Абитуриент-1975

39

Абитурient-1975

А. Я. Яковлев

После окончания средней школы в Курсавке (Ставропольский край) Люда Ф. решила поступить на математический факультет Ставропольского педагогического института. Тем более, что учительница математики вывела её в аттестате четверку по алгебре и пятерку по геометрии.

На письменном экзамене Люде предложили 4 задачи (ответы к ним приведем в конце журнала).

1. Наименование поверхностных правилной треугольной парамиды, сторона основания коморой равна a, угол между боковым границами равен β.

2. Решить неравенство
   $$\log_2^2 x - \log_2 x - 6 \leq 0.$$

3. Решить уравнение
   $$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x.$$

4. При каких значениях а оба корня уравнения
   $$x^2 - (a+1)x + (a+4) = 0$$
   отрицательны?

Увы! Решая первую задачу, Люда никак не могла вспомнить, что такое угол между боковым границами. Потом обозначила через $\frac{\beta}{2}$ угол между боковым ребром и высотой парамиды. Разумеется, ответ получился неверный.

Решая неравенство, Люда нашла такие корни левой части: $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = 4$. «Но $x = \frac{1}{8}$ не подходит, — пишет Люда, — так как график в этой точке положительный. Значит, корень один: $x = 4$.》 Затем Люда формулирует ответ: «При $x = 4$ график отрицательен».

Можно ли специально придумать подобную неполную?

При решении тригометрического уравнения Люда пишет: «sin 2x = cos 2x — корней нет, так как синус и косинус не могут одновременно равнять одному и тому же числу». Очевидно, Люда забила, что sin 45° = cos 45°, то есть что синус и косинус угла в 45° равны. А это много раз встречалось и в восемом классе, и в девятом, и в десятом.

Наконец, решая четвертуо задачу, Люда пишет: «Корни отрицательны, если дискриминент меньше нуля», — и начинает преобразовать дискриминент.

Оставим оценки Люды в аттестате на собствене учительниц. Немало группы ошибок в письменных работах и других абитрипентов. Дажте тех, кто «пожалован» четверками и пятерками по математике в аттестах.

Из 225 поступивших на математическое отделение Ставропольского педагогического института полностью справились с работой лишь …четверро. Не справились (получили двойки) — шестьдесят, хотя оценки стали всема либерально.

В расположенном по соседству Ставропольском сельскохозяйном институте не справились с работой почти 50 процентов абитрипентов. В том числе —ровно половина жительей краевого центра, в том числе — шестеро из семи выпускников школь № 6, четверро из четверых выпускников школь №17.

Немногим лучше результаты письменных экзаменов по математике в Московскихузах. Каждый четвертый абитрипент получил неудовлетворительную оценку в Московском институте химического машиностроения, почти каждый третий — в авторорожном, до сорока процентов двое — в стандонструментальном.

40

И это несмотря на то, что требования, предъявляемые к абитриенту, весма неввысоки. Задчи, предлагающие на вступительных экзаменах, точно такие же, как в школьных задчиках. Если у проверяющего возникнет сомнение — ставится более высокая оценка. А математическая подготовка поступающих, как свидетельствует экзаменаторы из всех видов, из года в год снижается. «Мы каждый год вынуждены упрощать задачи для письменных экзаменов», — утверждает проектор Московского стандонструментаального института. Об этом же говорит сравнение вариантов вступительных заданий вузов.

В технических, экономических и многих другихузах вступительный экзамен по математике — основной. Именно экзамен по математике показывает качество подготовки абитриента к обучению вузе, показывает, может ли данный абитриент успешно учиться в данномузе. Очеень часто именно на экзамене по математике решается вопрос: быть или не быть абитриенту студентом. Почему же экзамен по математике играет также важную роль?

Если студент химического вуза плохо освободил в школе химию, это, конечно, безрадостно, но предполимо: курс химии он будет изучать вузе «с самого начала». Если же он плохо освободил тригонометрические уравнения и преобразования или ошибается в действиях со степенями, считая, например, что $x^{-3} = \frac{1}{\sqrt{3}x}$, успешно учиться в инженерном или экономическомузе он не сможет. Физика и химия, теоретическая механика и сопромат, теория вероятностей и статистика, а также другие инженерные и экономические науки потребуют четких, быстрых, доведенных до автоматизма навколов в вычислениях и преобразованиях. А снова учить всему этому вузе уже не будет. Иного справедливо говорить, что программа вуза строится на математическомFundamente, заложенном в средней школе.

Полбеды, если студент за был формулу объема параметры: ее можно найти в любом справочнике; гораздо хуже, если студент не может использовать нужную формулу для решения задачи или не знает, какую формулу применить.

