Циркулем и линейкой

2

Легко указывать задачи на построение, не имеющие решения. Нельзя, например, проведи касательную из данной точки к данной окружности, если точка лежит внутри окружности. Значительно интереснее случая, когда фигура, которую нужно построить, зависит с существием пользовых инструментов. Многие из вас, наверно, слышали, что две деревни задачи: о трисекции угла и обудоении куба — неразрешимы циркulum и линейкой. Что означает эти слова, какие построения можно и какие нельзя проводить циркulum и линейкой — вот о чем расскажается в этой статье.

1. Решение задачи о трисекции угла циркulum и линейкой

Пусть на рисунке 1 отрезок AB равен радиусу окружности: AB = OB = OC = OD.

Тогда $\Rightarrow BAO = \Rightarrow BOA = \alpha$, $\Rightarrow CBO = \Rightarrow BCO = 2\alpha$ ($\Rightarrow CBO =$ внешний угол $\Delta ABO$), $\Rightarrow COD = 3\alpha$ (как внешний угол $\Delta ACO$). Отсюда вытекает следующий простой способ деления произвольного угла на три равные части.

Сделаем на линейке две отметки A и B. Радиусом AB описем окружность с центром в вершине O данного угла (который нужно разделить на три равные части). Точки пересечения ее со сторонами угла обозначаим через C и D. Будем двигать линейку так, чтобы ее край все время проходил через точку C, а точка A скользывала по прямой OD, пока точка B не попадает на окружность. Когда это произойдет, мы получим расположение, изображенное на рисунке 1, так что $\Rightarrow BAO$ оказывается равным трети $\Rightarrow COD$.

Описанное построение может создать впечатление, что задача о трисекции угла (о делении угла на три равные части) решается с помощью циркulum и линейки. Чтобы обьясить, что нас не устранает в этом построении, обсуждим решение следующего физического задачи.

Как, находясь на крышке многоэтажного дома, изменить его высоту с помощью барометра и часов?

Решение. Надо сбросить барометр с крыши, засечь время падения t и вычислить высоту дома h по формуле $h = \frac{gt^2}{2}$, где g — ускорение свободного падения.

Рис. 1.

3

2. Что же разрешается делать циркуль и линейкой?

Линейкой разрешается проводить прямы, проходящие через две данные (или ранее построенные) точки, а циркуль — окружности с данными (или построенными) центром и радиусом *).

На первый взгляд, ответ — четкий и недвусмысленный. Во всяком случае, он разрешает делать на линейке отметки и дивигать ее по плоскости. Тем самым он разрешает построение из п. 1 или, например, такое построение проходящей через точку $A$ касательной к окружности $S$ (А вне $S$): будем дивигать линейку так, чтобы она все время касалась $S$; когда ее край пройдёт через точку $A$, проведем касательную.

Однако и здесь тягется подводные камни. Что значит, например, что проведена прямая? Значит ли это, что данные все точки?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим задачу об уводении куба.

Зная ребро куба, построить ребро другого куба, имеющего вдвое больший объем.

Нам дан отрезок $AB$ (ребро куба). Проведем через $A$ и $B$ прямую. Если считать, что все точки даны, то дана и такая ее точка $C$, что $AC=AB^3\sqrt{2}$ и исключое ребро $AC$ «построено». Из разобранного примера видно, что нужны дальнейшие уточнения. Нужно четко выяснить, что ознакомим слова «дана точка» и «дана прямая».

3. Элементарные построения

Перечислим, какие элементы построения можно проводить циркуль и линейкой, когда на плоскости проведено конечное число прямы и окружности и отмечено число точок.

$\cdot$ О построениях циркуль мы уже писали (см. «Квант», 1974, № 10).

$\alpha$. Если отмечены точки $A$ и $B$ (и $A$ не совпадает с $B$), то можно проведи прямую $AB$.

$\beta$. Если отмечены точки $O$, $A$ и $B$ (и $A$ не совпадает с $B$), то можно проведи окружность с центром $O$ и радиусом $AB$.

$\gamma$. Если проведены две окружности (или две прямы, или прямая и окружность) и если они пересекаются или касаются (но не совпадают!), то можно отметить любую из их общих точек.

Упражнение 1. Пусть на плоскости проведена прямая $l$ и на ней отмечена точка $A$. Можно ли с помощью конечного числа элементов построений $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ проведи через точку $A$ прямую $p$, перpendикулярную к $l$?

4. Как формулировать задачи на построение?

