Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

44

Ленинградский государственный университет

им. А. А. Жданова

В ленинградском государственном университете имеются три физико-математических факультета: математико-механический факультет, факультет прикладной математики — процессов управления и физический факультет.

Наиболее отличительной чертой университетского образования является широта и фундаментальность получаемых знаний, представляющих основу, на которой строятся те или иные дисциплины прикладного характера. Выпускник университета обладает широкими возможностями для приложения своих знаний, легко приспосабливается к постоянно изменяющимся задачам, выдвигаемым практикой.

Математико-механический факультет принимает в последние годы 400 слушателей и готовит выпускников по четырем специальностям — математике, прикладной математике, механике и астрономии. В соответствии с этим на факультете имеются 4 отделения, прием на которые производится с раздельным конкурсом.

На математическом отделении студенты специализируются по современным направлениям анализа, алгебры, теории чисел, геометрии, дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей и математической физики.

Отделение вычислительной математики и кибернетики готовит выпускников по методам вычислений, исследованию операций, математическому обеспечению ЭВМ и АСУ, теоретической кибернетике.

На механическом отделении вместе с глубоким изучением математики студенты получают специализацию по одному из современных направлений механики: аналитической механике, теории колебаний, автоматическому регулированию и управлению, динамике полета, теории упругости и пластичности, гидро- и аэродинамике (включая аэродинамику разреженных газов), физической механике.

На астрономической специальности подготовка ведется по специальностям: астрофизика, радиоастрономия, астрометрия, небесная механика, звездная астрономия.

Факультет прикладной математики — процессов управления готовит высококвалифицированные кадры по прикладной математике, имеющие глубокую общетеоретическую подготовку и опыт работы на современных ЭВМ. Ежегодный прием — 200 человек.

Основные специализации: математическое обеспечение ЭВМ и АСУ и применение средств вычислительной техники. На факультете научные исследования ведутся по управлению техническими объектами, управлению технологическими процессами и процессами проектирования сложных систем, распределению сил и средств, общим математическим и механическим вопросам систем управления.

Физический факультет производит прием на специальности: физика, радиофизика и геофизика. Общее число студентов, зачисляемых на первый курс — 300 человек. По специальности физика готовят выпускников 14 кафедр. Из них четыре — сугубо теоретические, где студенты занимаются вопросами квантовой механики, теории поля и элементарных частиц, статистической физики и математической физики. Остальные кафедры в основном выпускают физиков-экспериментаторов — специалистов по ядерной физике, физике твердого тела, оптике и спектроскопии, физике полимеров, физике атмосферы и др. Научная работа студентов, к которой они привлекаются, начиная с II—III курсов, протекает в лабораториях Научно-исследовательского Физического Института при Ленинградском университете и других НИИ г. Ленинграда. В настоящее время факультет переехал в новое помещение, где созданы прекрасные условия для плодотворной работы. В этом году вблизи факультета сдается общежитие на 1000 мест, в котором будут жить сту-

денты-физики. Вступительные экзамены и зачисление на физический факультет проводятся в июле месяце. Прием заявлений прекращается 9 июля.

Ниже мы приводим варианты письменного вступительного экзамена по математике на различных факультетах ЛГУ в 1974 году. Примеры задач по физике, предлагавшихся на вступительных экзаменах по физике в последние годы, помещены в «Кванте», 1974, № 6.

Математико-механический факультет и факультет прикладной математики — процессов управления

В а р и а н т 1

1. Между двумя портами курсирует грузовое судно, скорость которого линейно зависит от веса перевозимого груза и при нагрузке в 2000 тонн в 3 раза меньше, чем при нагрузке в 1000 тонн. Кроме того, известно, что при нагрузке в 2000 тонн судно проходит расстояние между портами за 25 часов. За какое время оно пройдет это расстояние при наибольшем грузообороте? Чему равна нагрузка судна при наибольшем грузообороте? (Грузооборотом называется произведение веса перевозимого груза на скорость судна.)

2. Расположить в порядке возрастания три числа

$a_1 = \log_{1/2} \sin 2x$, $a_2 = -1 - \log_2 \sin x$,

$$a_3 = \log_{1/2} (1 - \cos 2x),$$

если известно, что $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$.

