Задачи

55

Прием 13. (МГУ, филфак, 1969). Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_2 3 > \log_3 5$.

Решение. Непосредственно применить метод, используемый в двух предыдущих примерах, неудается (убедитесь в этом). Поэтому поступим так: $\log_2 3 = \log_8 27$;

$$\log_3 5 = \log_9 25, \text{ а } \frac{27}{8} > \frac{25}{9}.$$

Далее, $\log_8 \frac{27}{8} > \log_9 \frac{27}{8} > \log_9 \frac{25}{9}$ или $\log_8 27 - 1 > \log_9 25 - 1$, откуда $\log_2 3 > \log_3 5$.

Упражнения

Упростить следующие выражения:

1. $\frac{1}{5} \left( 2a^{\log_2 b} + 3b^{\log \sqrt{2}} \sqrt{a} \right)$.
2. $\left[ 1 + 2^{\frac{\lg a}{\lg \sqrt{2}}} - a^{1 + \frac{1}{\log_4 a^2}} \right]^{\frac{1}{2}} - 3 \log_3 2 \times \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7$.
3. $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2 \cdot \log_{ab} a} \cdot \log_a^2 b$.

Вычислить без помощью таблицы:

4. $2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}}$.

5. (МГУ, ф-т писхологи, 1971).
   $$\frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3}$$.

6. Вычислить $\log_6 32$, если $\log_12 2 = a$.

7. Вычислить $\log_5 0,18$, если $\lg 2 = a$, $\lg 3 = b$.

8. Вычислить $\log_{25} 24$, если $\log_8 15 = \alpha$, $\log_{12} 18 = \beta$.
   Без помощью таблицы определить, что больше:

9. $\log_2 3$ или $\log \frac{1}{4}$?

10. $\log_4 5$ или $\log \frac{1}{16}$?

11. $\log_5 7$ или $\log_8 3$?

12. $\log_2 3$ или $\log_5 8$?

13. (МГУ, механизм, 1971). $3 \log_{16} 1862 + \log_{16} 1866$ или $\log_2 1863$?

14. (МГУ, химфак, 1969). $\log_{189} 1323$ или $\log_6 147$?

15. (МГУ, ф-т писхологи, 1969). Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_3 16 > \log_16 729$.

16. (МГУ, филфак, 1969). Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_5 14 > \log_7 18$.

ЗАДАЧИ

1. Найти все треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых выражается тем же числом, что и перimeter.
2. На плоскости данных два непараллельных отрезка $AB$ и $CD$. Построить такую точку $P$, что треугольники $PAB$ и $PCD$ подобны, причем углы $APB$ и $CPD$ равны.
3. Дан треугольник $ABC$. Построить такую точку $M$, что если $A_1, B_1, C_1$ — точки пересечения прямых $BC$ и $AM, CA$ и $BM, AB$ и $CM$, то $M$ является центром тяжестей треугольника $A_1B_1C_1$. Обобщить задачу на случай, когда $M$ — центр тяжестей системы заданных масс $m_A, m_B, m_C$, помещенных в точках $A_1, B_1, C_1$.
4. Дан треугольник $ABC$. На его высотах отложены отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$, имеющие соответствие длины $l$, $m$, $n$. Найти плоскость треугольника $A_1B_1C_1$.
5. Доказать, что для любого треугольника справа левого неравенствующего $p^2 - bc > S\sqrt{3}$ ($a, b, c$ — длины сторона, $p$ — полуперimetр, $S$ — площадь треугольника).
6. Дан треугольник $ABC$. Проведем окружность с центром $A$ и радиусом, равным высоте $AD$, и прямую через точки пересечения этой окружности со сторонами $AB$ и $AC$. Аналогичное построение выполним для двух других вершин треугольника. Доказать, что получившиеся прямые пересекаются в таких точках $A_1, B_1, C_1$, что

1. точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на биссертрисах углов $A, B, C$ треугольника $ABC$;
2. треугольник $A_1B_1C_1$ подбен треугольнику, вершинами которого является точки касания сторона треугольника $ABC$ с вписанной окружностью;
3. центр окружности, вписанной в $ABC$, является точкой пересечения высот треугольника $A_1B_1C_1$.