Пусть на плоскости проведено конечное число прямы и окружностей и отмечено конечное число точок — совокупность этих линей и точек будем называть конфигурацией. Скажем, что точку $A$ можно построить (циркуль и линейкой), исходя из данной конфигурации, если можно сделать конечное число элементов построений $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, так что в результате точка $A$ оказывается отмеченной.

Всякую геометрическую задачу на построение можно формулировать так.

Дана некоторая конфигурация. Построить, исходя из нее, точки $A_1,...,A_k$, удовлетворяющие некоторым условиям.

Примеры. А. Задчача «построить прямую, равнодаленную от двух данных точки и данной окружности» в этих терминах формулируется так.

Исходная конфигурация: проведена окружность $S$ и отмечены точки $A$ и $B$. Построить точки $A_1$ и $A_2$ так, чтобы $A_1$ не совпадает с $A_2$ и прямая $A_1A_2$ была равнодалена от $A$, $B$ и $S$.

В. Задчача «Дан $\Delta ABC$. Построить внешписанную окружность, касающую стороны $BC$» формулируется так.

Отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Построить точки $O$ и $D$, удовлетворяющие следующим условиям

4

Ловиям: $O$ удалена от прямых $AB$, $AC$ и $BC$ на одно и то же расстояние, равное $OD$ и лежит вне $\triangle ABC$; $D$ лежит на отрезке $BC$.

С. Задча «Построить $\triangle ABC$ по темм биссертикам» формулируется так.

Проведена прямая $l$, на ней отмещены точки $O$, $D$, $E$ и $F$. Построить точки $A$, $B$ и $C$ так, чтобы в $\triangle ABC$ биссертисы $b_A$, $b_B$ и $b_C$ равнялись соответствию $OD$, $OE$ и $OF$.

5. О «произвольных точках»

Если вы сумели построить циркулем и линейкой прямую $p$ из упражнения 1, то, значит, вы невинимательно прочитали п. 3: к исходной конфигурации $\{l, A\}$ нельзя применить ни одно из элематриных построений, так как $\alpha$ и $\beta$ требуют, чтобы в конфигурации были отмещены хотя бы две различные точки, а $\gamma$ — чтобы было проведено хотя бы две различные линии.

Для того чтобы можно было начать работу, мы потребем, чтобы в исходной конфигурации всегда было отмещено не менее двух различных точки. После этого упражнение 1 переформулируется так.

У разжене 2. Пусть на плоскости проведена прямая $l$ и на ней отмещена точка $A$. Кроме того, пусть на плоскости отмещена еще одна точка $B$ (отличная от $A$). Построите прямую $p$, проходящую через $A$ и перпендикулярную к $l$.

У разжене 3. Пусть в исходной конфигурации отмещены хотя бы две различные точки. Докажите, что тогда можно — многоократно использовать элематриные построения $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — отметить точку,

a) заведено принадлежащую неокоторой из проведенных линии — или даже любому фиксированному отрезку (или дуг) этой линии,

b) заведено не принадлежащую ни одной из линии исходной конфигурации,

c) заведено принадлежащую (или не принадлежащую) какой-либо фигуре, образованной проведенными линиими (кругу, треугольник и т. п.).

Объчно в задачах на построение встречаются построения следующого типа: «отметим произвольную точку на дуг $EF$» или «отметим произвольную точку вне $\triangle ABC$». Упражнение 3 показывает, что любое такое по-

Сформулируем основную теорему (ее доказательство будет дано в п. 8), которая показывает, какие алгебраические действия соответствуют элементарным построениям $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

О п р е д е л е н и е. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, а также извлечение квадратного корня из положительного числа будем называть основными действиями.

Т е о р е м а 1. Если исходная конфигурация имеет параметры $p_1, \ldots, p_n$, то точку $(x, y)$ можно построить тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ выражаются через $p_1, \ldots, p_n$ с помощью конечного числа основных действий.

З а м е ч а н и е. Иногда задачи на построение удобно формулировать так.

Даны отрезки с длинами $d_1, \ldots, d_n$. Построить отрезок длины $x$. К таким задачам удобнее применять не теорему 1, а следующую теорему.

Т е о р е м а 1’. Пусть даны отрезки, длины которых выражаются числами $d_1, \ldots, d_n$, и пусть среди них есть единичный отрезок. Тогда циркулем и линейкой можно построить отрезок длины $x$ (то есть построить две точки на расстоянии $x$) в том и только том случае, когда $x$ выражается через $d_1, \ldots, d_n$ с помощью конечного числа основных действий.

У п р а ж н е н и е 4. Выведите теорему 1’ из теоремы 1.

У п р а ж н е н и е 5. В теореме 1’ сказано, что одно из чисел $d_1, \ldots, d_n$ равно 1. Покажите, что без этого условия теорема 1’, вообще говоря, неверна.