3. Найти все вещественные $a$, для которых при всех $b > 0$ существует в интервале $0 < x < \dfrac{1}{2}$ решение уравнения

$$\log_2 (1 - x - x^2) = a\log_{1-x-x^2} 2 + b.$$

4. Даны равносторонний треугольник со стороной $a$ и окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и делящая вторую сторону на две равные части. Кроме того, известно, что центр окружности лежит на третьей стороне треугольника. Найти расстояние от центра окружности до ближайшей вершины треугольника.

5. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны $b$, а угол при основании равен $\alpha\ \left(\alpha > \dfrac{\pi}{4}\right)$. Каждое из боковых ребер пирамиды образует угол $\beta$ с плоскостью основания. Найти площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды и вершину угла $\alpha$.

В а р и а н т 2

1. Скорость товарного поезда линейно зависит от количества его вагонов, причем известно, что скорость состава из 60 вагонов
   
   равна $\dfrac{2}{3}$ скорости состава из 40 вагонов. Кроме того, известно, что паровозная бригада выполняет план перевозок на 100% при наибольшем грузообороте. (Грузооборотом называется произведение числа вагонов на скорость поезда.) На сколько процентов будет выполнять план перевозок паровозная бригада, составляя товарный поезд из 40 вагонов?

2. Расположить в порядке возрастания три числа

$a_1 = 1 + \log_2 \cos x, \quad a_2 = \log_2 (1 + \cos 2x)$,

$$a_3 = 1 - 2\log_{\frac{1}{2}} \sin 2x,$$

если известно, что $0 < x < \dfrac{\pi}{6}$.

3. Найти все вещественные $a$, для которых при всех $b < 0$ существует в интервале $4 < x < +\infty$ решение уравнения

$$a\log_{\left(1 - \frac{2}{x}\right)} 4 = \log_4\left(1 - \frac{2}{x}\right) + b.$$

4. Даны равнобедренный треугольник с основанием $a$ и окружность с центром в одной из вершин треугольника. Известно, что одна из боковых сторон треугольника делится окружностью на три равные части. Найти радиус окружности.

5. Основанием пирамиды служит равнобочная трапеция, у которой боковые стороны и меньшее основание равны $a$, а острый угол равен $\alpha\ \left(\alpha > \dfrac{\pi}{3}\right)$. Каждое из боковых ребер пирамиды образует угол $\beta$ с плоскостью основания. Найти площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды перпендикулярно к основаниям трапеции.

Химический и психологический факультеты и экономический факультет (кроме отделения политэкономии)

В а р и а н т 3

1. Имеются две порции одного и того же вещества, играющего роль катализатора. В присутствии 1-й порции реакция в сосуде происходит на 6 минут дольше, чем в присутствии 2-й порции. Если же в сосуд бросить обе порции катализатора, то реакция происходит в течение 4 минут. Определить время

45

46

продолжения реакции в присутствии каждой порции катализатора, если известно, что скорость реакции пропорциональна весу присутствующего в составе катализатора.

2. Решить неравенство
   $$\frac{x\sqrt{x} + (1-x)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2 - 2(x^2 - x)\sqrt{x - x^2}}} > 1.$$

3. Решить уравнение
   $$\log_2(9 + \cos 2x) + \log_{\frac{1}{2}}(\sin^2 x \cdot \cos^2 x + 1) = 3.$$

4. Определить остые углы прямого треугольника, стороны которого составляют геометрическую прогрессию.

5. Основанием примыда служит равно-бедедный треугольник, боковые стороны которого равны $a$, а угол при вершине равен $\alpha$. Две боковые грани примыда, проходящие через равные стороны основания, перpendикularны к основанию, а равные боковые ребра наклонены к нему под углом $\alpha$. Определить радиус шара, описанного около примыда.

