комиссии в Ленинграде. Решение приемной комиссии сообщается до 10 июля.

Наш адрес: Ленинград, П—228, улца Савушкина, 61. Специализированная школа-интернат при Ленинградском университете.

Первоначальное знакомство с Прагой было очень непродолжительным. Уже через несколько часов после приезда нас посадили в позед Прага — Броно и пожелали успеха. Правда, с небольшой оговоркой: «Только не обгоните чехословацукоманду!»

День был солнечный, и мы всю дорогу провели у окошек. Красивые темные рощи на светлых зеленьх склонах холодов сменялись уходящими вверх синими скалами — очень красивая мирная страна. Путешествие было приятным, но недолгим. Всего четыре часа в позеде, и мы в Броно.

Хозяева олимпиды всячески старались развлечь своих гостей. Накануне совершенняли участков подняли взили по Броно, показавали замки и другие достопримечательности города. В автобусе мы понемогу знакомлись с ребятами из других делегатий — поляками, румынами, немцами. Обнаружили, что на олимпиду приехала одна девочка — член румынской комнаты. Велся ожидленный разговор (смесь англійского и русского).

А вечером — торжественное открытие III Международной олимпиды *. Обявляется регламент совершенняния: будет два тура, перый — теоретический, второй — экспериментальный. На теоретическом предлагаются четыре задачи (по механике, термодинамике, электричеству и оптике), на экспериментальном — одна. Продолжительность каждой тура — пять часов. Оцениваются задачи по всемубалловой системе. На втором туре учитывает выполнение как экспериментальной, так и теоретической части работы. Максимальное количество очков, которое можно набрать — 48. Заранее обявляется, сколько очков надо иметь, чтобы получить пер-

*) В ней прияли участные школьники Болгарии, Венгрии, ГДР, Польщи, Чехословаки и Югославии.

вую премию, вторую, третью, пожваный отзыв. Объявляется, что знак участника олимпиды носить обязаτεльно, так как эмблема будет являться пропуском на территории военной академии, где будет проходить олимпида.

В перерыве познакомлись с болгарами: «Только что прилетели и хотим поговорить по-русски…» Мы были этому очень очень рады — все таки порядком надоело говорить по-англійски.

На следующей утро, 24-го июня, мы будем встали, позавтракали, прибежали в зал военной академии, сосредоточились, … но оказалось, что жорни не закончило переводы условий задачи на языки участников олимпиды, и все провели цель час в рассматривании картин на сюжет из греческой мифологии, занимающей одну из степенезала.

Наконец, первый тур позади, завтра — второй тур, и мы предвкушаем совершенню свободный вечер. Но… хозяйва олимпиды почувствовали нашу тягу к искусству, и пришлось идти слушать оперу Сметаны «Проеданная невesta».

С экспериментальным туром мы, несмотря на недосыпание, справились успешно и отправились смотреть Аустерлиц. Нам очень понавлились мастерски исполненные фигуры «скорбящей материи» и «безтешной невesta», стоящие входом в_MEMORIALНОЕ ЗАНИЕ ПАМЯТИ АВСТРИЙСКИХ И РУССКИХ СОДАТ, погибших при Аустерлице. Задание обладает любопытным актическим эфектом: если сказать что-нибудь негоромко, стоя в углу, то в центре ничего нельзя расслышать, за что все отчетливо слышно в противоположном углу. Через минуту все (физики вед!) щептали что-то по углам.

На следующей утро нас повезли в Братиславу. Нашими гидами по городу были две ребята — Мартин и Ладиислав, которые относились к нам искренне по-дружески. Посмотрели памятник освободителя и Братиславский замок. Несмотря на то, что день был пасмурным, серым, о Братиславе у нас осталось очень яркое и светлое восполнение.

На следующей утро руководитель нашей делегатии профессор Янцов сообщил нам, что, получив три первых, одну вторую утру и одну третью первини, мы уступили первое и второе командные места чехословацим и венгерским ребятам.

Днем мы осматривали пешеру Пунквы. Описать ее красоты трудно, нужно все видеть свои глазами. Там есть один черный камень, на которыйкладут руку и загадывают желание, по поверю оно должно использовать. Оказалось, что члены чехской команды пришли в пешеру перед олимпидой и пожелали получить первое место. Может быть, поэтому они победили?

Вечером — торжественное закрытие олимпиды. Наш команда получила пять приговоров: трое часов и две иллюстрированные книги. Затем был банкет.

29 июня на автобусах поехали в Прагу. Дорога была утомительная, трясло, иногда нас будили и показавали замки или вели обедать. К вечеру приехали в Прагу.

После дня мы ходили по городу, смотрели вокуг и думали: «Ох, скорее бы домой!» В Чехословаки, конечно, было хорошо, но дома, как говорится, лучше.

