Тригонометрические неравенства

43

Тригонометрическими неравенствами мы будем называть неравенства, содержащие неизвестное $x$, которое входит в состав аргументов тригонометрических функций. Решить тригонометрическое неравенство — это значит, как и всегда, найти все значения неизвестного, удовлетворяющие этому неравенству.

Для решения простейших тригонометрических неравенств не требуется никаких специальных знаний, выходящих за пределы школьной программы. Именно, в разбираемых ниже примерах, кроме свойств тригонометрических функций, используются лишь понятие абсолютиной величины числа (пример 4), правила решения квадратных неравенств (пример 5—8) и свойства логарифмической функции (пример 9, 10). Эти сведений достаточно и для того, чтобы справиться с примерами, приведенными в конце статьи для самостоятельного решения.

С самого начала, однако, необходимо отметить одно принципальное обстоятельство. В тригонометрических неравенствах аргументы тригонометрических функций рассматриваются не как углы или дуги, а как вещественные числа. Поскольку опит показывает, что в этом вопросе у многих выпускников средней школи нет полной ясности, оставимся на нем несколько подробнее. Абитуриенту же настоящего поекомендуется тщательно продумать то, что по этому поводу говорится ниже.

Объчно тригонометрические функции вводятся сначала как функции угла (точнее, даже только остроугла). Затем понятие аргумента тригонометрической функции расширяется — начинают рассматривать функции дуги. При этом оказывается, что удобно не ограничивать дуги, заключенных в пределах одного оборота, то есть имеющих значения от $0^\circ$ до $360^\circ$, а рассматривать дуги, величины которых выражается любым числом градусов (как положительным, так и отрицательным). При таком понимании аргумента тригонометрические функции оказываются перiodическими. Следующий шаг состоит в том, что от градиного измерения дуг переходит к радианному. И наконец, приходит к понятию тригонометрической функции в шестеного числа. Именно, под значением тригонометрической функции числа понимают значение данной функции для той дуги, величины которого в радианах выражается этим числом.

В физике тригонометрические функции числового аргумента естественным образом появляются при описании различных периодических процессов, то есть таких процессов, характер которых через определенные промежутки времени полностью повторяется. Именно поэтому в математике и целесообразно рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Фактически мы так и поступаем уже тогда, когда строим графики тригонометрических функций. В самом деле, по оси абсциссы при этом откладываем значения вещественных чисел.

Рассмотрим теперь некоторые тригонометрические неравенства

44

СТВА, причем начнем с самого простого примера.

Пример 1. Решить неравенство $tg x < 1$.

Решение. Сначала покажем, как не следует «решать» это неравенство, то есть разберем часть встречащие неправильные ответы на вопрос.

Иного абитриент, замечая, что $tg \frac{\pi}{4} = 1$ и что вблизи значения $x = \frac{\pi}{4}$ функция $tg x$ с увеличением $x$ возрастает, записывает ответ в форму: $x < \frac{\pi}{4}$. Уже по внешнему виду》 ответа можно сказать, что он неверен, так как в нем никак не отражена периодичность функции $y = tg x$. Легко указыва и конкретные значения $x$, удовлетворяющие условию $x < \frac{\pi}{4}$, но не удовлетворяющие заданному неравенству. Например, при $x = -\frac{2\pi}{3}$ имеем: $-\frac{2\pi}{3} < \frac{\pi}{4}$, но $tg\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{3} > 1$; при $x = -\frac{\pi}{2}$ лежача часть неравенства не имеет смысла, следовательно, это значение неравенству тоже не удовлетворяет, хотя снова $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4}$.

Бывает и так, что абитриент пытается учеть периодичность, но проявляет при этом беспомощность. Именно, часто «ответ» дает в виде: $x < \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Этот «ответ» еще хуже, так как он вообще лищен смысла. Легко убедиться, что чисел $x$, удовлетворяющих условию $x < \frac{\pi}{4} + k\pi$ для всех $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ просто нет.

Чтобы получить правильный ответ, полезно рассмотреть график функции $y = tg x$ (рис. 1), так как рассуждания при этом получат геометрическую наглядность.