Биологический и географический факультеты

Вариант 4

1. 8 товарных вагонов первая бригада грузчиков может разгрузить на 1 час быстрее, чем вторая бригада. Если 7 вагонов будут разгружать обе бригады вместе, а последний вагон будет разгружать только второй бригада, то на выполнение всей работы потребуется 2 часа. За какое время может выполнить работу каждой из бригада, работа отдельно?

2. Решить неравенство
   $$\frac{1}{1 + \log_2 x} + \log_x 8 \geq \frac{5}{4}.$$

3. Решить уравнение
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x.$$

4. В прямогольном треугольнике гипotenuseа равна $a$, а биссертиса одного из остых углов $-\frac{a}{\sqrt{3}}$. Найти катеты.

5. В прямом круговом конусе даны площадь основания $S_1$ и площадь боковой поверхности $S_2$. Найти радиус вписанного шара.

Геологический факультет и отделение политэкономии экономического факультета

Вариант 5

1. Из одного города в другой вылетел самолет. Если бы скорость самолета была на 130 км/ч меньше действительной, то он прибыл бы в другой город с опозданием на 1 час 6 минут. Определить действительную скорость самолета, если расстояние между городами равно 2860 км.

2. Решить уравнение
   $$\frac{5}{3 + \log_2 x} = 2 + \log_{\sqrt{x}} \frac{1}{2}.$$

3. Решить уравнение
   $$\sin^2 \left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{12} - x\right) = \frac{5}{4}.$$

4. Через точку $A$, лежащую на расстоянии 2r от центра окружности радиуса $r$, проведена прямая на расстоянии $r/2$ от центра окружности, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$. Найти $AB$ и $AC$.

5. В основании прямого параллелипеда лежит параллелипеда с тупым углом $\alpha$ и сторонами $a$ и $b$. Меншая диагональ параллелипеда равна большей диагонали основания. Определить объем параллелипеда.

В. Ф. Осипов, П. Е. Товстик

Физический факультет

В последние годы (1972—1974 гг.) вступительные экзамены на физический факультете Ленинградского университета проводятся в июле в два срока: с 4-го по 18-е июля и с 10-го по 21-е июля. При составлении вариантов экземпляres по математике для физического факультета учитываются те требования, которые естественно предъявлять к математическим знаниям будущих студентов-физиков.

Нужно заметить, что примерно четверть студентов физического факультета ЛГУ специализируется по различным направлениям теоретической и математической физики, требующей глобокого знания как прикладных, так и абстрактных разделов математики. Кроме того, хорошо математический подход включает курсов теоретической физики и большинства специкурсов, читаемых и остальных студентам факультета. В связи с этим математики на физическом факультете читается в большом объеме и на достаточно высоком уровне. Вместе с тем у этого курса имеются и особенности: во-первых, изложение математических методов для физков должно гармоничически сочетаться с приложением этих методов к конкретиным задачам и, во-вторых, развитие моделиных и интуитивных сообщений при решении задачи должного ингредиента не менееную роль, чем строящий аксиоматический подход.

Отсюда вытекают требования, предъявляемые к абитриентам на вступительных экземпляres по математике. Абитриент, желающий получить высокий балл на письменном экземплере, долженясно представлять себе переход от исходной формулировки задачи (иногда нестандартной) к системам уравнений, геометрическому чертуку, неравенствам и т. д., уметь связывать воедино идеи и методы, которые давались на уроках алгебры, геометрии и физики, свободно владеть тех-

47

никой преобразований, уметь анализировать полученные решения с точки зрения дравого смысла, правильная построение, строого оправдания формальных выкладок. В варианте входят путь задач различной трудности.

Ниже мы разберем решения несколько характеристиных задач (трудных и средней трудности) из числа предлагашихся на письменном экзамене по математике на физическом факультете ЛГУ в 1973 и 1974 годах и приведем два полных варианта 1974 года.

Задач а 1. Стремок из лука находимся на расстоянии 40 м от крепостной стены высотой 30 м. Начальная скорость стрелы 40 м/c. При каких условиях накладна стрела к горизонтуу в момент выстрела стрела перемещаем через стену? Сотратимление воздуха, рост стрела, молщину крепостной стены, влияние операции и m. d. не учитываем. Ускорение свободного давления ситмать равным 10 м/c². Предельный случай накладная стрелы на стену не рассматриваем.

