Кто-то теряет, кто-то находит

48

Как мы решаем уравнение! Исходя из данного уравнения, пишем подряд одно, другое, третье, … — цепочку уравнения, в котором каждое получается из предыдущего преобразования одной или сразу обеих частей, и так до тех пор, пока не получим совсем простое уравнение, решения которого мы уже умем находить. Если при этом все переходы от данного уравнения к следующему «обратимы», т. е. мы видим, что преобразование четвертого уравнения можно получить третье, из третьего — второе, и т. д., то ясно, что последнее процесс уравнения имеет те же корни, что и исходное. Но часто встречаются такие уравнения с радиkalами, логарифмами, тригонометрическими функциями, при решении которых приходит прибегать к довольно сложным преобразованиям, так что при этом «обратный переход» не оченьiden. Если, решая такие уравнения, делать преобразования формулно, не вникая в их смысл, то легко вставить в ошибку: потерять корень или прибрежти лишний. О том, как это бывают и как избежать подобных неприятностей, рассказывается в этой статье.

1. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Пусть данные числовых множества $X$ и $Y$. Запись $X \subset Y$ означает, что каждый элемент множества $X$ является в то же время элементом множества $Y$, а в $Y$ могут быть элементы, не принадлежащие множеству $X$. Запись $x \in X$ (соответственно $x \in X$) означает, что элемент $x$ принадлежит (не принадлежит) множеству $X$.

Условия далее вместе фразы «множество $X$ состоит из всех действительных чисел $x$» используются также обозначение: $X = \{x| -\infty < x < \infty\}$. Аналогично, запись $X = \{x|x \ge 3\}$ означает, что множество $X$ состоит из всех таких чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \ge 3$, а запись $X = \{x|x \neq \pi\}$ означает, что множеству $X$ принадлежит все действительные числа, за исключением $x = \pi n^*$).

И, наконец, условия область допустимых значений ОДЗ (напомним, что область

*) Всюду в дальнейшем предполагается, что $n, k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

49

Допустимых значений уравнения $f(x)=g(x)$ называется множество тех $x$, при которых функция $f(x)$ и $g(x)$ определяны) заданного уравнения обозначать буквой $X$, а ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате неокоторого преобразования, — буквой $Y$.

2. ОТКУДА БЕРУТСЯ ПОСТОРОННИЕ КОРНИ?

Причина первая — расширение ОДЗ. При решении уравнения постоянно применяется самые различные преобразования. Довольно часто при этом служается так, что ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате неокоторого преобразования, оказывается шире, чем ОДЗ исходного уравнения (фраза «более широкая ОДЗ» означает $X \subset Y$). Расширение ОДЗ может привести к появлению постоянных корней. Дело в том, что полученное уравнение может иметь такие корни, которые, будучи элементами множества $Y$, не принадлежат множеству $X$. Они-то и будут постоянными для исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение
$$\frac{2}{2-x} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2x-x^2}.$$
Решение. Запишем прежде всего ОДЗ уравнения (1): $X=\{x|x \neq 0;2\}$. Приведя к общему знаменателю, получим
$$4x+2x-x^2=8.$$

Уравнение (2) имеет уже другую ОДЗ: $Y=\{x|-\infty < x < \infty\}$. Решая уравнение (2), получим два корня: $x_1=4$, $x_2=2$, причем $x_1 \in X$, тогда как $x_2 \in X$, и поэтому $x_2$ является постоянным корнем для уравнения (1). Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень $x=4$.

Пример 2. Решить уравнение
$$\lg (x^2+3x-4) = \lg (2x+2).$$
Решение. Решив систему неравенств
$$\begin{cases} x^2+3x-4 > 0, \\ 2x+2 > 0, \end{cases}$$
находим ОДЗ уравнения (3): $X=\{x|x > 1\}$. Потенцируя, преобразуем уравнение (3) в уравнение
$$x^2+3x-4=2x+2$$
с более широкой ОДЗ: $Y=\{x|-\infty < x < \infty\}$. Уравнение (4) имеет два корня: $x_1=2$, $x_2=-3$, причем $x_1 \in X$, а $x_2 \in X$. Значит, $x_2$ является постоянным корнем для уравнения (3) и, следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень $x=2$.

К рассширению ОДЗ иногда приводит применение неокоторых формул, известных из курса средней шкoles. Это формулы, связанные с различными свойствами логарифмов, радиkalов четной степени, а также неокото-

$$\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a [f(x) \cdot g(x)],$$
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} = \tg \frac{x}{2}.$$

Нетрудно видеть, что функция, содержащая в правых частях этих равенств, имеет более широкую область определения, чем функция, содержащая в левых частях.

Так, область определения функции $\log_a f(x)+\log_a g(x)$ определяется системой неравенств
$$\begin{cases} f(x) > 0, \\ g(x) > 0, \end{cases}$$
тогда как область определения функции $\log_a [f(x) \cdot g(x)]$ состоит из решений системы (7) и решений еще одной системы неравенств
$$\begin{cases} f(x) < 0, \\ g(x) < 0. \end{cases}$$

Области определения функции $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ такова: $X=\{x|x \neq \pi n\}$. Функция же $tg \frac{x}{2}$ имеет более широкую область определения: $X=\{x|x \neq \pi(2k+1)\}$. Поэтому применение при решении уравнения формул (5), (6) и им подобных «слева направо» может привести к появлению постоянных корней.

