Задачи М76—М80; Ф88—Ф92

33

М76. В компании из $n$ человек каждый двое незнакомых имелотровно двух общих знакомых, а каждый двое знакомых не имелот больше общих знакомых. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одинаковым числом людей.

М77. Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Докажите, что bicсектираса угла между ними не больше 12.

Н. Б. Васильев

М78. Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представить в виде $\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственного.

М79. Две точки $P$ и $Q$ движут по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точки $P$ и $Q$ в любой момент времени равны.

И. Ф. Шарьеин

М80. В таблице $m \times n$ расставлены произвольные числа. Разрешается одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке будет неотрицательны.

А. С. Шварц

Ф88. Сосуд, частично заполненый структую, движется с горизонтальнымускорением, следствие чего поверхность пути наклона к горизонту под некоторым постояным углом.

Сверху сосуд закрыт крышкой.

Как изменится этот угол, если сосуд доверху заполнить водой?

Ф89. Напряжениеэлектрического поля в электромагнитной волне частоты $\omega=2 \cdot 10^{16} \text{ сек}^{-1}$, модулированной по амплитуде с частотой $\Omega = 2 \cdot 10^{15} \text{ сек}^{-1}$, меняется со временем по закону $E=a (1+\cos \Omega t) \cos \omega t$, где $a$ — постоянная. Определить энергию электровов, выбиваемых этой волной из атомов газообразного водорода с энергийой иннзации $W=13,5 \text{ эв}$.

А. Д. Гладун, Л. Г. Асламаозов

Ф90. Идеальный газ массы $m$, находящийся при температуре $T$, охлаждается изхорическая так, что давление падает в $n$ раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определить произведенный газом работу. Молекулярный вес газа $\mu$.

Ф91. Для питания прибора наряжение на его входе нужно установить как можно точнее. Для этого

34

Рис. 1.

го используется два реостата, соединенных так, как показано на рисунке 1. Длины реостатов одинаковы, а сопротивление одного из них в 10 раз больше сопротивления другого. Как поступить, чтобы установить напряжение как можно точнее? Восколько раз точность установки напряжения будет больше, чем в том случае, когда используется лишь один реостат? Как включить реостаты, если для питания приборов нужно установить поточнее не напряжение, а ток?

Ф92. Обруч массы $m$ стоит на доске массы $M$ (рис. 2). Коэффициент трения между dockой и обручем $k$. Доска лежит на гладком столе. С каким ускорением будет движаться доска, если обруч тянут с силой $F$?

С. Н. Доможаков

Рис. 2.

ЗАДАЧИ ПРО КОЛЕСО

(Продолжение. Начало см. на стр. 29.)

2. По горизонтальной плоскости катится колесо. Так как сила трения $F$ направлена влево, то скорость колеса будет уменьшаться. Но момент этой силы относительно центра $O$ направлен по часовой стрелке, и следовательно, скорость вращения колеса должна увеличиться.

Как будет меняться скорость колеса?

3. Когда шсфер нажмите тормозную pedal, колодки тормозов прижимаются к колесам и замедляются их вращение. Но силы взямаодействия колес и тормозных колодок являются внутренними и, следовательно, не могут уменьшить скорость автоматизации. Почему же автоматически остановивается?

4. Как извесно, силой, движущей поезд, является сила трения паровозных колес о рельсы, а сила трения между рельсами и колесами вагонов является тормозшей. Но колеса паровоза и вагонов сделаны из одного и того же материалов, а все вагонов гораздо больше веса паровоза.

Почему же паровоз в состоянии движения движения?

(Окончание см. на стр. 42)