7. Неразрешимость задач об удвоении куба и о трисекции угла

Согласно теореме 1’ вопрос разрешимости задачи об удвоении куба (см. п. 2) можно сформулировать так.

Дано число 1. Можно ли выразить через него с помощью конечного числа основных действий число $\sqrt[3]{2}$?

У п р а ж н е н и е 6. Докажите, что $\sqrt[3]{2}$ — иррациональное число.

Неразрешимость задачи об удвоении куба вытекает из этого упражнения и следующей общей теоремы, доказательство которой будет дано в п. 9.

Т е о р е м а 2. Пусть кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с рациональными коэффициентами $a$, $b$ и $c$ не имеет рациональных корней, и пусть $x_0$ — его корень. Тогда $x_0$ нельзя выразить через целые числа с помощью конечного числа основных действий.

Действительно, как следует из упражнения 6, уравнение $x^3 - 2 = 0$ не имеет рациональных корней, а значит, его корень $x_0 = \sqrt[3]{2}$ нельзя выразить через 1 с помощью конечного числа основных действий. Поэтому, исходя из единичного отрезка, нельзя построить циркулем и линейкой ребро куба с объемом 2.

Перейдем к задаче о трисекции угла. Это, собственно говоря, не одна задача, а целая серия: каждому углу соответствует своя задача. Некоторые из них разрешимы — например, угол в $90°$ можно разделить циркулем и линейкой на три равные части. Мы покажем, что в общем виде задача о трисекции угла неразрешима. Для этого достаточно указать хоть один угол $\varphi$, который нельзя разделить на три равные части. Мы возьмем $\varphi = 30°$.

Этот угол можно построить циркулем и линейкой (см. рис. 3), исходя

Рис. 3.

5

6

из конфигурации $\{A, B\}$, состоящий из двух точек $A$ и $B$ ($AB = 1$). Если бы его можно было разделить циркл и линейкой на три равные части по $10^\circ$, то мы смогли бы, исходя из конфигурации $\{A, B\}$, построить и угол в $10^\circ$, а значит, и отрезок длиной $s = \sin 10^\circ$ (см. рис. 4, где $\Rightarrow C = 10^\circ$, $CD = 1$, $DE \perp CE$, и значит, $DE = \sin 10^\circ$).

Докажем, что этого сделать нельзя, то есть число $s = \sin 10^\circ$ нельзя получить с помощью конечного числа основных действий из числа 1.

Используя формулу $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$, получаем уравнение $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ = 3s - 4s^3$, или $s^3 - \frac{3}{4}s + \frac{1}{8} = 0$. (1)

По теореме 2 нам достаточно доказать, что (1) не имеет рациональных корней. В этом можно убедиться неосредственно, но проще воспользоваться следующим общим примемом.

Лемма. Пусть уравнение $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$ (2) с целью коэффициента $a_1, \dots, a_n$ имеет рациональный корень $x_0$. Тогда $x_0$ — обязательное число число $u$ $|x_0|$ является делимелем числа $|a_n|$.

Доказательство. Запишем $x_0$ в виде несократимой дроби $p/q$ ($p$ — целое, $q$ — натуральное, в частиности, если $x_0$ — целое, то $q = 1$). Подставим $x_0 = p/q$ в (2), умножим все члены на $q^{n-1}$ и пересечем первое слагаемое в правую часть. Получим $a_1p^{n-1} + a_2p^{n-2}q + \dots + a_{n-1}pq^{n-2} + a_nq^{n-1} = -p^n/q$.

Слева стоит целое число, значит, $p^n/q$ — тоже целое, и поскольку $p$ и $q$ взаимно просты, то $q = 1$ и $x_0$ — целое. Переписав (2) при $x = x_0$ в виде $a_n = x_0(-a_{n-1} - a_{n-2}x_0 - \dots - a_1x_0^{n-2} - x_0^{n-1})$, получаем, что $|a_n|$ делится на $|x_0|$. Лемма доказана.

Чтобы воспользоваться леммой, сделаем в (1) замену $x = 2s$. Получим уравнение $x^3 - 3x + 1 = 0$. (3)

Так как 1 и —1 не является его корнями, то (по лемме) оно не имеет рациональных корней, а значит, и уравнение (1) не имеет рациональных корней. По теореме 2 число s нельзя выразить через 1 с помощью конечного числа основных действий, и значит, задача о трисекции угла в $30^\circ$ неразрешима.

Упражнение 7. Можно ли угол в $19^\circ$ разделить циркл и линейкой на 19 равных частей?

