Силы трения

68

Сила трения часто вызывает у поступающих вуз серbezные затруднения, особенно сила трения покоя. Чему равна ее величины? Как она направлена? Попытаемся ответить на эти вопросы, разобрав несколько конкретных примеров. Задачи, рассмотренные в статье, в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физик-технический институт, и многие абитуренты не смогли с ним справиться.

Прежде всего вспомним некоторые особенности сил сухого трения, возникающего между двумя твердыми телами. При неосредственном взаимодействии (соприкосновении) этих тел возникают силы, действующие на каждое из них. Согласно тренему закону Ньютона эти силы равны по величины и противоположны по направлению. Составляющие этих сил, направленные перpendикулярно соприкасающимся поверхностью, называют силами нормального давления. Составляющие направленные вдоль поверхности, называют силами трения.

Пусть тело лежит на горизонтальном столе. Будем действовать на него горизонтальной силой, величина которой постепенно увеличивается. До тех пор, пока эта сила меньше определенной величины $F_{\text{max}}$, тело будет сохранять состояние покоя потому, что на тело со стороны тела действует сила трения покоя, по величене равная приложенной силе. направление силы трения противоположно возникному перемещению. Еслиы не было трения, тело сразу начало бы скольить. Можно сказать, что тело «пыть» начать скольить, но трение удерживает его на месте. Если же величина воздействия большие $F_{\text{max}}$, возникла возможность не зависит от величины сил, действующих на тело вдоль поверхности:

$$F_{\text{ck}} = kN.$$

Величина силы нормального давления $N$ не зависит ни от величины касательных взаимодействий, ни от свойстврушихся поверхностей.

Обыт показывает, что общую $F_{\text{ck}}$ не сколько меньше $F_{\text{max}}$. Однако отличие этого не велико, и при решении почти всех задач считают, что $F_{\text{ck}} = F_{\text{max}}$. Это приближение стало настолько привящим, что его общую даже и не ограничивают. Точно так же пребегают зависимости силы трения от скорости. На рисунке 1 пунктиром изображена (несколько преуvelечение) зависимости силы трения от скорости, наблюдаемая на опыте, а сплошной красной линии — общую упрощенное представление этой зависимости.

Рис. 1.

69

Перейдем теперь к разбору конкретиных задач, при решении которых особенности сил треня играют существенно роль.

Задача 1. Поезд, подходя к станции со скоростью $v = 72$ km/ч, начинаем равномерно морозить. Каково наименьшее время мороженя поезда до полной остановки, безопасное для спяцих пассажиров? Козффициент треня пассажира о полку $k = 0,2$.

При торможении поезда скорость движения полки, на котором лежит пассажир, уменьшается, и если бы пассажир сохранил прежнюю скорость, он начал бы скольнить по полке вперед, по ходу движения поезда. Однако, как только он начинает или, вернее, как только он «пытается» начать скольнить, возникает сила треня. Она сообщает пассажиру тормозящей ускорение. Если это ускорение равно ускорению поезда, скорость пассажира все время равна скорости полки, на котором лежит, и пассажир не скольнит по полке. Максимальное возможное ускорение может сообщить максимальная сила треня покоя, которая, как мы уже говорили, приближенно равна $F_{ck} = kN$. Согласно второму закону Ньютона
$$ma_{max} = kN$$
где $m$ — масса спящего пассажира, а $N$ — сила его нормального давления на полку. Для горизонтальной полки $N = mg$ и $a_{max} = kg$. Значит, ускорение поезда, при котором пассажеры не падают с полок,
$$a \leqslant kg$$
Время торможения до полной остановки
$$t \geqslant \frac{v}{a} = 10 \text{ с.}$$

Задача 2. Автомобиль, проевая с места, равномерно набирает скорость, движаясь по горизонтальном участку дороги, представляющей собой дуу окружности в $30^\circ$ радиуса $R = 100$ м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Ко-

эфффициент треня колес о землю $k = 0,3$.

Едиinstвенная внешняя горизонтальная сила, действующая на авторомиль, — это сила треня. Разгон, как мы предполагаем, происходит без просkalъывания, следовательно, мы имеем дело с силой треня покоя. Только эта сила и может сообщить авторомиль необходимое ускорение.

Так как движение автомобиль по окружности — это движение с ускорением, сила треня должна быть направлена под углом к скорости (рис.2). При этом составляющая $F_k$, направленная вдоль скорости, сообщает автомобиль необходимое для разгона ускорение, а составляющая $F_u$, направленная по радиусу окружности, изменяет направление скорости так, чтобы автомобиль двигался по окружности. Центрремительное ускорение $a_u = \frac{v^2}{R}$, следовательно, $F_u = m \frac{v^2}{R}$.

Скорость максимальная в горизонтale, значит, тогда же максимальная и $F_u$. Так как по условиям задачи автомобиль набирает скорость равномерно, сила $F_k$ постоянна.

Как известно, проейденный путь, ускорение и скорость в конце пути связаны соотношением
$$2a_kS = v^2.$$
Отсюда $a_k = \frac{v^2}{2S}$, а сила $F_k = m \frac{v^2}{2S}$.

Геометрическая сумма сил $F_k$ и $F_u$ не должна превышать максимальной силы треня покоя $F_{tp} = kmg$. Так как эти силы перpendикулярны друг

70

другу, то в конце разгона

$$\left(kmg\right)^2 = \left(\frac{mv^2}{R}\right)^2 + \left(\frac{mv^2}{2\alpha R}\right)^2.$$

Отсюда

$$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{kgR}{V_1 + \left(\frac{3}{\pi}\right)^2}} \approx 53 \frac{\kappa M}{u}.$$

Задача 3. Небольшой кубик массы m покопится на шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α. Козффициент трения k = 2tgα. Определить, с какой минимальной горизонтальной силой F, лежащей в плоскости склона (рис. 3), нужного молкать кубик, чтобы он начал движаться.

При k > tgα под действием только силы тяжестки кубик не будет скольнить по наклонной плоскости, так как направленная вдоль наклонной плоскости проекция силы тяжестки $F_T = mg\sin\alpha$ меньше максимальной силы трения покоя $F_{TP} = kmg\cos\alpha$. Если приложить горизонтальную силу F, то результатирующая сила, действующая вдоль наклонной плоскости, будет равна (см. рис. 3)

$$F_p = \sqrt{F^2 + F_{TP}^2}.$$

Если $F_p \geq F_{TP}$, кубик начинает скольнить, так как силы трения покоя уже не может его уравновесить. Минимальное значение необходимо для этого силы F можно найти из условия

$$F^2 + (mg\sin\alpha)^2 = (kmg\cos\alpha)^2.$$

Рис. 3.

Рис. 4.