Теорема Пифагора

Квант 1972, №3 с. 18-20 Тег 33WK

В. Н. Березин

Своеобразна судьба иных теорем и задач…Как объявить, например, столб исключаительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора? Почему многое из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведязадавать пять сравнительно обозримых столейной количеств до нескольких сотен?

Когда речь идет о теореме Пифагора, необучное начинается уже с ее названия. Считается, что формулировал ее впервые отнюдь не Пифагор. Комнительным полагают и то, что он дал ее доказательство. Если Пифагор — реализное лице (некоторые сомневаются даже в этом!), то жил он, скорее всего, в VI—V в. до н. э. Сам он ничего не писал, называл себя философом, что значно, в его понимании, «стремящийся к мудрости», основал пифогрейский союз, члены которого занимались музыкой, гипнастикой, математкой, физкой и астрономией. По-видимому, был он и великопепным органом, о чем свидетельствует следующая легенда, относящаяся к пребыванию его в городе Кротоне: «Первое появление Пифагора пред народом в Кротоне началось речью к юношам, в котором он так строго, но вместе с тем и так увлекательно изложил обозначности юношей, что старейшие в городе просили не оставить и их без почечения. В этой второй речи он указывал на закономность и на чистоту правов, как на основы семейства; в следующих двух он обратился к детям иженщинами. Последствием посл дней речи, в котором он особенно порицал Россью, было то, что в храм Геры доставлены были тысячи драгоценных платьев, либо ни одна женишка не решалась более показывать в них на улице…» Тем не менее ще во втором столении нашей эры, т. е. спустя 700 лет, жили и творили в поле реальные люди, незаурядные учены, находившиеся явно под влиянием пифогрейского союза и относится с большим уважением к тому, что согласно легенде создают Пифагор.

Несомненно также, что интерес к теореме вызывается и тем, что она занимает в математике одно из центральных мест, и удовлетворением авторов доказательства, предодолевших трудности, о которых хорошо сказал живший до нашей эры римский позт Квит Гораций Фласк: «Трудно хорошего выразить общеизвестные факты».

Первоначально теорема устанавливала соответствие между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямогоного треугольника: квадрат, построенный на zипоменузе, равновелик сумме квадратов, построенных на каметах. Именено в такой формулировке доказывается эта теорема с помощью рисуков, приведенных на первой странице обложки. Здесь на верхнем левом рисуке выделен штириховыми линиями прямого треугольника, на катетах и гипотенузе которого построены квадраты, на гипотенузе

тенуze — наружу, на катетах — внутренъ треугольника. Стороны этих квадратов продолжены везде, где один из квадратов налегает на другой. При этом образовались несколько треугольников, трапеций и один головой квадрат. Равные фигуры окрашены в одинаковый цвет. На тот факт, что треугольник, образованный из красной трапеции и желтого треугольника, равновелик (более того, симметричен) треугольнику, образованному из фиолетового треугольника и зеленой трапеции, образает внимание фрагмент в правом верхнем углу.

В нижней части рисунка на катетах прямогоного треугольника (белого) те же самые квадраты построены внешним образом. Попутно в одном из них фиолетово-зеленый треугольник заменен на равновелик ему красно-желтый. Телерь уже совсем нетрудно показать, что фигура, составленная из двух квадратов, построенных на катетах прямогоного треугольника, равновелика квадрату, построенному на гипотенuse этого треугольника. Для этого заменем еще раз зеленую трапецию вместе с фиолетовым треугольником на красную трапецию плоской треугольник и заменаем, что образованная при этом фигура оказывается равносствленной с квадратом, построенным на гипотенuse данного прямогоного треугольника. Тем самым доказана и теорема Пифагора.

А вот еще одно доказательство, использующое равносствленность. На рисунке 1 okрашенный в зеленый цвет отрезок равен одному из квадетов расположенного в нижней части чертежа прямогоного треугольника, а красный треугольник — равноведренный и прямогоный. Доказав, что угол между двумя разрезами — слева и внизу — прямой,усматриваем, как из частей данной фигуры, представляющей собой объедининие квадрата и равноведренного прямогоного треугольника, можно сложить либо два квадрата, либо один. Причем во втором случае сторона квадрата равняется гипотенuse этого самого приватшего треугольника. Шарнирное крепление на рисунке 2 показывает, что был отрезан прямогоный треугольник, представляющий половину красного, и повернуть относительно «шарнирной» точки на 135°. На рисунке 3 использует рисунка 1. Вновь около шарнирных точки отделенные треугольники поворачивают на 135° каждой.

Как проводить доказательство теоремы в случае, когда меньше из квадетов более половины большого, вы легко установить сами.

Современная геометрия предпочтает арифметическую формулировку теоремы Пифагора, а именно: если стороны прямогоного треугольника изменены одним и тем же

Рис. 4.

маштабом, то квадрат числа, выражающего гипotenуzy, равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты. Коротко: квадрат гипotenуzy равен сумме квадратов кататов. Два доказательства, использующих также формулировку, мы сейчас и проведем.

На рисунке 4 изображен квадрат с выделенными на нем четырьмя равными прямогольными треугольниками. Именно из такого рисунка исходил в своем доказательстве в XII веке индиский математик Бхаска-Ачарна.

Пусть сторона большого квадрата (она же — гипotenуza прямогольного треугольника, окрашенного здесь в желтый цвет) равна $c$ . Пусть также два его катата равны соответственно $a$ и $b$ . Тогда, в согласно с чертежом, $(a-b)^2 + \frac{4ab}{2} = c^2$ , то есть $c^2 = a^2 + b^2$ . Следовательно, если треугольник прямогольный, то сумма квадратов его кататов действительное равна квадрату гипotenуzy.

На рисунке 5 один из трех данных прямогольных треугольников — объемлющий. Все три треугольника — попарно подобные. В этом и ключ к доказательству, либо площади подобных фигур, построенных соответственно на кататах и гипotenуze данного прямогольного треугольника, находятся в том же отношении, в каком площади квадратов, построенных на этих кататах и гипotenуze. Иначе говоря, с помощью рисунка мы получаем равенство $ka^2 + kb^2 = kc^2$ , где $a$ и $b$ — кататы объемлющего треугольника, $c$ — его гипotenуza, $k$ — число, равное отношению площади объемлющего треугольника к площади квадрата, построенного на его гипotenуze. Сокращая обе части равенства на $k$ , получаем, как следствие, теорему Пифагора.

Рис. 6.

Рис. 7.