ВМШ при Московском математическом обществе

72

ВМШ — это вечерняя математическая школа. Заниматься в этой школе могут все желающие ученики 6—8 классов. Вступительные экзаменов в ВМШ нет.

Хорошо работаетшим школьником Совет ВМШ присваивает значение «ученик ВМШ», выдает удостоверение, а по окончании года — рекомендуется для поступления в математический школе.

За десять лет работы ВМШ ее бышние ученики много раз побежали на всеюозных и международных математических олимпiadах, напечатали десяти научных работ. Но ВМШ не ставит своей единственной целю подготовку и отбор будуших профессионалов-математиков.

Уменение «математических мыслить» полезно (а часть и необходимо) любому человеку. Ведь математку можно применять взделе! Например, с февраля по май 1973 года на семинаре, в котором я участвую, рассматривались математические модели, применяемые в экономике, социологии, медицинке, психологии, геологии, генетике, демографии и так далее. Но, к сожалению, учены и инженеры при обсуждении этих вопросов иногда пользоваются теоремими и формулиами математики, не понимая отчетливо их смысл.

Это, естественно, приводит, к ошибкам. Чтобы таких ошибок не было, надо как можно раныше начать тревировать в осознании смысла математических теорем, например, в математическом кругже или в вечерней школе.

Основное на занятиях ВМШ — решение задач; основная обязаность учеников ВМШ — не стесняться и не бояться задать вопрос, когда что-либо не совсем понятно. Программу работы каждой группы (кружка) ВМШ определяют руководители этой группы; при этом учитьсяются интересы школьников, занимающих в группе.

ВМШ работает с октября по апрель. Учебный год начинается с собрания в Актовом зале Московского университета. Занятия проводятся один раз в неделю школьных или аудитории МГУ. Кроме того, регуляро проводится общий для всех групп конкурс по решению задач.

Желающие занимаются в ВМШ могут написать по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, д. 14, корп. 7, ЦЭМИ, лаборатория теории вermatнической статистики, ВМШ, или позвнить во второй половине сентября по телефоном: 291-85-72, 139-35-29.

В заключение мы приведем несколько задач из числа разобранных на занятиях ВМШ. Отметим, что около 400 задач ВМШ собрано в двух книгах: Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розентьль, А. К. Толпыго «Matематические задачи» (М., «Наука», 1971); Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розентьль «Matематические современания. Арithmetic и алгебра» (М., «Наука», 1970). По материалам ВМШ работают «Встречи с темя Нензвестными» в журнале «Пионер».

73

Задание

1. Вдоль прямого шоссе стоит 6 домов. Где вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей? Тот же вопрос, если домов 7.
2. Золотой призерчемпоната набрал 7 очков, середняй — 5, бронзовый — 3. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место? (За победу в матче дается 2 очка, ничья — 1, проигрыш — 0.)
3. Решить в натуральных числах уравнения:
   a) $xy^2 + 3y^2 - x = 108$;
   b) $x! + 12 = y^2$
   (x! — произведение всех натуральных чисел от 1 до x, например, $1! = 1$, $2! = 1 \cdot 2$, $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$).
4. Числа p и p^4 — 6 простые. Найти p.
5. Дан треугольник ABC. Через точку A проведена параллельно BC прямая, на которой взята точка D. Перpendикуляр BE опущен на CD. Доказать, что площадь треугольника ABC равна $\frac{1}{2} CD \cdot BE$.
6. Одинаковые цифры защищены одинаковыми буквами, а разные — разными. Расшифруйте равенство:
   $MЯУ \times MЯУ = MЯУЯK + УЯЯ$.
7. Проектор освещает внутренность угла в $\alpha^0$. Крепостная стена расположена по перimetру выпуклого многоугольника, не являющегося параллелограммом. Доказать, что треяя проекторами можно осветь снаружи. (Точка A считается освещенной проектором B, если его луч доступают всех точек некоторых стены вокруг A.)
8. Первый задумывает n цифр $x_1, x_2, \dots, x_n$. Второй называет n натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$. Первый в ответ сообщает сумму $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n$. Сколько вопросов надо задать второму, чтобы отгадать цифры $x_1, x_2, \dots, x_n$? Как действовать, когда $x_1, x_2, \dots, x_n$ — не обязательно цифры, а натуральные числа, меньше 1000? А если про $x_1, x_2, \dots, x_n$ известно лишь, что это натуральные числа?
9. Естьровно 57 способов выдать x рублей билетами по 3 и 5 рублей. Чему равно x указыва всевозmoности?
10. Найти все функции f также, что для любых чисел x, y с раведливо равенство
    $f(x)f(y) - xy = f(x) + f(y) - 1$.
11. Про точки A, B, C известно, что для любой четвертой точки M отрезок AM меньше хотя бы одного из отрезков BM и CM. Доказать, что точка A лежит на отрезке BC.
12. Подобрать числа a, b, c, d, e так, чтобы уравнение
    $\sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d} - e$
    имелю корни x = 3 и x = 4.
13. Natуральное число n делится на 12 и имеет 1 различных натуральных делителей. Найти n.