Пример 3. Решить уравнение
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} + \tg^3 \frac{x}{2} = 0.$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (8): $X=\{x|x \neq \pi n\}$. Применя формулу (6), получим уравнение
$$tg \frac{x}{2} + \tg^3 \frac{x}{2} = 0$$

с более широкой ОДЗ: $Y=\{x|x \neq \pi(2k+1)\}$. Решениями уравнения (9) служат значения $x=2\pi n$. Все эти значения не входят в ОДЗ уравнения (8), а потому являются постоянными корнями. Таким образом, уравнение (8) не имеет решений.

Причина вторя — умиожение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть дану уравнение
$$f(x)=g(x).$$
Умножим обе части на функцию $h(x)$. Поучим уравнение
$$f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),$$
корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни уравнения $h(x)=0$ (или, как еще говорят, корни функции $h(x)$. Средние этих последних могут оказаться также корни, которые не удовлетворяют уравне-

50

(10), то есть является для него построением (кстати, в примере 1 обе части уравнения (1) были умножены на одну и ту же функцию $2x(2-x)$. В результате появился построенный корень $x=2$, но мы обязаны его появление расширенем ОДЗ).

Пример 4. Решить уравнение

$$x = (\sqrt{1+x} + 1)(\sqrt{10+x} - 4).$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (12): $X = \{x|x \geq -1\}$. Умножим обе части уравнения на функцию $h(x) = \sqrt{1+x} - 1$. После преобразования получим уравнение $x(\sqrt{1+x} - \sqrt{10+x} + 3) = 0$, имеющее 2 корня: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ (заметим, что расширенная ОДЗ не произойдет). Оба корня принадлежат множеству $X$, тем не менее проверка убедает нас в том, что $x_1 = 0$ — построенный корень (нетрудно видеть, что $x = 0$ — корень функции $h(x)$). Таким образом, уравнение (12) имеет единственный корень $x = -1$.

Причина третья — возведение обеих частей уравнения в центральном Рассмотрим уравнение (10). Возведем обе части этого уравнения в квадрат. Получим уравнение $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$, корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни «постороннего» уравнения $f(x) = -g(x)$. Средние этих последних могут оказаться также корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению (10). Они-то и будут построенными для уравнения (10).

Пример 5. Решить уравнение

$$\sqrt{2x+5} + \sqrt{x-1} = 8.$$

Решение. Запишем ОДЗ уравнения (13): $X = \{x|x \geq 1\}$. Возведем обе части уравнения в квадрат. После преобразования получим

$$2\sqrt{2x^2 + 3x} - 5 = 60 - 3x$$

и далее

$$4(2x^2 + 3x - 5) = (60 - 3x)^2,$$

откуда $x_1 = 10$, $x_2 = 362$. Следовательно найденных решений, заменаем, что лишь $x_1 = 10$ удовлетворяет уравнению (13), тогда как $x_2 = 362$ — построенный корень (хотя и принадлежит ОДЗ уравнения (10). Посторонний корень появился в результате возведения в квадрат обеих частей уравнения (14).

3. ЧТО ПРИВОДИТ К ПОТЕРЕ КОРНЕЙ?

Причина первая — сужение ОДЗ. Встречаются и такие преобразования, которые приводят к уравнению с более узкой ОДЗ. Сужение ОДЗ может привести к потере корней, а именно, могут «потерять» такие корни исходного уравнения, которые принадлежали множеству $X$, но не принадлежат «более узком» множеству $Y$, $(Y \subset X)$.

Пример 6. Решить уравнение

$$\text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \text{ctg} x - 1.$$

Решение. Преобразуем уравнение (12) к виду

$$\frac{\text{tg} x + \text{tg} \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\text{tg} x} - 1.$$

Положив $y = \text{tg} x$, приdem к алгебраическому уравнению относительно $y$, решив которое, получим $y = \frac{1}{2}$, то есть $x = \text{arctg} \frac{1}{2} + \pi k$.

Но проверка убедает нас в том, что значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ также удовлетворяют уравнению (15). Когда же мы успели потерять эти корни? Сравним ОДЗ уравнения (14) и (15). Х состоит из всех значений $x$, за исключением тех, при которых $ctg x$ и $\text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ не существует. Значит,

$$X = \left\{ x \mid x \neq \pi n, x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n \right\}.$$

ОДЗ уравнения (16) — $Y$ — состоит из всех значений $x$, за исключением тех, при которых $ctg x = 0$, $\text{tg} x = 1$ и $\text{tg} x$ не существует. Значит,

$$Y = \left\{ x \mid x \neq \pi n, x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n \right\}.$$

Отсюда следует, что $Y \subset X$, то есть ОДЗ уравнения (16) уже, чем ОДЗ уравнения (15). Значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ принадлежат множеству $X$, но не принадлежат множеству корнями исходного уравнения.

Теперь возникает один важный вопрос: что приведо к сужению ОДЗ? Анализ решения примера 6 показывает, что к сужению ОДЗ приведо использовать формулы тангенса суммы, в нашем примере формула принадлежали множеству $X$, но не принадлежат «более узком» множеству $Y$, $(Y \subset X)$.

Причина вторя — деление обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть $x_1$ — корень уравнения (11), но совсем не обязаельно удовлетворяет уравнению (10). Таким образом,