Инертная масса

14

Начиная изучать физику, мы сразу встречаемся с важным, фундаментальным понятием: масса тела или масса материалов точки.

Что же такое масса?

Ответать на вопросы, относящемся к основным понятиям физики, всегда трудно. Ньюотон (1642—1727) в классическом труде «Математические начала натуральной физификации» начал изложение механики с определения массы. Он, правда, вместе с слова «масса» писал «количество материалов» и определил его так: количество материалов есть мера таковой, установливаемая в зависимости от ее плотности и объема.

Такое определение, к сожалению, мало что говорит. В самом деле, для того чтобы так определить массу, надо сначала дать определение плотности, а этого мы сделать не можем, если не вводить новых понятий.

Масса физирует в разных задах, и мы не всегда отдаем себе отчет в том, что массой, строго говоря, характеризуют разные свойства тела. Можно указать по крайней мере три различных случая, когда речь идет о массе, и в каждом из этих случаев мы имеем в виду разные понятия.

I. Покупая что-либо в продавовательном магазина, мы говорим, например, о kilogramme сахара, зная, что масса разных порций сахара складывает (как говорят, масса адитивна). Здесь массой мы изучаем количество веществ.

II. Встречаясь на месте с дорогим знаком, на котором написано «10 т», шофер знает, что через этот мест запрещено проездать машине, общий вес которого больше 10 тонн. В этом случае массой изменяется сила притяжения к земле.

III. Вычисляя траекторию протора вускоритель, мы записьиваем уравнение движения, которое связаывает ускорение с массой. В этом случае масса выступает как мера инертности протора — как инертная масса.

To, что во всех трех случаях мы можем пользоваться одной и той же величины, есть удивительное свойство природы, о котором мы и хотим здесь рассказыть.

В общих условиях все три случая действительно описываются одной и той же массой. Это утверждение справедливо только до тех пор, пока мы рассматриваем физические тела, состоящие из частиц, которые движутся со скоростью намного меньше, чем скорость света.

Если скорость частиц велика, как, например, у протонов и нейтронов, входящих в состав atomного ядра, то положение меняется. Масса системы уже не будет равна сумме масс своих части (как говорят, масса пересечет быть адитивной величины). Ускорение не пропорционально силе и само понятие массы становится сложным.

Мы будем рассматривать способы определения массы не в порядке их важности, а так, как это удобно для последовательного изложения.

15

Количество веществ

Начнем с простого вопроса. Что имеется в виду, когда мы покупаем килограмм сахара или принимаем 0,5 грамм аспирина? Нас, конечно, не интересует укорение, которое можно сообщить этому количество сахара или аспирина. Не интересует нас и сила их прятжения к Земле.

Нас интересует определенное количество, число порций сахара или аспирина, а совсем не масса. Мы просто пользовемся тем, что нужно килограмм можно определить взвешивание. При этом используется адентиность массы и ее пропорциональность силе земного прятжения. Этаilonом массы в этом случае может служить, например, кусок сахара, так что можно простым счетом измерить массу любых количество сахара. Единственное условие состоит в том, чтобы все куски сахара были одинаковыми.

А как узнать, что два куска сахара одинаковы? Можно сосчитать, сколько молекул сахара содержится в каждой куске (сделать это трудно, но, допустим, что мы это можем). Если оба куска содержат равное количество молекул, то их масса одинакова. Но при этом мы предполагаем, что все молекулы сахара одинаковы, то есть использем новое физическое свойство — тождественность молекул. Постулируя это свойство и адентиность массы, мы получаем возможность сравнивать массы разных порций одного и того же вещества.

Так можно установить шкалу масс для сахара, для масла, для меди, для железа. Однако надо еще иметь способ сравнивать массы образцов, сделанных из различных веществ. Как, например, сравнить массы медного и железного шаров?

Это можно сделать, изучая стольовение упругих шаров.

Именно так поступил Христан Гюйгенс (1629—1695) еще до того, как Ньюотон открыл свои законы *).

*) В печати эти сообщения появились лишь после смерти Гюйгensa в 1703 г. в метуаре «О движении тел и стольовениях». Но результаты были получены в 1652 г.