8. Доказательство теоремы 1

Будем говорить, что число $x$ можно построить, исходя из данной конфигурации, если, исходя из нее, можно построить такие точки $C$ и $D$, что $CD = |x|$ (то есть $CD = x$, если $x \ge 0$, и $CD = -x$, если $x < 0$).

Упражнение 8. Докажите, что a) если числа $z$ и $t$ можно построить, то можно построить и числа $z + t$, $z - t$, $zt$, $z/t$ (при $t \neq 0$) и $\sqrt{z}$ (при $z \ge 0$), b) точку $(x, y)$ можно построить тогда и только тогда, когда можно построить ее координаты — числа $x$ и $y$, c) исходя из конфигурации с параметрами $p_1, \dots, p_n$, можно построить числа $p_1, \dots, p_n$.

Из упражнения 8 с и 8a следует, что, исходя из данной конфигурации, можно построить любое число, которое выражается через ее параметры $p_1, \dots, p_n$.

7

ла основных действий. Тем самым, согласно упражнению 8b, можно построить любую точку $(x, y)$, координаты которой выражаются с помощью основных действий через $p_1, \ldots, p_n$. Половина теоремы 1 доказана.

Остается доказать обратное утверждение: если точку $(x, y)$ можно построить, то $x$ и $y$ выражаются через параметры исходной конфигурации с помощью основных действий. Это утверждение сразу вытекает из следующей леммы.

Л е м м а. Пусть к конфигурации с параметрами $q_1, \ldots, q_N$ применено одно из элементарных построений $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Тогда параметры полученной конфигурации выражаются через $q_1, \ldots, q_N$ с помощью основных действий.

Доказательству леммы предпошлем следующее упражнение.

У п р а ж н е н и е 9. Докажите, что

а) прямая, проходящая через две различные точки $(c_1, c_2)$ и $(d_1, d_2)$, задается уравнением

$$x = c_1 \text{ при } c_1 = d_1$$

и

$$y = \frac{c_2 - d_2}{c_1 - d_1}x + \frac{c_1d_2 - c_2d_1}{c_1 - d_1} \text{ при } c_1 \neq d_1,$$

b) расстояние между точками $(c_1, c_2)$ и $(d_1, d_2)$ равно $\sqrt{(c_1-d_1)^2+(c_2-d_2)^2}$,

c) если две прямые задаются уравнениями

$$y = k_1x + b_1 \text{ и } y = k_2x + b_2,$$

то при $k_1 = k_2$ они либо параллельны, либо совпадают, а при $k_1 \neq k_2$ пересекаются в точке

$$\left(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2},\ \frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}\right);$$

прямые $y = k_1x + b_1$ и $x = a_2$ пересекаются в точке $(a_2, k_1a_2 + b_1)$; прямые $x = a_1$ и $x = a_2$ либо параллельны, либо совпадают,

d) окружность с центром $(c, d)$ и радиусом $r$ задается уравнением $(x-c)^2 + (y-d)^2 = r^2$.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. При построении $\alpha$ к параметрам $q_1, \ldots, q_N$ добавляется одно или два числа — коэффициенты уравнения $x = c$ или $y = kx + b$, задающего проведенную прямую. Согласно упражнению 9а они выражаются через $q_1, \ldots, q_N$ с помощью основных дей-

ствий (так как координаты отмеченных точек, через которые проводится прямая, входят в число параметров $q_1, \ldots, q_N$).

При построении $\beta$ проводится окружность с центром $O$ и радиусом $CD$. Координаты точек $O$, $C$ и $D$ входят в число параметров, а радиус выражается через них с помощью основных действий согласно упражнению 9b.

При построении $\gamma$ возможны три случая.

Первый — когда отмечается точка пересечения двух прямых — разбирается с помощью упражнения 9с.

Во втором случае пусть отмечается точка $(x_0, y_0)$ пересечения или касания окружности $(x-c)^2+(y-d)^2=r^2$ (см. упражнение 9d) и прямой $y = kx + b$. Координаты $(x_0, y_0)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Подставив $y=kx+b$ в первое уравнение, получаем для определения $x_0$ квадратное уравнение

$$(x-c)^2+(kx+b-d)^2=r^2.$$

Если применить формулу для решения квадратного уравнения, то $x_0$ (а стало быть, и $y_0=kx_0+b$) выразится через $k, b, c, d$ и $r$ с помощью основных действий. Для прямой, заданной уравнением $x = a$, аналогичный результат получается еще проще.

