60
И. М. Яелом
«Олимпидных»
задач
В этом номере опубликованы статьи о VII Всесоюзной математической олимпидade. В них помещены все задачи, предлагавшие на этой олимпидade, и решения ряда из них. Вряд ли уместно представлять здесь читательям журнала математические (и физические) олимпиды и подробно расссказывать о системе проведения этих соревнований в нашей стране — большимство читателей непосредственно знакомо с олимпидами, либо участвовало в них. Укажем только, что в СССР математические олимпиды в их настояшем виде проводятся с 1934 г. Первая в стране городская олимпида была проведена в Ленинграде, ее организаторы и руководители были член-корреспондент Академии наук СССР В. Н. Делоне и профессор В. А. Тартаковский; первая Московская городская олимпида состоялась в 1935 г. под руководством члена-корреспондента АН СССР (ныне академика) П. С. Алексадрова.
Старейшим в мире, как будто, является венгерские математические олимпиды — первое общевенгерское соревнование такого типа состоялось еще в прошлом веке (в 1894 г.). Видимо, нельзя связать устойчивую традицию венгерских математических олимпидад сlectящим расчетом физико-математических наук в Венгрии в XX веке, когда эта сравнительно небольшая странааладесятки выдающихся математиков и физков. Тем не менее неокоторая ковеннаяая связь здесь, верятно, все же имеется. Большое непредредставенное связанные с традицией венгерских олимпидад устойчивые условия венгерских школьников на международных математических олимпидах, а также появление в Венгрии в XX века ряда видных математиков сдарованием, так сказать, «олимпидного» типа (то есть ученых, проявивших себя в первую очередь успехами в решении сложных и нестандартных по условиям и методам их решения математических проблем). К числу таких ученых относится, например, хорошо известный нашим школьником по переводам ряда его книг Дьерд Пойа*) и, особенно, член Академии наук Венгерской Народной Республики Пал Эрдеш**). Из советских математиков к тому же типу относится, например, молдой Юрий Матиясевич, первыые успехи которого были связаны со школьными математическими олимпидами (об основном доступении этого ученого рассказыается в «Кванте» № 7, 1970 в статье Ф. Л. Варпаховского и А. Н. Колмогорова). Пояа, переехавший впоследствии в США, является основным организатором «американской математической олимпидады», привлекающей школьников всей страны. Эта олимпида проводится Стенфордским университетом, профессором которого ряд лет состоял Д. Пояа. По системе проведения и типам предлагаемых задач Стенфордская олимпидад была к венгерским олимпидам, на которых неогда былистал школьник Пояа, и к советским, олимпидам. Несолько инной характер имеют проводимые с 1950 г. как «нью-йорксские олимпиды» (а с 1957 года ставшие «всеамериканским») совершенняли, организуемые Математический Ассоциация Америки («МАА — contests»). В последние годы в этих соревнованиях принято учение сотни тысяч (!) школьников из Соединенных Штатов Америки и из Канады (эти соревнования, задания для которых составляются «центральным штабом олимпиды», проводятся одновременно во многих городах США и Канады). В настоящее время математические олимпиды проводятся в десятих странах Европы, Азии, Северной и Латинской Америки
61
Большой интерес к математическим олимпидам стимулировал публикацию в разных странах сборников «олимпиданных» задач. Известность и популярность полезного решения регулярно издаошнее сборники задач вгенериских олимпидам. Эти сборники переводились на ряд языков, на пример, двутомный их перевод был включен в изданиюшуся в США большим тиражем серия «Новая математическая библиотека» (New mathematical library), близку по характерау к нашей серии «Библиотека математического кружка» *). В этой же серии издан сборник задач, предлагавшихся на современных «МАА — contests»; публикаались в США и сборники задач «Стенфордских олимпидам». Мне приходилось также видеть сборники «олимпиданных» задач, изданные в ГДР и в Болгарии. Широко отражены олимпидные задачи в открытых серия «Библиотека математического кружка» книгах Д. О. Шклярского и др. «Избранные задачи и теоремы элементарной математики» (первая из этих книг выдержала уже 4 издания), а также во входящих в ту же серию последних книгах Д. О. Шклярского и др. (в том числе и в подготовленной к выходу в свет книге «Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии»), хотя эти книги и не являются сборниками «олимпиданных» за
*) Советские школьники знакомы с серей «Новая математическая библиотека» по переводам ряда входящих в нее книг: О. Оре, «Графы и их применение» (М., «Мир», 1965); Э. Беккен бах, Р. Беллман, «Введение в неравиенства» (М., «Мир», 1965); А. Н и вен, «Числа рациональные и irrationalные» (М., «Мир», 1966); Н. Стинрод, У. Чинн, «Первые понятия топологии» (М., «Мир», 1967); И. Гроссман, В. Магнус, «Групы и их графы» (М., «Мир» 1971).
Три издания выдержал в нашей стране достаточно хорошо известный весма интересный сборник «Международные математические олимпиды» Е. А. Морозовой и И. С. Петракова; много сборников задач «местных» олимпидам издавалось в разных городах страны (но, к сожалению, не в Ленинграде, явившемуся «кольбелью» наших олимпид!) и в отдельных ресурсных (например, на Украине, в Армении).
Однако наиболее широким по охвату материалов и тем самым наиболее интересным из книг такого рода качества мне составленный один из ветеранов Московских олимпидад Андреем Леманом «Сборник задач Московских математических олимпидад» (М., «Просвещение», 1965; редактор книги — профессор В. Г. Болтянский). Московские олимпиды до организации всего российских, а затем и всеюозных олимпидад заключенно решающей «первых олимпидад страны»; здесь был накоплен большой и интересный опыт, сыгравший очень большую роль в дальнейшем развития математических соревнований школьников. Составленная А. А. Леманом книга открывается историю и характер проведения Московских олимпидад; далее следует «тренировочные» («подготовительные») задачи и почты полный список задач всех Московских олимпидад, начиная с I (1935 г.) и вплоть до XXVII (1964 г.). К сожалению, имеющиеся в этом списке немногочисленные проблемы сегодня, вдиимо, уже невозможно воспользоваться решением «тренировочных» задачи и значительной части «олимпиданных» задач. То, что некоторые из задач, предлагавших на Московских олимпидадах, оставлены без решения, нельзя считать недостатком книги, но это должно побудить читатель к попыткам самостоятельного решения задач.