Гюйгенс рассматривал центральное соударение двух упругих шаров равной массы.

Предположим, что два упругих шара равных масс летят навстречу друг другу с одинаковыми по абсолютиной величины скорости (рис. 1). После стольновения шары разлетятся в разных направлениях. Каждый очередным, что скорости, с которым шары разлетятся, также одинаковы по абсолютиной величины. Почему?

Скорость разлетящего только массами шаров и скорости их слияния. Следовательно, ни один шаров не имеет премишества перед другим, и их движение должно оставаться симметричным. Это и означает, что они разлетятся с одинаковыми скоростими. И наоборот, из того, что шары разлетаются с одинаковыми скоростими, следует, что их массы равны.

В действительности то, что скорости после соударения определяются полностью на начальном скорости и массами шаров, а не зависит, например, от величины шаров, температуры или еще каких-нибудь величины, ни откуда не следует. Только потому, что опыт подтвердил такое премишестение, мы можем использовать изложенный метод сравнения масс тел, сделанных из различных материалов.

Способ Гюйгensa дает возможность сравнивать между собой то, что можно назвать шкалами масс для различных веществ. Гюйгенс сам не развивал эту идею. Он рассуждает просто: «…Я рассматрию тела из одного вещества или же принимо, что величина тел определяется их весом…». Под «величиной» Гюйгенс понимал «массу».

Рис. 1.

16

Закон сохранения количества движения

Напишем закон сохранения импульса в случае стольновения двух тел (импульс равен произведению массы на скорость $p = mv$). Пусть два тела до стольновения имели импульсы $p_1$ и $p_2$. Их импульсы после стольновения обозначаим через $p'_1$ и $p'_2$.

Тогда закон сохранения импульса $p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2$.

Отметая массы и скорости тел индексами 1 и 2, можно написать

$$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2.$$

или

$$m_1(v_1 - v'_1) = -m_2(v_2 - v'_2).$$

Обозначая абсолотные величины векторного изменения скорости через $|\Delta v_1|$ и $|\Delta v_2|$, получим

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta v_2|}{|\Delta v_1|}.$$

Таким образом, изменение скоростей стольновихся тел, можно сравнить их массы. Так определял понятие массы французский механик Барре de Cen-Bенан (1797—1886) *).

Массу можно определить и по отношению ускорения:

$$\frac{|a_1|}{|a_2|} = \frac{m_2}{m_1}$$

Связь отношения масс с отношением ускорения можно принять за способ сравнения масс, как это и делается *).

Это определение массы стольновся неправильным, как только скорости приближаются к скорости света $c$. Дело можно поправить, если в определении импульса заменить скорость $v$ на «релятивистскую» скорость $u$ по формуле

$$u = \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

и написать вместе разностей $v_1 - v'_1$ и $v_2 - v'_2$ соответственно $u_1 - u'_1$ и $u_2 - u'_2$. Масса $m$ в этом случае называется массой покоя.

**) Это определение можно получить из предыдущего, если быть разности скоростей в два очень близких момента времени.

Однако в таком виде формула верна только для тела, которые движутся с малыми (по сравнению с $c$) скоростями.

лается в учебнике. Только надо помнить, что этот способ не единственный.

Центростремительное ускорение

Мы уже говорили, что Гюйгенс раныше Ньютона понял некоторые законы движения (занимаясь законами стольновения упругих шаров). Насколько хорошего понимал Гюйгенс механику, видно из того, что он первым правильно формулировал законы движения по окружности и ввел понятие Центростремительное ускорение. Ведь если мы умеем измерять силу (например, с помощью других использия закон Гука), то можно изменить массу без помощью сил тяготения, изменяя Центростремительное ускорение врашающего тела.

Сам Гюйгенс рассматривал движение в системе координат, связанной с врашающим телом. В этой системе нужно учитывать центробежную силу инерции, поэтому формулировка Гюйгена была следующей: «Когда два равные тела движутся по равным окружности с неравной скоростью, но оба равномерно, то центробежная сила быстрошего относится к центробежной丝ле, движущемся медленнее, как квадраты их скоростей».