Задач нетрудная. Для ее решения нужно лишь знать формулы равноускоренного движения и правило сложения скоростей. Пусть t — момент времени, когда стрела достигает горизонтального расстояния l = 40 м до стены, α — начальный угол накладна стрелы к горизонтуу. Чтобы стрела перелетела через стену, ее высота в момент t должна быть больше высоты стены h = 30 м. Отсюда

$$v_0 t \cos \alpha = l$$
$$v_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2} > h$$

($v_0 = 40 \text{ m/c}$). Исключая t и подставляя численные значения $v_0$, l, h, получаем неравенство относительной α:

$$tg^2 \alpha - 8 tg \alpha + 7 < 0$$

откуда 1 < tg α < 7. Поскольку, по смыслу задачи, угол α лежит в пределах от 0 до $\frac{\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{4} < \alpha < \arctg 7$.

Задач а 2. Равномерно движущийся шар стalkваемся с покоями шаром центральным ударом. При столкновении в мелло переходит 25% кинемического энергии. Каково долю быстро соотнище между массим шаров, чтобы движущийся шар продолжлся движение в первоначальном направлении со скоростью не менее 50% от начального?

Для решения задачи надо правильно написать законы сохранения энергии и импульса в момент столкновения. Дополнительная сложность состоит в том, что эти законы формулированы для материалов точек, и при решении соответствующих уравнений появляется второй «нефизический» ответ, ответящий просакиванию одного шара сквозь другой. Такой ответ должен быть отброшен. В целом задача трудная.

Пусть M и m — массы покоящегося и движущегося шаров, $v_1$ и $v_2$ — начальная и конечная скорости движущегося шара, u — конечная скорость покоящегося шара. Из законов сохранения и условия задачи следует, что

$$\frac{3}{4} mv_1^2 = Mu^2 + mv_2^2$$
$$mv_1 = Mu + mv_2$$
$$u \geq v_2 \geq \frac{1}{2} v_1 > 0$$

(условие u ≥ v₂ исключает «нефизический» ответ). Введем новые переменные x = $\frac{v_2}{v_1}$, y = $\frac{u}{v_1}$, t = $\frac{m}{M}$. В них система примет вид

$$\frac{3}{4} t = y^2 + tx^2$$
$$y = t (1 - x)$$
$$y \geq x \geq \frac{1}{2}$$.

Исключив y из системы уравнения

$$(t + 1) x^2 - 2tx + \left(t - \frac{3}{4}\right) = 0$$

относительно величины x. Отсюда

$$x_{1,2} = \frac{t \pm \frac{1}{2} \sqrt{3-t}}{t + 1}$$

$$y_{1,2} = \frac{t \left(1 \mp \frac{1}{2} \sqrt{3-t}\right)}{t + 1}$$.

Таким образом, приходим к ограничению t ≤ 3. Физические это условия означает, что при большем соотношении масс (при t > 3) ни при каком характере удара не может быть потеряно 25% энергии. Из условия y ≥ x следует, что годится решение лишь с нижним знаком перед радиком. Осталось удовлетворить условия x ≥ $\frac{1}{2}$, которое с учетом найdenного выражения для x и оченьного неравенства t > 0 принимает вид $t^2 - t - 2 \geq 0$. Это неравенство выполняется при t ≥ 2. Ответ: 2 ≤ $\frac{m}{M} \leq 3$.

Задач а 3. Спормстен № 1 стартуем из пункта A в пункте B вверх по реке. Вслед за ним через 5 минут отправляется спормстен № 2. Их скорости маковы, что

они достигли бы пункта Б одновременно, но на середине пути спортсмен № 1 повернул назад и, встретив спортсмена № 2 в 150 м от пункта А, вернулся в пункт А через 5 минут после старта спортсмена № 2. Найти скорость спортсмена № 2, если скорость спортсмена № 1 в стоячей воде равна 1 м/с.

Если задачу решать в общем виде, то она приводит к уравнению третьей степени, однако заданные численные значения величин сильно упрощают решение. Трудность задачи — средняя.