Неравенству $tg x < 1$ удовлетворяют те и только те значения $x$, для которых соответствующие точки графика лежат ниже пунктирной горизонтальной прямой $y = 1$. Далее, из рисунка 1 ясно, что если мы найдем все решения, принадлежащие какому-нибудь определенному интервалу длины $x$, то все остальные решения будут отличаться от найденных сдигом вправо или влево на $\pi, 2\pi, 3\pi$ и т. д. Причина этого в том, что число $x$ является периодом функции $y = tg x$.

45

Для того чтобы ответ записьвался как можно короче, желательно исходный интервал длины $l$ выбрать так, чтобы принадлежшие ему решения заполняли в свою очередь какой-то один сплошной интервал. Из рисунка опять-tаки видно, что так будет остоять дело, если в качестве исходного интервала взять, например, интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. На этом интервале ниже пример $y = 1$ лежат те точки графика, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}$. Поэтому окончательный ответ имеет вид
$$-\frac{\pi}{2} + k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Ответ, таким образом, представляет собой совокупность интервалов, каждой из которых получается при некотором фиксированном значении $k$.

Аналогично обстоит дело и в ответах на все дальнейшие примеры.

Пример 2. Решить неравенство
$$\sin x \geq -\frac{1}{2}.$$

Решение. Рассмотрим график функции $y = \sin x$ (рис. 2). Неравенству $\sin x \geq -\frac{1}{2}$ удовлетворяет те значения $x$, для которых соответствующие точки графика лежат не ниже пунктной прямой $y = -\frac{1}{2}$ (если точка графика лежит на самом этой прямой, то значение $x$ удовлетворяет заданному неравенству, так как оно «не строгое», в нем допускается равенство левой и правой части). Функция $y = \sin x$ имеет период $2\pi$. Поэтому рассмотрим сначала какой-нибудь интервал длины $2\pi$, например интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Из рисунка 2 видно, что неравенству $\sin x \geq -\frac{1}{2}$ в этом интервале удовлетворяют следующие значения $x$: $-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{7\pi}{6}$.

Учитывая периодность, получаем ответ:
$$-\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Пример 3. Решить неравенство
$$\cos(3x + 2) > -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решение. Введем вспомогательное неизвестное $t = 3x + 2$. Тогда относительно $t$ мы получим неравенство $\cos t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как оно совершенно аналогично неравенству из примеров 1 и 2 (для его решения можно рассмотреть график функции $y = \cos t$), мы сразу ответ для $t$:
$$-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < t < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

46

или, возвращаясь к неизвестному $x$,
$$-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < 3x + 2 < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Выражая отсюда $x$, получаем ответ для заданного неравенства:
$$-\frac{2}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} < x < -\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Пример 4. Решить неравенство
$$|\sin x| > \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Решение. Осовобождаясь от знака абсцилтовой величины, получаем, что заданному неравенству будут удовлетворять те и только те значения $x$, которые удовлетворяют их одному из неравенств
$$\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Решая каждое из них методом, расстоянием в примерах 1 и 2, получаем для неравенства $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ ответ:
$$\frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$),

а для неравенства $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ответ:
$$-\frac{2\pi}{3} + 2m\pi < x < -\frac{\pi}{3} + 2m\pi$$
($m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Поэтому ответ для заданного неравенства
$$|\sin x| > \frac{\sqrt{3}}{2}$$ можно записать в виде двух «серий»:
$$\frac{\pi}{3} + 2k\pi < x_1 < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$),
$$-\frac{2\pi}{3} + 2m\pi < x_2 < -\frac{\pi}{3} + 2m\pi$$
($m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Заметим, что так как
$$-\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \pi$$
и
$$-\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \pi$$,
вторую серию можно записать иначе
$$\frac{\pi}{3} + (2m - 1)\pi < x_2 < \frac{2\pi}{3} + (2m - 1)\pi$$
($m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Теперь обе серии можно обединить одной формулой:
$$\frac{\pi}{3} + n\pi < x < \frac{2\pi}{3} + n\pi$$
($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$),

причем для четных $n$ получаются интегры первой серии, а для нечетных $n$ – интегры второй серии.