В третьем случае отмечается точка пересечения или касания окружностей

$$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2,$$
$$(x-c')^2+(y-d')^2=r'^2.$$

Раскроем скобки и вычтем одно уравнение из другого. Получим линейное уравнение

$$Px+Qy=R,$$

где $P=2(c'-c)$, $Q=2(d'-d)$, $R=r^2-r'^2+c'^2-c^2+d'^2-d^2$. Если $Q \neq 0$, то перепишем его в виде $y=kx+b$ (где $k=-P/Q$, $b==R/Q$), а если $Q=0$, $P \neq 0$ — то в виде $x=a$ (где $a=R/P$), и тем самым сведем все к уже разобранному второму случаю; равенство $P=Q==0$ невозможно (если $R \neq 0$, окружности не имеют общих точек, если $R = 0$ — совпадают).

7

8

9. Доказательство теоремы 2

Разделим основные действия на простые — сложные, вычитание, умножение и деление и сложное — извлечение квадратного корня.

Пусть имеется неокоторое множество чисел. Расмотрим все числа, которые можно получить из них с помощью конечного числа простых действия.

Определение. Если обозначить исходное множество через $M$, то полученное множество $P$ называется полем, порождаемым $M$.

Ясно, что если числа $z$ и $t$ принадлежат полю $P$, то и числа $z + t$, $z - t$, $zt$ и $z/t$ (при $t \neq 0$) принадлежат $P$.

Примеры. А. Множество $M$, состоящее из одного числа 1, порождает поле рациональных чисел.

В. Множество $M$, состоящее из всех рациональных чисел и числа $\sqrt{2}$, порождает поле $P$, в котором входят все числа вида $a + b\sqrt{2}$ (где $a$ и $b$ рациональные) и только они. Проверьте это, обратив особое внимание на деление. Отметим, что то же поле $P$ порождается двумя числами: 1 и $\sqrt{2}$.

Упражнение 10. Принадлежит ли $\sqrt{3}$ полю $P$ из примера В?

Пусть $x$ — какое-нибудь число, которое выражается через 1 с помощью конечного числа основных действия. Это значит, что имеется числа $x_1, \ldots, x_n$, где $x_1 = 1$, $x_n = x$, и каждое число $x_k$ ($1 < k \leq n$) выражается через предыдущие с помощью одного основного действия. Например, для $x = \sqrt{2} - 5\sqrt{3}$ можно взять $x_1 = 1$, $x_2 = 1 + 1 = 2$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = 1 + 2 = 3$, $x_5 = \sqrt{3}$, $x_6 = 2 + 3 = 5$, $x_7 = 5\sqrt{3}$, $x_8 = \sqrt{2} - 5\sqrt{3} = x$.

Построим цепочку полей $P_1, \ldots, P_n$, где $P_k$ — поле, порождаенное множествором чисел $x_1, \ldots, x_k$. В этой цепочке для каждой поля $P_k$ имеются две возможность:

1. Если $x_k$ принадлежит $P_{k-1}$, то $P_k$ совпадает с $P_{k-1}$.
2. Если $x_k$ не принадлежит $P_{k-1}$, то $P_k$ порождается множествором, которое получается добавлением к полю $P_{k-1}$ числа $x_k$ (при этом $x_k^2$ обязаτεльно принадлежит $P_{k-1}$).

Из сказанного ясно, что для доказательства теоремы 2 достаточно установить следующие.

Лемма 1. Пусть число $s$ не принадлежит полю $P$, $s^2$ принадлежит $P$ и $Q$ — поле, порождаенное множествором, которое получается добавлением к $P$ числа $s$. Пусть уравнение

$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$

с коэффициентами, принадлежащими $P$, не имеет корней в поле $P$. Тогда оно не имеет корней и в поле $Q$.

Прежде, чем доказать эту lemму, описем, как устройно поле $Q$.

Лемма 2. Любое число $q$ из поля $Q$

1. представляется в виде $q = p_1 + p_2s$, где $p_1$ и $p_2$ принадлежат $P$,
2. удовлетворяет квадратному уравнению $x^2 + dx + e = 0$ с коэффициентами $d$ и $e$, принадлежащими $P$.

Доказательство lemмы 2.

1. Ясно, что все числа вида $p_1 + p_2s$ принадлежат $Q$. Чтобы доказать, что других чисел в $Q$ нет, достаточно проверить, что простые действия над числами вида $p_1 + p_2s$ снова принадлежат к числам того же вида. Это следует из формулы

$$(p_1 + p_2s) \pm (r_1 + r_2s) = (p_1 \pm r_1) + (p_2 \pm r_2)s,$$

$$(p_1 + p_2s) \cdot (r_1 + r_2s) = (p_1r_1 + p_2r_2s^2) + (p_1r_2 + p_2r_1)s$$