Пусть $u$ — скорость течения реки (в $м/с$), $v$ — искомая скорость спортсмена № 2 (в $м/с$), $s$ — расстояние от $A$ до $Б$ (в $м$). Из условий задачи вытекает следующая система уравнений:

$$\begin{cases} \dfrac{s}{1-u} = \dfrac{s}{v-u} + 300, \\[2mm] \dfrac{s}{2} \\ \dfrac{1-u}{} + \dfrac{s}{2} \\ \dfrac{1+u}{} = 600, \\[2mm] \dfrac{\dfrac{s}{2}}{1-u} + \dfrac{\dfrac{s}{2} - 150}{1+u} = \dfrac{150}{v-u} + 300. \end{cases}$$

Вычитая из 3-го уравнения 2-е, находим

$$v = \frac{u+1}{2u+1} + u.$$

С другой стороны, приравняв выражения для $s$, найденные из 1-го и 2-го уравнений, после простых, хотя и длинных выкладок получим, что

$$v = \frac{u+2}{2u+1}.$$

Отсюда, исключая $v$, приходим к уравнению
$$2u^2 + u - 1 = 0,$$
которое имеет единственный положительный

корень $u = 1/2$. Поэтому $v = 1\dfrac{1}{4}$ м/с.

З а д а ч а 4. Имеется наклонная плоскость, расположенная под углом $\alpha$ к горизонту. На расстоянии $s$ от нее на второй наклонной плоскости находится материальная точка $M$. Какой угол с горизонтом должна составлять эта плоскость, чтобы материальная точка, двигаясь по ней без трения, достигла бы первой плоскости за наименьшее время? Каково это время? Считать, что линия пересечения наклонных плоскостей горизонтальна.

На вступительных экзаменах обычно не предлагаются задачи на экстремум, поскольку при их решении можно использовать элементы высшей математики, что дает известные преимущества тем из поступающих, кто этими элементами владеет. Данная задача

элементарными методами решается значительно проще, чем при использовании понятия произвольной.

Пусть $\beta$ — искомый угол наклона второй плоскости, $l$ — длина пути материальной точки по этой плоскости (см. рис. 1). Очевидно, $l = s/\sin(\alpha+\beta)$. На второй наклонной плоскости действует ускорение $g\sin\beta$. Поэтому время движения материальной точки по второй плоскости равно

$$t = \sqrt{\frac{2l}{g\sin\beta}} = \sqrt{\frac{2s}{g\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}} =$$

$$= \sqrt{\frac{4s}{g[\cos\alpha - \cos(\alpha+2\beta)]}}.$$

Искомое минимальное время $t_{\min}$ отвечает случаю $\cos(\alpha+2\beta) = -1$, откуда

$$\beta = \frac{\pi-\alpha}{2}, \quad t_{\min} = \sqrt{\frac{2s}{g\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}}.$$

З а д а ч а 5. Каждое из двух плоских зеркал может вращаться вокруг своей оси ($O_1$ и $O_2$ соответственно), лежащей в плоскости зеркал, причем эти оси параллельны. Между зеркалами закреплена светящаяся точка $S$. Ее положение таково, что если через $S$ провести плоскость, перпендикулярную к осям зеркала, то в возникающем треугольнике $SO_1O_2$ $\angle SO_1O_2=\alpha$ и $\angle SO_2O_1=\beta$. Какой угол $\gamma$ должны образовывать между собой зеркала, чтобы изображения точки $S$ в них были максимально удалены друг от друга?

Хотя эта задача средней трудности, ее решили немногие абитуриенты. Возможно, это связано с тем, что в школе не успевают как следует разобрать простейшие законы геометрической оптики.

Изображение точки в плоском зеркале лежит на перпендикуляре, опущенном из точки на зеркало, позади зеркала на расстоянии, равном расстоянию от точки до зеркала. При вращении первого зеркала вокруг оси $O_1$ геометрическим местом изображений точки $S$ является окружность с

48

Рис. 1.