Пример 5. Решить неравенство
$$\cos^2 x < \frac{3}{4}$$

Решение. Введем вспомогательное неизвестное $y = \cos x$. Неравенство примет вид
$$y^2 < \frac{3}{4}$$
Отсюда
$$-\frac{\sqrt{3}}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
или
$$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, заданное неравенство свелось к системе неравенств
$$\left\{ \begin{array}{l} \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$$

Подчеркием отличие теперьней ситuations от той, которая имела место в примере 4. Там для выполнения заданного неравенства нужно было, чтобы выполнялось хотя бы одно из двух неравенств
$$\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$$ или $$\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Здесь же заданному неравенству будут удовлетворять те значения $x$, которые

47

удовлетворяот одновременно каждому из неравенств $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как функция $y = \cos x$ имеет период $2\pi$, рассмотрим сначала значения $x$, лежащие на интервале от $-\pi$ до $\pi$. Построим для этого интеграла график функции $y = \cos x$ (рис. 3). Системе

$$\begin{cases} \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

удовлетворяот те значения $x$, для которых соответствующие точки графика попадают внутри горизонтальной полосы, ограниченной сверху пунктирной прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а снизу пунктирной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из рисунка видно, что это условно udовлетворяот следующее значения $x$: во-первых, $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$, во-вторых, $-\frac{5\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{6}$. Учительая периодичность, мы можем теперь записать ответ в виде двух серий:

$$\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x_1 < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

$- \frac{5\pi}{6} + 2m\pi < x_2 < - \frac{\pi}{6} + 2m\pi$

($m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Как и в примере 4, эти две серии можно обединить одной формулой:

$$\frac{\pi}{6} + n\pi < x < \frac{5\pi}{6} + n\pi$$

($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Заметим, что неравенство $\cos^2 x < \frac{3}{4}$ можно решить проще, если сначала преобразовать его к виду

$$\frac{1 + \cos 2x}{2} < \frac{3}{4}$$

откуда $\cos 2x < \frac{1}{2}$. Полягая $2x = t$, получаем, что

$$\frac{\pi}{3} + 2n\pi < t < \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$$

($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Отсюда

$$\frac{\pi}{6} + n\pi < x < \frac{5\pi}{6} + n\pi$$

($n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Однако, первый способ решения, основанный на сведении к квадратному неравенству, обладает большей общностью, в чем мы убедимся ниже (примеры 6, 7, 8).

Пример 6. Решить неравенство $\mathrm{tg}^2 x - (1 + \sqrt{3}) \mathrm{tg} x + \sqrt{3} \leq 0$.

48

Решение. Полягая $y = \text{tg} x$, мы, как и в предыдущем примере, приходим к квадратному неравенству: $y^2 - (1 + \sqrt{3}) y + \sqrt{3} \leq 0$.
Решая его, получаем, что $1 \leq y \leq \sqrt{3}$. Таким образом, вопрос снова свелся к решению системы неравенств
$$\begin{cases} \text{tg} x \leq \sqrt{3}, \\ \text{tg} x \geq 1. \end{cases}$$

Перiod функция $y = \text{tg} x$ равен $\pi$. Рассуждая так же, как в примере 5, находим сначала для интеграла от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ следующие значения $x$:
$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$. Учитывая периодность, получаем окончательный ответ:
$$\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Все разобраные до сих пор примеры были подобраны так, чтобы в ответах фигурировали «круглы» значения аргументов типа $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$.

Однако в принципе это совсем не обязательно, так как ответ может быть записан всегда с помощью символов обратных тригонометрических функций. Для использования этого рассмотрим пример, отличнойся от примера 6 лишь значениями числовых коэффициентов.

Пример 7. Решить неравенство $\text{tg}^2 x - 5\text{tg} x + 6 \leq 0$.

