Как проще делить?

2. Один студент пришел сдавать экзамен автоматической экзаменатору. На экране автомата появилось пять вопросов, на каждой из которых требуется дать ответ «да» или «нет».
   После ответа на все вопросы (для этого надо нажать соответствующее кнопки) автомат, оценивая каждый правильный ответ в 1 балл, ставит общую оценку за экзамен. Студент внимательно проелл все вопросы и с огорченем вынужден был констатировать, что он не знает ответа ни на один из них.
   Все его знания сведились к следующему:

1. первый и последний вопрос требуют противоположных ответов;
2. напротив, второй и четвертий вопрос должны иметь одинаковые ответы;
3. хотя бы один из первых двух вопросов требует ответа «да», то пятый требует ответа «нет».
   Кроме того, студенческий опыт подсказываем ему, что вопросов, требующих ответа «да», всегда ставится больше, чем вопросов, требующих ответа «нет».
   Картина получалась невесяла. Но студент не отчаивался. Он плохо знал данный предмет, но загорошо умел решать логические задачи. Быстро произведена листичке какие-то вычисления, он с радостью обнаружил, что 4 балла ему обеспечены, а если повезет, то он получит все 5 баллов. Какие вычисления произвед студент?

3. Писатели A, B, C, D пишут подпсевдомимами X, Y, Z, W. Требуется узнать, какой именно посвдомим использует каждой из писателей, если известно следующее:

1. если D не X, то B есть X;
2. если B не X и не W, то A есть X;
3. если C не W, то B есть Z;
4. если D есть Y, то B не X;
5. если A не X, то C не Y.

Для более полного знакомства с алгеброй высказываний можно рекомендовать также литературу:

Л. А. Калужин, Что такое математическая логика. М., «Наука», 1964, г.1 и 2.
И. М. Яглом, Необыкновенная алгебра. Серия «Популярные лекции по математике», М., «Наука», 1968.
Р. Р. Столл, Множества, логика, аксиоматические теории. М., «Просвещение», 1968, г.11, §§ 2.1—2.4.
П. С. Новиков, Элементы математической логики. М., «Физматгиз», 1959 г.
А. Гжегорчик, Популярная логика. М., «Наука», 1965.
А. Б. Трахтенброт, Алгоритмы и машинное решение задач. М., «Физматгиз», 1960.
Х. Фрейденталь, Язык логики. М., «Наука», 1969.

КАК ПРОЩЕ ДЕЛИТЬ?

Как проще всего разделить меньше число на большее, если больше число оканичивается цифрой 9?

Пусть требуется разделить число a на число b, причем a < b. Положим b = 10c + 9. Проверьте теперь, что

$$\frac{a}{10c+9} = 10^{-1} \frac{a-p_1}{c+1} + \frac{a-p_1}{c+1} + 10p_1$$

где $p_1$ — остаток от деления $a$ на $c+1$, так что $\frac{a-p_1}{c+1}$ — целое число.

Пусть $\frac{a}{b} = 0, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \dots$ —десятчная запись частного. Тогда $\alpha_1 = \frac{a-p_1}{c+1}$ и $\alpha_1 + 10p_1 = 0, \alpha_2 \alpha_3 \dots$.

Обозначив $\alpha_1 + 10p_1$ через $a_1$, запишем равенство $\frac{a_1}{10c+9} = 0, \alpha_2 \alpha_3 \dots$, из которого аналогичным образом найдем $\alpha_2$ и так далее.

При меры

1. Надо разделить 37 на 89. Поступаем так: 37 делим не на 89, а на 9, так как число единиц в делителье 9, а десятиков 8, 8+1=9. Затем остаток приписывается перед частным и снова делим на 9 и так далее. Частные дотпоследовательные цифры десятичной записи дроби $\frac{37}{89}$.

$$-\frac{37}{36} \left| \frac{9}{4} \right| - \frac{14}{9} \left| \frac{9}{1} \right|$$

$$-\frac{51}{45} \left| \frac{9}{5} \right| - \frac{65}{63} \left| \frac{9}{7} \right|$$

Итак, $\frac{37}{89} = 0,4157\dots$

(Окончание см. на стр. 29.)

