Задачи

прежедевременен, мы не училивозможности «атаки на угол».
Если крестик стоит на диагонали обороняемого квадрата, то он угрожает почти вдвое большему числу полей за пределами квадрата, чем при «лобовой атаке» на сторону этого квадрата, например, на рисунке 8 он угрожает, как и раньше (рис. 5), тринадцатиполям каждой стороны, а в совокупности 25 полям.
Нечужели ноликам не выдержать этой атаки? На помощь ноликам приходит возможность брать в качестве плазарма обороны стороны скольго большого квадрата. Возьмем больший квадрат (гораздо больший, чем на рисунке 9) и проведем в нем квадрат, отстоящий от сторона первого на шесть клеток. Центр квадрата возьмем в той клетке, где был поставлен первый крестик. Пока крестики будут находиться внутри меньшего квадрата, стороны квадрата любая атака не угрожает и за то время, пока крестики будут продвигаться к стороне (или углу) внутринего квадрата,олики смотут укрепить свои позиции в углах большого квадрата, например, поставить в каждой углу по 11 ноликов (рис. 9), тем самым «атака на угол» будет лишена смысл, а атаку на сторону мы научились отбивать, если она начинается с расстояния в шесть клеток от стороны. Чтобы поставить в каждой углу по 11 ноликов (на самом деле можно обойтись и меньше числом), потребуется внутренний квадрат со стороны в 87 клеток, а следовательно, внешний квадрат будет иметь сторону в 99 клеток.
Точно формулировать «выигрывую» стратегию ноликов и исследовать другие варианты этой игры (например, выяснить, при каких $p$ и $q$ ноликки не могут «запереть» крестики, если за один ход ставится $p$ крестиков и $q$ ноликков) мы предоставляем читательм.

Задание

1. На сторонах $AB, BC, CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1, A_1, B_1$ соответственно. Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников $ABC_1, BCA_1, CAB_1$, пересекаются в одной точке. Обобщить это утверждение на случай шести точки, выбранных на сторонах терадира.

2. Дан пятнуюльник $ABCDE$. Через концы каждой его стороны и точку пересечения двух соседних с ней сторон проводят окружность. Доказать, что эти окружности пересекаются в пятую точку (отличных от вершин пятуюльника), лежащих на одной окружности.

3. Через точку $P$, лежащую внутриуги $BAC$, проведится две равные окружности, одна из которых касается прямой $AB$, а другая — прямой $AC$.

4. Две окружности касаются (с одной стороны) прямой $l$ в точке $C$, а прямая $m$ параллельна $l$ и пересекает обе окружности в точках $S, T, X, Y$ (последовательно). Доказать, что точка $C$ лежит на биссертрисе одного из двух углов, образованных парами касательных к окружности в точках $S, T$ или $X, Y$.

5. Треугольник вписан в окружность, причем квадрата длин его сторон пропорциональны длиным перпендикуров, опущенных из противоположных вершин на фиксированную касательную к окружности. Доказать, что одна из сторон лежит на диаметре окружности.

6. Две окружности радиусов $R$ и $r$ расположены так, что квадрат расстояния между центрами окружностей равен $R^2 + 14Rr + r^2$. Доказать, что существует бесконечное многоторе окружностей, касающиеся попарно друг друга и обеих данных окружностей.