49

центром в $O_1$ (рис. 2), прохождение через $S$ (поскольку $SO_1 = O_1S_1$). Набольшее расстояние между $S_1$ и $S_2$ достигается, когда изобразения $S_1$ и $S_2$ лежат на линии центров $O_1O_2$. Следовательно, зеркала должны делить пополам углы $\leftrightarrow S_1O_1S$ и $\leftrightarrow S_2O_2S$.

Этому $MO_1O_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}, \leftrightarrow MO_2O_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}, \gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Задание 6. Наименование вещественных решений уравнения

$$\frac{x^2}{x-1} + \sqrt{x-1} + \frac{\sqrt{x-1}}{x^2} = \frac{x-1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{x^2}{\sqrt{x-1}}.$$

Несмотря на простую формулировки задачи, ее решение вызывает неокоторые трудности. Попытка «в любо» избавиться отирациональной нии к чему хорошему не приводит. Следует использовать симметрию заданного уравнения. Его ОДЗ: $x > 1$. Пусть $a(x) = x^2, b(x) = x-1, c(x) = \sqrt{x-1}$. тогда заданное уравнение можно записать в виде $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$, откуда

$$\frac{(c-b)(b-a)(a-c)}{abc} = 0.$$

Таким образом, решение исходного уравнения эквивалентно решению трех уравнений: $a(x) = b(x), b(x) = c(x), c(x) = a(x)$, которые в данном случае легко решаются. Ответ: $x = 2$.

Вариант 1

1. На расстоянии $L$ от плоской стены в отсутствие поля тяготения поконтся шарик. На него налетает другой же шарик со скоростью $v$, направленной под углом $\alpha$ к перpendикulierу к стене. Линяя центров шариков в момент удара лежит в плоскости, образованной вектором $v$ и перpendикulierом к стене. Какой угол $\beta$ должен образовать линяя центров в момент удара и перpendикulier к стене, чтобы покоящийся шарик достигет стены за кратчайшее время? Каково это время? Удар абсолотно упругий. Считать, что выражение шариков не производит.

2. Правильная треугольная парамида со стороны основания $a$ повернуть вокруг симметрина на угол $60^\circ$. Определить объем общей части исходной и повернуть парамид, если боковые грани — прямогольные треугольники.

3. Выразить сумму $\frac{\sin^8 \varphi}{a^3} + \frac{\cos^8 \varphi}{b^3}$ только кочерез параметры $a$ и $b$, если известно, что угол $\varphi$ удовлетворяет условию $\frac{1}{a} \sin^4 \varphi + \frac{1}{b} \cos^4 \varphi = \frac{1}{a+b} (a, b > 0)$.

4. Решить уравнение:

$$\log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right) = \sin^2 \frac{\pi x}{2} + \cos^4 \frac{\pi x}{2}.$$

5. При всех $a \neq 0$ решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + yz + 2az = 1, \\ xy + yw + 2aw = 0, \\ w^2 + yz + 2ay = 1, \\ xz + zw + 2ax = 0. \end{cases}$$

Вариант 2

1. Снаряд в верхней точке траектории на высоте $h$ разрывается на два одинаковых осоклака, которые падают по направлению движения снаружи. Один на расстоянии $l_1$ от места разрыва по горизонтали, другой на расстоянии $l_2$. Скорость снаряда в момент разрыва равна $u$. Через какое время от момента разрыва упадет каждой осокок? Массой пороховых газов пребрежчь.

2. На плоскости $(x, y)$ построить облакти, для всех точек которых выполнен herabенства

$$1 \geq |tg x| \geq tg 2y.$$

3. Решить уравнение:

$$10^{x^2 - 4x + 2} = \frac{1}{25} \left( \sin \frac{\pi x}{12} - \sin^2 \frac{\pi x}{12} \right).$$

4. Решить неравенство

$$\log_2 \cos^2 x (2 \cos x - 1) > 1.$$

5. Образующая прямогольную кругового конуса имеет длину $l$ и составляет с высотой угол $\alpha$. Через две образующие конуса, составляющие между собой угол $2\beta$, проведена плоскость. Найти расстояние от этой плоскости до центра вписанного в конус шара.

Н. А. Молотков, С. Ю. Слаяной