22

решение сперва было получено Эйлером аналитической путем, но оставалось затерянным среди массы формул, и только благодаря простым и наглядным интерпретациям Пуансо представлено перед глазами ученых со всей ясноостью.

Какая роль выпала на долю Пуансо при разъяснения вопроса о движении твердого тела, такая же принадлежит и Гельмгольцу в разъяснение вопроса о движении жидкости.

Почти все работы Гельмгольца по механике посвязываны гидромеханике. Можно сказать, что современная гидродинамика своим развитием обязана главным образом Гельмгольцу. А между тем наиболее заменательная работа ученого в этой области появлась в 1858 году*), спустя 43 года после того как формулы, заключющие в себе причины сохранения виней, были найдены Коши. Но Коши рассматривал полученный им результат только с аналитической стороны и не предвидел той массы вопросов, которые могут быть решены при надлежащем геометрическом освещении выводов.

Я постараюсь теперь с возможностью простого обьясить вам установленное Гельмгольцем понятие о вине.

Воображим цилиндрический сосуд конечной высоты (рис. 1) с весы большей

*) Имеется в виду работа Гельмгольца об уравнениях гидродинамики, соответствующих винейным движением.

Рис 1

шим основанием, наполненый жидкость (или газом), и предположим, что эта жидкость движется так: центральный цилиндрический столбик ее некоторой толщины врашается, как твердое тело, около своей оси, а всегда масса жидкости кругится около этого столбика по кругам со скоростими, обратно пропорциональными расстоянию от оси столбика, причем эти скорости, увечиваясь по мере приближения к центральному столбку, переходит на его поверхности в скорость столбика.

Такое движение жидкости и называется винем, а характеризующий его цилиндрический столбик — виневым шнуром. Скажем, что направление виня равно половине произведения скорости жидкости на поверхности виневого шнура на перimetр нормального сечения шнура.

Удвоенную величины этого произведения называют циркуляцией скорости.

Вообще циркуляция скорости по какому-нибудь замкнутому контуру внутри движения жидкости равна произведению длины контура на среднюю из всех скоростей точек контура по направлению касательной к контуру.

Так как в движении жидкости, изобравнем на рисунке 1, скорости обратно пропорциональны радиусам, циркуляции скорости по всем горизонтальным окружностям, имеющим центр на оси столбика и охватывающим его, равны между собой и, следовательно, равны удвоенному направлению виня, а циркуляция скорости по контурам, состоящим из отрезков двух окружностей между отрезками двух радиусов, и лежащим вне шнура (контур АВСД на рисунке 2) равны нулю. Кроме того, можно доказать, что циркуляция скорости по всякому замкнутому контуру, охватывающей виня, равна удвоенному направлению виня, а циркуляция скорости по всякому замкнутому контуру, не охватывающей виня, равна нулю.

Рис. 5.

равны, то этот центр удалился бы в бесконечную даль, и оба шнура безалины вперед по направлению, перпендикулярному к прямой, соединяющей центры, как это видно из рисунка 5.

На рисунке 6 представлены траектории (пути) трех винревых шнуров, из которых 1 и 2 врашаются против часовой стрелки, а 3 — по часовой стрелке.

Установленное нами понятие о прямом винревом шнуре, заключенном в весма широком цилиндрическом сосуде, распространяется на винревые шнуры, зародившиеся в какой уголно массе жидкости. При этом винревые шнуры могут разыскивать с помощью составления циркуляций

Рис. 6.

Рис. 7.

25

время движения либо будет лежать своими концами на граних жидкости (на стенках сосуда или на свободной поверхности), либо будет оставаться замкнутым.

В самом деле, для того чтобы со стенок сосуда, основание вихря должно быть уменшиться в размерах до нуля; а так как циркульция скорости по контуру основания должна оставаться неизменного, то схожение потребовало бы, чтобы скорость круглой жидкости у подошвы шнура возросла до бесконечности.