Этalon массы

В качестве эталов длины и времени сейчас приняты для волны определенной линейи в спектре криптона и частота колебаний водородного мазера. Такие эталов лучше искусствены, так как их можно воспроизвести в любой хорошей лаборатории, а пропасть или испортиться они не могут. Почему же в качестве этаона массы нельзя использовать, например, массу протона? Мы знаем, что в химии и ядерной физике почти так и делается. В качестве единиц массы прията atomная единица массы, равная $1/12$ массы изотопа углерада $C^{12}$. Измерениями для массы протона в этих единицах получена очень точная величины.

$$M_p = 1,00727661 \text{ (8) ат. ед.}$$

17

Цифра в скобках означает, что возможная неточность в этой величины оценивается в 8 единиц в последнем, восемом знаке.

Таким образом, масса протона известна с очень большой точностью. К сожалению, эта большая точность достижима только в atomных единицах. Величина массы протона в общих единицах (кг) известна значительно хуже:

$$M_p = 1,672614 \times 10^{-27} \text{ кг.}$$

Здесь возможная ошибка затрагивает уже шестой знак! Хотя это и большой точность, но все же недостаточная для утверждения протона в качестве эталона масс.

Почему же так получается? Трудность состоит в том, что физики не умют с достационной точностью составить число протонов в заданном количестве водорода (например, в 1 киломole). С этим связано то, что сравнительно плохо изменено число молекул в 1 киломole:

$$A = 6,02217 \times 10^{26} \text{ молекул/кмоль.}$$

Возможная ошибка здесь составляется почти 7 миллионных от измеренной величины. Это слищом плохо для эталона! Только при большей точности измерения протон может занять подобное ему место естественного эталона массы.

Дефект массы

Поговорим еще немного об адитивности массы.

Если бы все тела состояли из одинаковых частией, каких-нибудь корпускул (или монад, как их назвали древние), отличаясь друг от друга только плотностью — числом корпускул в единице объема, то вопрос о массе тел решался бы просто. Массы всех тел определили бы числом таких корпускул, и на этом бы все трудности заканчивались. Можно именно об этом думал Ньюотон, когда считал, что плотность тела — понятие более простое, чем его масса?

Но мир устроен сложнее. Atoms построены из разных элементов частиц: электронов, протонов, нейтронов. Поэтому от молекул к их составным частиям, мы только заменим вопрос о сравнению масс разных atomов вопросом о сравнению масс разных элементов частиц.

Кроме того, как это известно из теории относительнойности, массы протонов и нейтронов нельзя просто складывать друг с другом, когда эти частицы входят в состав ядра. При обработании ядра выделяется энергия $E^*$ и масса ядра уменьшается по сравнению с суммой масс всех протонов и нейтронов на величины

$$\Delta m = \frac{E}{c^2}.$$

Определить массу atoms по числу частиц нельзя, строго говоря, даже в принципе. Масса в этом случае не адитивна, то есть масса ядра не равна сумме масс составляющих его частиц. Адитивность массы справедлива до тех пор, пока мы разделаем тело на такие части, которые почти не взаимодействуют между собой, например, когда мы распиливаем железный брусок.

Оценим, например, ту ошибку, которую мы сделаем, если будем считать, что масса atoms водорода равна сумме масс протона и массы электронона. Для того чтобы оторвать электрон —онизовать atom,— надо затрактить энергию в 13,5 электроновольт. (Иначе говоря, надо приложить к системе протон —электрон разность потенциальов 13,5 б.) 1 электрон-вольт равен 1,6·10^{-19} джоулей. Отсюда получаем

$$\Delta m = 2,4 \cdot 10^{-35} \text{ кг.}$$

Сравним это число с массой протона 1,7·10^{-27} кг. Мы видим, что ошибка (если считать массу atoms водорода как сумму масс протона и электронона) очень мала и скажется лишь в восемом знаке. Это поправкой можно пренебречь. Для ядрных реакций этот эффект вносит достающую большую вклад, и пренебречь им нельзя.

*) $E$ есть, конечно, и энергия, которая надо сообщить ядру, чтобы оно «развалилось» на протоны и нейтроны.