А. КЛИМОВ,
Н. КОНДРАТЬЕВ,
А. ЧЕРНОУЦАН.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

Задча 1

Система тел, представлена на рисунке, образована треяя тележками A, B, C, массы которых соответственно $m_1=300$ е, $m_2=200$ е и $m_3=1500$ е.

На тележку C действует горизонтальная сила F такой величины, что тележки A и B находятся в состоянии покоя относительно тележки C.

Определите: a) наяжение нерастворимой нити, соединяющей тележки A и B; 6) силу F.
Предположите, что тележка C неодвижна и определите: a) ускорение тележек A и B; 6) наяжение нити.

При решении задачи сопротивлением воздуха, тренем, моментами инерций блока и колесков, а также массой нити претенбрь.

Задча 2

Медный calorimetр, масса которого $m_1$ , содержит воду массы $m_2$ при общей температуре $t_2$ . В calorimetр кладут лед, масса которого $m_3$ и температура $t_3<0^\circ$ С.

a) Определите массу воды и льда и их температуре в состоянии равновесия при самых общих значениях величины $m_1, m_2, m_3, t_2, t_3$ . Напишите уравнения теплобмена в указанной системе.

Определите температуру и массу воды и льда, если до $m_1=1,00$ ке $^*$ ), $m_2=1,00$ ке, $m_3=2,00$ ке, $t_2=10^\circ$ С, $t_3=-20^\circ$ С.

При решении задачи потерями энергии претенбрь. Барометрическое давление считать нормальным. Удельная тепломкость меди $c_1=0,094$ ккал ке $^{-1}$ ерад $^{-1}$ , удельная тепломкость льда $c_3=0,492$ ккал ке $^{-1}$ ерад $^{-1}$ , удельная теплота плавления льда $l=70,7$ ккал ке $^{-1}$ .

Задча 3

Шарик массой $m$ , заряженный электрическим зарядом $q$ , прикреплен к одному концу

*) Два нуля после заряда ознакомют, что ответ надо дать с точностью до одной сотой.

пепроводимой нити. Другой конец нити прикреплен к самой высокой точке колца с радиусом $R$ , которое находится в вертикальной плоскости. Колыто изготовлено из жесткой проволоки, диаметром которого можно претенбрь. На колыце равномерно распределен заряд $Q$ того же знака, что и $q$ . Определите длину $l$ нити, при которой после отклонения шарик окажется на оси колца, перендикулярной к его плоскости.

Решите задачу сначала в обшем виде, а затем для численных значений $Q=q=9,0\cdot10^{-8}$ к, $R=5,0$ см, $m=1,0$ е, $\varepsilon_0=8,9\cdot10^{-12}$ фм $^{-1}$ . Массей нити претенбрь.

Задча 4

Сверху над стеклянным отшлифованным кубиком, длина ребра которого равна 2,00 см, помещена отшлифованная пластинка так, что в пространстве между ней и кубиком возникает тонкий воздействий интерференционной слой. Если сверху осветить пластинку под прямым углом излучением с длинами волн от 400,0 мц до 1150 мц, для которых пластинка проразна, то выполняется условие максимума интенсивности света, отраженного интерференционной слоем, только для двух волн из упомянутого промежутка: для $\lambda=400,0$ мц и еще для одной длины волны. Определите эту длину волны. Вычислите, насколько нужно повысить температуру кубика, чтобы он прикоснул к пластинке. Козффициент линейного теплового расширяния стека $\alpha=8,0\cdot10^{-6}$ ерад $^{-1}$ , показатель преломления воздуха $n=1$ . Расстояние от основания кубика до пластинки во время нагрева не меняется.

Задча 5 (экспериментальная)

Используйте: два железо-никелевых акмумулятора, один сухой элемент, один реохорд (одноородный провод неизвестного сопротивления $X$ , натянутый вдоль миллиметров шкалы и снабженный скользыванием контактом), один магазин сопротивления величины $R$ , один галваниметр (нулевое значение нахождения сопротивления шкалы) и одно зашитное сопротивление.

Рассмотрите: a) замкнутую цепь, состоящую из двух последовательных акмумуляторов, магазина сопротивления и неизвестного сопротивления $X$ (реохорд), 6) последовательное вklочение сухого элемента и галваниметр с зашитным сопротивлением.

Предложите и обясните такое подключение ветви «б» к цепи «а», которое позволяет найти такое положение движения реохорд $X$ , при котором через галваниметр ток не идет. По построенной схеме составьте цепь.

Путем изменений определите: 1) относение разности потенциаль на зажимах двух последовательных акмумуляторов и электродвижущей силы сухого элемента (разность потенциаль на зажимах обиха акмумуляторов считайте постоянной), 2) неизвестное сопротивление $X$ .

Найдите, для какого сопротивления $R$ задача имеет решение.