Гидродинамическое давление жидкости уменшается при возрастании скорости. Поэтому при уменшении ссования вихря на стенке сосуда будет быстро уменшаться давление в этом месте, и остальная масса жидкости будет надавливать на частицы конца вихреого шнура и препятствовать их схожению со стенки. Вихреой шнур, так сказать, присасывается своими концами к стенкам сосуда. Если конец шнура лежит на свободной поверхности, то подобное присасывание можно заметить по воронке, образующей на свободной поверхности у «подошвы» шнура.

Если концы вихреого шнура не лежат на граниах жидкости, то они должны быть между собой комкнуты, и таким образом получается замкнутый вихреой шнур, — такой, в котором, так сказать, оба конца присасываются друг к другу.

Самый простой вид замкнутого вихреого шнура представляется вихреое колцо, показанное на рисунке 7.

Все части жидкости, лежащие вне колцца, вихутятся при этом заимкнутым кривым, проходящим, сквозь колцо так, что циркульция скорости по всем этим кривым одинакова и равна циркульции скорости на контуре поперечного сечения колцца. Переходя же вихуть колцца, мы будем получать для траектория его частечку различные циркульции. Скорости точек жидкости

самые большие на поверхности колцца. Они уменшаются по мере удаления от этой поверхности внутри колцца и равны нулю на некоторой осевой линии. Уменшаются они также и по мере удаления от колцца в окружающей его массу жидкости. Для точек жидкости, значительное удаление от колцца, скорости обратно пропорциональны кубам расстояния от колцца.

Мы видели, что зародившиеся в жидкой массе два прямых параллельных шнура, около которых жидкость круглится с равными направлениями вихря в противоположные стороны, будутежать по направлению, перепедикулярному к проведенной через них плоскости. По той же причине вихреое колцо не будет оставаться неподвижным, а будетежать по направлению, перепедикулярному к плоскости колцца, в ту сторону, в которой жидкость вытекает из колцца.

Мы видим на рисунке 7, что частицы жидкой массы, движущейся воерхним замкнутым траекторям, будутежать на нижний край колцца и двигать его вправо; точно так же частицы жидкой массы, движущейся по нижним замкнутым траекторям, будутежать на верхний край колцца и тоже двигать его вправо. Все колццы будут перевигаться равномерно в правую сторону, переносая за собой круглшуюся около же жидкость. Это движение будет быстрее, чем более направление вихря и чем менее размер колцца.

Мы сказали, что внутри идеальной жидкости должны возникать сохраняться, и новых шнуров образоваться не может. Между тем в природаме мы часто видимжение и угасание вихрей. Это происходит от того, что наши воды и воздуха обладают некоторой степенью вязкости, вследствие которой вышепiventные теоретические результаты несколько видизняются. С одной стороны, вихри могут заождаться (преимущественно

26

в тех местах, в которых происходит скольжение друг по другу двух слоев жидкости с различными скоростями), с другой стороны, заодиншеся винри не сохраняются, а постепенно исчезают.

Образование прямых вихрей Гельмогольы демонстрировал одним прекрасным опитом, описанным в его речи о винревых бурях. Мы здесь повторим этот опит.

В denne цилиндрического сосуда (рис. 8) сделано небольшое отверстие, заткнутое пробкой. Сосуд наполнен водою. Посредством струй воздуха, направляемых трубкой на один край свободной поверхности воды, приводим жидкость в медленное вращение. Жидкость начинает истекать из отверстия, подходя от краев сосуда к его оси. Так как циркульция скорости по окружности, проведенным из точки на оси цилиндра через один и те же частицы жидкости, не должны изменяться со временем, то с уменьшением радиусов этих окружностей будет возрастать скорость части жидкости. Вращение жидкости по мере приближения к оси будет становиться все быстрее и быстрее, и мы заметим резко образавшийся винри, над кторым появится воронка, все более и более углубляющаяся.

Я показуем еще образование винри посредством быстро вращающего диска.