Решение. Рассуждая дословно так же, как в примере 6, приходим к системе неравенств
$$\begin{cases} \text{tg} x \leq 3, \\ \text{tg} x \geq 2. \end{cases}$$

Ответ теперь запишется в виде
$$k\pi + \text{arctg} 2 \leq x \leq k\pi + \text{arctg} 3$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Пример 8. Решить неравенство $12\sin^2 x - 19\sin x + 5 < 0$.

Решение. Полягая $y = \sin x$, получаем квадратное неравенство $12y^2 - 19y + 5 < 0$, откуда $\frac{1}{3} < y < \frac{5}{4}$. Таким образом, неизвестное $x$ должно удовлетворять все шестенные значения $x$. Поэтому фактически нужно решить лишь второе неравенство $\sin x > \frac{1}{3}$. Нетрудно убедиться, что ему удовлетворяют следующие значения $x$:
$$2k\pi + \text{arcsin} \frac{1}{3} < x < (2k + 1)\pi - \text{arcsin} \frac{1}{3}$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Это и есть окончательный ответ для заданного неравенства. Очень грубой ошибкой будет, если в связи с неравенством $\sin x < \frac{5}{4}$ в «ответе» появится «выражение» $\text{arcsin} \frac{5}{4}$. Так как $\frac{5}{4} > 1$, то символь $\text{arcsin} \frac{5}{4}$ не имеет никакого смысла.

Пример 9. Решить неравенство $\log_2 \sin x < -1$.

Решение. Введем вспомогательное неизвестное $y = \sin x$. Нераевенство тогда примет вид $\log_2 y < -1$. Так как $-1 = \log_2 \frac{1}{2}$ и при основании, большем 1, большему числу соответствует больший логарифм, мы получаем, что $y < \frac{1}{2}$. Однако нужно еще учеть (при решении подобных неравенств об этом часто забывают!), что для отрицательных значений аргумента логарифмическая

49

Функция вообше не определяна. Поэтому в окончательной форме решение неравенства $\log_2 y < -1$ запишется так:
$$0 < y < \frac{1}{2}.$$
Мы приходим, таким образом, к системе неравенств
$$\begin{cases} \sin x < \frac{1}{2}, \\ \sin x > 0. \end{cases}$$

Рассуждая аналогично тому, как мы это делали в примере 5, получаем следующий ответ, содержащий две серии:

$$\begin{cases} 2k\pi < x_1 < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ (k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots), \\ \frac{5\pi}{6} + 2m\pi < x_2 < \pi + 2m\pi \\ (m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots). \end{cases}$$

В отличие от примеров 4 и 5, здесь уже нельзя дать простой формулы, обединиющей эти две серии в одну.

Пример 10. Решить неравенство
$$\log_x tg x > 0.$$

Решение. Этот пример сложнее предыдущих, так как неизвестное $x$ выступает здесь одновременно в двух различных ролих и в качестве основания логарифмов, и в качестве аргумента тригонометрической функции. Благодаря этому здесь особенно рельефно проявляется тот факт, что $x$ мы должны понимать как чи и с ло.

Заметим прежде всего, что поскольку $x$ является основанием логарифмов, обязательно $x > 0$ и $x \neq 1$. Так как свойства логарифмов существенно зависит от того, больше или меньше 1 их основание, рассмотрим эти случаи отдельно.

Пусть сначала $0 < x < 1$. Так как при основании, меньшим 1, положительный логарифм имеет числа, заключенные между 0 и 1, мы приходим к системе неравенств $0 < tg x < 1$. Решая ее, получаем
$$k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Но мы еще связаны условия $0 < x < 1$. Из рисунка 4 видно, что неравенств $0 < x < 1, 0 < tg x < 1$ одновременно удовлетворяют лишь следующие значения $x$: $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Пусть теперь $x > 1$. Учитывая, что при основании, меньшим 1, положительный логарифм имеет числа, больше 1, мы получаем, что $tg x > 1$, откуда
$$\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$$
($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Учитем теперь условия $x > 1$. Из рисунка 5 мы видим, что обом неравенств $x > 1$ и $tg x > 1$ одновременно