В планиметрии — теорема, в стереометрии — нерешённая проблема

Квант 1972, №3 с. 28-32 Тег E55W

В планшетрии-меорема, в стереометрии-нерешенная проблема

И. М. Яглом

В № 6 журнала «Квант» за 1971 год была помещена следующая задача (задча М89):

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать также три стороны, при продолжении коморых образуется треугольник, объемющий даниый многоугольник. (Например, на рисунке 1, где многоугольник обведен черной линий, три красные прямые удовлетворяют требуемому условию, а три сине — нет.)

Эта задача имеет много разных решений. Однако прежде чем расскаать ее решение, скажем о том, почему она интересна.

На рисунке 2 вы видите треугольник ABC и три меншших треугольника $Ab_1c_1$ , $Ba_1c_2$ и $Ca_2b_2$ , подобных ABC и получающихся из ABC скатиями к точкам A, B и C — вершинами исходного треугольника. Треугольники $Ab_1c_1$ , $Ba_1c_2$ и $Ca_2b_2$ не только подобны ABC — они готовы ABC, то есть подобны ABC и параллельно ему расположены. (Посленее ознакомлен, что отвечающие друг другу, скажем, в подобных треугольниках ABC и $Ab_1c_1$ отрезки образательно параллельно между собой.) Ясно, что если треугольники $Ab_1c_1$ , $Ba_1c_2$ и $Ca_2b_2$ линь немного меньше исходного треугольника ABC, то они полностью по крЫ вают треугольник ABC.

На рисунке 3 изображен параллелограмм ABCD и четыре меншших параллелограмма $Ab_1c_1d_1$ , $Ba_1d_2c_2$ , $Cb_2a_2d_3$ и $Da_3b_3c_3$ , получающихся из

Рис. 2.

ных данному паралелограмму ABCD паралелограммов, которые можно покрыть паралелограмм ABCD. В самом деле, если сторона AB паралелограмма ABCD равна c, то и всякий принадлежий ABCD отрезок, паралелный AB, будет не превосходить c; поэтому в готовениином ABCD и меньше ABCD паралелограмме всякий паралелный AB отрезок будет меньше c. Отсюда следует, что обе вершины A и B паралелограмма ABCD не могут быть покрыты (никаким!) паралелограммом, готовичным ABCD и меньше его. Таким образом устанавливается, что каждую вершину паралелограмма ABCD нам придется покрывать с воим паралелограммом, меньше ABCD и готовичным ABCD; поэтому общее число покрывающих ABCD меньше меньше ABCD меньше окажется не меньше 4 (по числу вершин ABCD). Точно так же устанавливается, что общее число покрывающих треугольник ABC треугольников, готовичных ABC и меньше его, не может быть меньше 3 (ибо каждую вершину ABC придется покрывать с воим треугольником).

Задача о том, сколько готовичных данному (еъпуклому) многоугольнику M и меньше его многоугольников достаточно, чтобы покрыть M, была поставлена в 1960 году кшшневским математиками И. Ц. Гохберг и А. С. Маркусом (несколько равше — в середине 50-х годов — родственная задача была

ки книг; здесь же мы покажем, как можно вывести доказательство этой теоремы из результата задачи M89.
В самом деле, пусть ABC — фигурирующий в условиях этой задачи треугольник, содержащий внутри себя (отличный от паралелограмма!) выпукленный многоугольник M ≡ A₁A₂A₃…Aₙ, причем сторона AB треугольника содержит отрезок A₁A₂, сторона BC — отрезок AₖAₖ+1 и сторона CA — отрезок A₁A₁+1 (рис. 5).
Выберем теперь внутри M некоторую точку O и соединим ее с кakими-то точками P, Q и R отрезков A₁A₂, AₖAₖ+1 и A₁A₁+1. При отрезка OP, OQ и OR разрежут M на три части m₁, m₂ и m₃. Сокжем теперь многоугольник M к точке A. Если полученный таким путем из M многоугольник M₁ (см. рис. 5) мало отличается от M, то он обязательно полностью покрыет m₁ — для доказательства этого достаточно сравнить границы многоугольников M₁ и m₁ (проведите сами аккуратно это рассужждение!).
Аналогично показывается, что готоветчными M и меньшими M многоугольниками M₂ и M₃, получаются из M скатиями к точкам B и C, можно полностью покрыть части m₂ и m₃ многоугольника M. Итак, М можно покрыть трея многоугольниками ( многоугольники M₁, M₂ и M₃), экономически M и меньшими M.
Мы доказали, что для каждой от паралелограмма выпукло многоугольника M число готовотчных M и меньших M многоугольников, которые можно полностью покрыть M, не больше чем 3. Можно также доказать, что для любого (не вырождающегося в отрезок прямой) такого многоугольника это число в точности равно 3 (см. задачу 1 на стр. 32).

Вернемся теперь к задаче M89. Вот одно из простейших ее решений. Заметим, что если выпуклый многоугольник M не треугольник не паралелограмм, то у него найдется две непараллельные стороны, не имеющие общей вершины *). Продолжая их до точки пересечения, мы получим выпуклый многоугольник M₁ с меньшим чем у M числом сторона, содержащий M (рис. 6). Если этот многоугольник M₁ снова не треугольник и не паралелограмм, то мы и с ним можем поступить, как с M — и так до тех пор, пока не получим содержащий M треугольник или паралелограмм, стороны которого, оченьindo, получаются продолжением сторона M.
Если последний многоугольник, к которым мы приедем в процессе наших преобразований исходного многоугольника M, является треугольник, то тем самым задача M89 оказывается решенной (рис. 7). Если же в конце мы приедем к паралелограмме.