На рисунке 9 представлен прибор проф. Ф. Н. Шведова. Черезdoно стеклянного цилиндрического сосуда продается в сальнике вертикальная ось, окачивающаяся небольшим диском. Эта ось посредством бесконечного ремонта может быть приведена в быстroeвращение. В сосуд наливаются вода и масло, которое всплывает поверх воды. Вращая диск, мы заметим, что вода постепенно приходит во вращение и образует над диском винревой шнур, который заменяется по воронке на поверхности раздела воды и масла. Эта воронка заполняется маслом, которое в виде низходящего смерча спускается к диску. В тот момент, когда масло приходит в соррикосновение с диском, вся его масса разбралась по воде.

Еще более интересен способ образования прямых винрей в воздухе. Воздух, находящийся над поверхности воды, приводит во вращение с помощью особой быстро вращающейся крылатки, помещенной на некоторой высоте над водою (рис. 10). Воздушный винрь захватывает по своей оси воды и поднимает ее в виде восходящего смерча до самой крылатки.

Вихревые колыца в воздухе демонстрируют с помощью прибора Тэта. Он состоит из ящика (рис. 11), задняя сторона которого затягут коже, а в передней сделано отверстие с острыми краями. Форму от-

28

До сих пор колыца выпускались нами из круглого отверстия. Попробуем теперь образовать их из отверстия эллиптического и квадратного. Мы видим, что при этом колыца не сохраняют формы отверстия, но колеблюется, стремясь перейти в круглое колыцо, которое является таким образом, единственной устойчивой форму замкнутого винревого шнура.

Рассмотрим теперь влияние на выходные колыца посторонних предметов. Подводя к движущему колыцу твердые тела сбоку, мы видим, что они отталкивают колыцо. Но если колыцо бежит на паралельную его плоскости неподвижную плоскость, то оно, подходя к ней, все более и более увеличивается в размерах, так сказаеть, растекается по плоскости. Если мы даим колыцу набежать на нож, плоскость которого проходит через ось колыца, то последнее разрежется ножом на два полукольца, концы которых будут скольнить по поверхности ножа; но, пройдя эту поверхность, концы опять комнутятся, и колыцо восстанавливается.

Кроме дымных колцц в воздухе, можно еще наблюдать воздушные колыца в воде. Это интересное явление, какущееся на первый взгляд парадокальным, весма просто обьясняется тем, что вследствие центровежной силы значительное попадает давление на оси выходного колыца. Если при образованнии винревого колыца мы введем в воду несколько пузырьков воздуха, они сейчас же заберутся в то место жидкости, где давление самое малое, то есть на ось колыца, и будут там удерживать все время, пока колыцо движется вдоль имеющей массы воды, несмотря на то, что воздуха в 800 раз легче воды.

Я показуем здесь прибор для образования воздушных колцц в воде, который представляет видизменение прибора профессионора Осборна Рейнольдса. Здесь имеется (рис. 12) большая стеклянная ванна, наполненная водой. В нее погружена изогнутая под прямым углом шриока стеклян-

Рис. 12.

ная трубка. На верхний конец трубки, выходящий из воды, надевают рукав из резинового шарика, посредством которого можно вгонять в трубку воздуха и выталкивать из нее воды. Быстро сдавливая шарик, выталкиваем из горизонтального колена трубки стольник воды и делаем это так, чтобы воздуха почти достиг нижнего конца трубки, но не вышел из нее в большом количестве. Стольник воды, выбежав в способную окружающую жидкость, завертывается в винревое колыцо. При этом вместе с водою будет вытолкнуть несколько пузырьков винревое колыцо будет хорошо заметно: оно будет образован как бы из блестиших зерен бисера. Пробегая вдоль всей ванны, колыцу ударятся в противоположную стенку ее и здесь, расширяясь, пропадают.

Мы можем с помощью нашей прибора отчетливо демонстрировать отражение колцц от свободной поверхности воды. Для этого только повернуть трубку, чтобы она направилась своим нижним концом немного вверх. Колыцо, подбежав к свободной поверхности жидкости, от нее отра-