Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

56

Вариант 1

1. Объем прямоугольного конуса равен $V$. В конус вписана парамида, в основании которого лежит равноведенный треугольник с углом между боковыми сторонами, равным $\alpha$. Найти объем парамиды.

2. Не решая уравнение
   $$x^2 - 2x - 15 = 0,$$
   вычислить сумму квадратов и сумму кубов его корней.

3. Решить уравнение:
   $$\mathrm{tg} 2x \cdot \cos 3x + \sin 3x + \sqrt{2} \sin 5x = 0.$$

4. Решить неравенство:
   $$(3x - 1)\log_2 x > 0.$$

Вариант 2

1. В шар вписана правильная парамида, у которой боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $\alpha$. Объем парамиды равен $V$. Найти объем шара.

2. Решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} 10^3 - \lg(x - y) = 250, \\ \sqrt{x - y} + \frac{1}{2} \sqrt{x + y} = \frac{26 - y}{\sqrt{x - y}}. \end{cases}$$

3. Решить уравнение:
   $$(1 + \cos 4x) \sin 2x = \cos^2 2x.$$

4. Решить неравенство:
   $$\frac{x + 2}{5^{3-x}} > 25.$$

Куйбышевский политехнический институт имени В. В. Куйбышева

Факультет автоматики и информационно-измерительный техника

1. Через вершину правильной треугольной парамиды и середины двух сторон основания проведена плоскость. Определить площадь сегения и объем частей парамиды, на которые она разделена сегением, зная сторону основания $\alpha$ и угол $\alpha$, образованный плоскостью сегения с основанием.

2. Стоимость 70 экземпляров первого тома и 60 экземпляров второго тома составляет 230 руб. В действительности за все эти книги упалили 191 руб., так как была произведена скидка: на первый том — на 15%, а на второй том — на 20%. Найти первоональную цeny каждой из томов.

3. Решить уравнение:
   $$9^x - 2^{x + \frac{1}{2}} = 2^{x + \frac{7}{2}} - 3^{2x - 1}.$$

4. Решить неравенство:
   $$(\log_{\sin x} 2)^2 < \log_{\sin x} (4 \sin^3 x).$$

Электротехнический факультет

1. В шар радиуса $R$ вписан конус, образующего кортого составляет с плоскостью основания угол $\alpha$. Вычислить объем конуса.

2. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, сумма которых равна 56. Известно, что если к этим числам прибавить соответственную 7, 12 и 9, то получается три числа, образующих arithmetic-progressive.

3. Решить уравнение:
   $$\lg \sqrt{x + 3} = 1 - 0.5 \lg (x + 24).$$

4. Найти область определения функции:
   $$y = \frac{2}{\sqrt{4 \sin x \cos x - 1}}.$$

Московский институт нефтехимического и газовой промышленности имени И. М. Губкина

Вариант 1

1. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проробал 7 часов и второй 4 часа, оказалось, что они выполнили 5/9 всей работы. Програмат совместно еще 4 часа, они установили, что им остается выполнить 1/18 всей работы. За сколько часов каждый из рабочих, работая отдельно, мог бы выполнить всю работу?

2. Решить уравнение:
   $$\sqrt[3]{x - 1} \sqrt[3]{3^{10x + 5}} = 3x - 9 \sqrt[3]{27^{3x - 7}}.$$