*) Если многоугольник M имеет пять или больше стороны, то это следует из того, что никакой выпуклый многоугольник не имеет трех или более паралелых между сторонами; для четырехугольника же, отличного от паралелограмма, это следует из определения паралелограмма.

Рис. 4.

лелоэрмму ABCD, но сам исходный многоугольник M не параллелогамм, то какая-то из вершин A, B, C и D параллелогамма не будет является вершиной M. Пусть, например, точка A не является вершиной M (рис. 8). Расстоянием тогда близкой к A вершину K, принадлежащую отрезку AB, и исходную из этой вершины K сторону KL, не принадлежащую прямой AB. Так как многоугольник M выпуклый и одна из его сторон принадлежит отрезку AD, то сторона KL может идти только так, как это изображено на рисунке 8 (ибо весь многоугольник M должен лежать по одному сторону от KL). Но в таком случае при прямые BC, CD и KL, совпадающие с темя сторонами многоугольника M, определяют удовлетворяющий условием задачи М89 треугольник.

Итак, единственный многоугольник, для которого не существует требуемого треугольника, является параллелогамм.

Итак, мы видим, что теорема Гохберга — Маркуса не является особенно сложной — самым трудным пунктом ее доказательства можно считать решение задачи М89. Но от И. Ц. Гохберга и А. С. Маркуса (а также и от Ф. Леви) идет степеометрический вариант этой же задачи:

Для каждого выпуклого многоугольника M указать наименьшее число элементов M (то есть подобных M и параллельно M расположенных*) многоугольников, которые можно полностью покрыть многоугольник M — и эта проблема оказывается несовершеннено труднее соответствующей планимерческой задачи.

Нетрудно видеть, что для tetraэдра T (треугольной парамиды) на

*) Два (выпуклых) многоугольника M и μ называются экономически, если они подобны (то есть это суще многоугольники одного вида и все размеры одного из них пропорциональны соответствующим размерам второго), и каждому отрезку AB многоугольника M соответствует в многоугольнике μ отрезок ab, параллельный AB.

именыще число готовительных ему и меньших его терраздров, которые можно покрыть T, равно четырем; для куба же К соответствующее число меньших кубов равно восемии (доказите это!). Нетрудно видеть, что интересующое нас в постановной стереометрической задаче число можем принимать любые значения между 4 и 8 (см. задачу 2 в конце статьи). Существует предложение, что никакие другие значения этого числа принимать не можем (причем восемии оно равно только в том случае, когда рассматриваемый многогранник является параллеленедом!). Однако доказать это утверждение пока удалость только в одну сторону (см. задачу 3 в конце статьи). Доказательство же (или опровержение) того, что рассматриваемое число никака не может быть больше восемии, пока составляется проблему, решить которую не удалось никакому — и это не смотря на то, что эту проблему пытаюсь решить многогранник М, многогранник М и меньше М.

Раздел геометрии, к котором относится рассматриваемые в настоящей заметке задачи, возникк сравнительно недавно — всего каких-нибудь 15—20 лет назад. Этот раздел носит название комбинаторной геометрии; для него характерна простота условий больших_instances рассматриваемых задачи (зачастую понятных любому школьнику!), но, к сожалению, решения этих задач, как правило, довольно сложны. Комбинаторной геометрии посвящено сегодня многодесятков книг и сотни, если не тысячи, научных статей. Некоторые доступные и школьникам книг указаны в конце этой заметки.

Все поставленные ниже задачи относятся к комбинаторной геометрии; они требуны с темой настоящего заметки. Звездочки отмещены задачи, решение которых не известно автору заметки; здесь особенно хотелось бы обратить внимание на задачу 6, которая кажется мне весыма интересной (но, возможно, и весыма трудной!).

Упражнения

Доказать, что никакой выпуклый многоугольник (не выражаютсяся в отрезок прямой) нельзя покрыть двумя многоугольниками, готовыми данному и меньше его.
Обозначим наименьшее число многоугольника M и меньше его многоугольников, которые можно полностью покрыть M, через s(M); тогда s(T)=4, где T—тетраэд, и s(K)=8, где K—куб.

Укажите также три многоугольника A, B и Γ, что

s(A)=5, s(B)=6, s(Γ)=7.

Доказите, что никакой (не выражаются в плоский многоугольник) выпуклый многоугольник M нельзя покрыть третья многоугольника М, готовыми данному М и меньше М.
Доказите, что каждый выпуклый многоугольник можно покрыть следующий выпуклый многоугольник M:

a) треугольник со сторонами a, b и c (искомое число, разумеется, может зависеть от величины a, b и c);

b) прямогольник со сторонами m и n;

b*) параллелограмм со сторонами m и n и углом α≤90°?

6*). Из результата задачи 4 следует, что минимальное число меньше выпуклого многоугольника M и подобных ему многоугольников, которые можно его покрыть, всегда равно 2 или 3. Охарактериозовать класс тех многоугольников M, для которых это число равно 2.

Литература по комбинаторной геометрии

Г. Хадвигер, Г. Дебруннер, Комбинаторная геометрия плоскости, М., «Наука», 1965.
В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Разбение фигур на меньше части, М., «Наука», 1971.
В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии, М., «Наука», 1965.
И. М. Яглом, О комбинаторной геометрии, М., «Знание», 1971.