Задачи М326—М330; Ф338—Ф342

22

задачник кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 августа 1975 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте напишите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачник «Кванта», М326, М327» или «… Ф338». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просьба присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). После формулировки задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой.

Задачи

М326—М330; Ф338—Ф342

М326. Хорда окружности удалена от центра на расстояние $h$. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде (рис. 1). Чему равняется разность длин сторон этих квадратов?

Э. Г. Готман

Рис. 1.

М327. В компании $N$ человек. Каждому из них нравится ровно $k$ людей из этой компании. При каком наименьшем $k$ можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, которые нравятся друг другу?

А. Колодин, ученик 10 класса
(г. Коломыя)

М328. По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по ребрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.

а) Докажите, что при любом начальном расположении пауки смогут поймать муху.

б) Верно ли это, если максимальная скорость мухи более чем в 2 раза превосходит максимальную скорость пауков?

в) Как изменится ответ, если разрешить паукам ползать только по ребрам тетраэдра? по всему объему

23

тетраэдра? (Муха по-прежнему двигается только по ребрам.)
О. Ефремов, ученик 9 класса (г. Ангарск)

М329. Выпуклый $n$-угольник помещен в квадрат его сторой 1. Доказите, что найдет три вершины $A, B, C$ этого $n$-угольника также, что площадь треугольника $ABC$ меньше $8/n^2$.
Г. Шмелев, ученик 10 класса (г. Ярославль)

М330. На плоскости расположены два выпukлых многоугольника $M_1$ и $M_2$. Обозначим через $M$ множество точек, в которых может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит $M_0$, второй — $M_1$. Доказите, что $M$ — выпukлый многоугольник.

a) Сколько сторон может иметь $M$, если $M_0$ имеет их $n_0$, а $M_1$ — $n_1$?
b) Каков может быть перimeter $M$, если perimeter $M_0$ равен $P_0$, а $M_1$ — $P_1$?
b)* Какова может быть площадь $M$, если площадь $M_0$ равна $S_0$, а площадь $M_1$ — $S_1$?

Н. Б. Васильев

Ф338. Два стержня из разных металлов с коэффициентами линейного расширения $a_1$ и $a_2$ при температуре $0^\circ C$ имеют малоразличнуюся длины $l_1$ и $l_2$ и поперечные сечения $s_1$ и $s_2$. При каких температуре стержни будут одинаковые a) длины? b) поперечные сечения? b) объемы?

Б. Б. Буховцев

Ф339. Теннисный мяч попадает на тяжелую ракетку и упруго отраскается от нее. Масса мяча много меньше массы ракетки, а скорость мяча до стольновения с ракеткой равна $v$ и составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с перпендикуляром к ракетке. С какой постоянной скоростью должна построяться двигается ракетка для того, чтобы мяч отразился от нее под прямым углом к направлению движения? Как до, так и после стольновения с ракеткой мяч не врашается.

Ф340. Спутник Земли массой $m = 10$ кц, движущийся по круговой орбите в высоких слоях атмосферы, испытывает сопротивление разреженного воздуха. Сила сопротивления $F = 5 \cdot 10^{-4}$ н. Определьть, насоклько изменится скорость спутника за один оборот вокруг Земли. Высоту полета спутника над поверхностью Земли считать малой по сравнению с радиусом Земли.

С. М. Козел

Ф341. В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ним $d$ помещен в поток проводящей жидкости с удельной проводимость σ. Жидкость движется с постоянной скоростью $v$ параллельно пластинм. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией $B$, направленной перpendикулярно скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление $R$?

Ф342. Найти заряд конденсатора 2 (рис. 2), если $C_1 = C_2 = C_3 = C$. Э. д. с. источника $E$, внутреннее сопротивление источника $r$.