«Matematika — это язык», — сказал крупнейший американский физик У. Гиббс. Это язык, на котором и выражаются условия произвольных, технических, экономических, военных задач, и получаются решения этих задач; это также аппарат, с помощью которого применяется та же химия, тот же сопромат, те же экономические науки. Однако из важнейших задач сегоднянего инженера (экономика, исследователья, ученого) — формиализация решаемых задач, формулировка их на языке математики.

Далеесто лет назад инженер Сайрус Смит, попав на «Таннстевный остров» (вспомните Жюля Верна!), мог весма широко и не без ползы применить свои математические познания. А наука, технически и экономики сегоднянего дня просто немыслимы без применения математики, без умения правильно, быстро и точно его ползоваться.

Особенно возросло значение математики и ее приложений в последние десятилетия. Каждый инженер, экономист, исследователь вынужден пользоваться помощью ЭВМ; инженеры и экономисты не могут обойтись без линейного программирования и других математических методов; все большешую роль играют теории вероятностей и математической статистика.

Чем же отличается письменный вступительный экзамен по математике от школьной контрольной работы, от задач, решаемых на уроках? Методами решения? Сложность задачи? Объемом программы?

Вовсе нет. Ни тем, ни другим, ни третьим.

41

Программы вступительных экзаменов по математике абсолютно не отличаются от программ средней школы. Любая задача, предлагаемая на вступительном экзамене, может быть решена последовательным применением правил, формул, теорем, которые изучались в средней школе. Часто на экзамене предлагаются попросту задачи из школьных задачников, иногда — из других широко известных задачников. Задачи, приведенные выше, также ничем не отличаются от школьных. Наиболее трудоемкой из них является первая задача. Для решения ее надо последовательно выполнить несколько отдельных этапов, каждый из которых мог быть отдельной задачей в VII—IX классах школы. Однако отдельные частные задачи многие школьники решают вполне удовлетворительно, а комплексную задачу из 5—6 этапов доводят до конца лишь очень немногие.

Не секрет, что школьник часто решает задачи не вполне самостоятельно: учитель задает наводящий вопрос, напоминает нужную формулу, исправляет допущенную ошибку, указывает путь или план решения. Бывает, что школьник просто списывает решение с доски или даже (чего греха таить?) у соседа. Задачи в домашнем задании напоминают разобранные на уроке. А на экзамене в вузе вчерашнему школьнику дают листок с задачами, которые приходится решать самостоятельно: наводящих вопросов никто не задает, о пропущенном коэффициенте никто не напоминает, «похожие» задачи почему-то не приходят в голову, а в листке соседа задачи совсем не похожие.

Почти все поступающие з н а ю т необходимые формулы и теоремы и даже умеют их доказывать. Но, во-первых, далеко не все умеют п р и м е н я т ь эти формулы и теоремы. И, во-вторых, большое количество арифметических ошибок и недосмот-

ров приводит к резкому (но вполне справедливому!) снижению оценок за письменные работы по математике.

Ведь подавляющее большинство проблем, стоящих перед специалистом, заключается в том, чтобы найти ч и с л о: число тонн, число рублей, число рабочих, число километров в час и т. п. Некоторые школьные учителя за арифметические ошибки и недосмотры иной раз и не сбавляют оценку: подумаешь, это же арифметика! Но если только что построенный мост развалится под первым же грузовиком, сможет ли оправдаться инженер, что, рассчитывая мост на нагрузку 50 тонн, он «по недосмотру» поставил запятую на один знак левее?

…Вычисляя синус угла, абитуриент получил значение 2,8 вместо нужного 0,28. Явно нелепый ответ должен был привлечь внимание абитуриента и заставить его искать ошибку. Но он этого не сделал. Не смог (или не захотел) подумать. И получил неудовлетворительную оценку. Не умеющие (или не желающие) думать в вузы не принимаются!

Недостаточная четкость вычислений и преобразований особенно неприятна при решении комплексных задач. Выполняя отдельный этап, абитуриент вынужден концентрировать внимание на самóм действии, теряя нередко нить рассуждений, забывая, какой этап следует дальше. Очень часто ошибка по невниманию (пропущенная цифра, неверный знак, неаккуратно выполненное или нечетко записанное действие) приводит к заведомо неверному ответу. А на поиски ошибки уходит гораздо больше времени, чем на проверку каждого выполняемого действия.

Поэтому отработка четких навыков в вычислениях и преобразованиях, беглость и автоматизм в элементарных действиях — необходимое условие и для успешной сдачи письменного экзамена по математике, и для успешной учебы в вузе.

В заключение — некоторые советы Абитуриенту-1975.